专题 5.5 分式的方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.5 分式的方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式方程 1 【题型 1】分式方程的判断 1 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 3 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 4 【题型 3】分式方程的增根问题 6 【题型 4】分式方程的无解问题 8 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 10 【题型 6】二元一次方程（组）与分式方程综合 12 【题型 7】分式方程与规律问题 16 二.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 24 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 28 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】分式方程 分母中含有未知数，像这样的方程叫作分式方程。 【要点提示】（1）核心判定条件：方程的分母中含有未知数，这是分式方程最关键特征；（2） 区分对比分母不含未知数的是整式方程；分母含未知数才是分式方程；（3）隐含限制分式分母不能为0，因此分式方程自带取值限制，这就是后面要学习必须检验的原因。 【题型 1】分式方程的判断 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列关于x的式子是分式方程的是______．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 1、解可化为一元一次方程的分式方程步骤： （1）去分母：找出所有分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程解法：去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，求出未知数的值； （3）检验：把求得的解代入最简公分母（若最简公分母不等于0，是原方程的解；若最简公分母等于0，是增根，必须舍去，原方程无解； （4）写出结论。 2、增根与无解： 增根：解分式方程时，去分母转化为整式方程的过程中，未知数取值范围被扩大；求出的整式方程的根，使原分式方程的分母为0，分式无意义，不能作为原方程的根，这种根叫做增根。 无解：分式方程经过求解后：整式方程有解，但解全是增根，全部要舍去；或化简后的整式方程本身无解；以上两种情况，都称原分式方程无解。 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 【例题2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定公分母，去分母，将分式方程转化为整式方程即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 公分母为 ， 方程两边同乘 ： 左边：， 右边：， ∴ 整式方程为 ， 故选：C． 【变式2】（2026·北京·模拟预测）方程的解是_____． 【答案】 【分析】先确定最简公分母，去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解一元一次方程后，对所得根进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算、解分式方程： (1)计算：化简：； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）先利用平方差公式分解分母，再通分合并，化简得到结果； （2）先去分母将分式方程转化为一元一次方程求解，再检验根是否使原方程分母为零，判断方程解的情况． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得． 检验：当时，， 是原分式方程的增根， 因此原分式方程无解． 【题型 3】分式方程的增根问题 【例题3】（24-25八年级上·河北承德·月考）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【答案】嘉嘉，理由见解析， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解． 【详解】解：嘉嘉的说法正确 理由如下： 将的两边同时乘约去分母化简得． 若分式方程有增根，增根可能是或． 当时，． 当时，得到，该式子不成立，则该分式方程的增根不可能为． 故嘉嘉的说法正确，并求得． 故答案为：嘉嘉． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若关于的分式方程有增根，则增根的值可能是（　　） A．0或2 B．0 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的增根问题，根据方程有增根，得到，求出x的值即可． 【详解】解：∵方程有增根， ∴， 解得或， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·江西吉安·期末）关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值． 【答案】原方程的增根是或.当时，；当时，. 【分析】令最简公分母为0，即可求得增根，把分式方程化为整式方程，将增根分别代入求解即可. 【详解】解：∵原方程有增根， ∴增根必定使最简公分母， ∴或是原方程的增根． 给原方程两边同乘，可得：. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，原方程的增根是或.当时，；当时，. 【点睛】本题主要考查了解分式方程、增根等知识点，理解增根的意义和解分式方程的基本步骤是解答本题的关键． 【题型 4】分式方程的无解问题 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解包含整式方程无解和整式方程的解为增根两种情况是解题的关键． 分式方程无解分两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，先去分母转化为整式方程，再分情况讨论． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简，得， 即． 原分式方程无解， 当去分母后所得的整式方程无解时，， 解得； 当整式方程的解为增根时，， 解得， 综上所述，的值为或． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 【变式2】（23-24九年级·福建厦门·自主招生）若关于x的方程无解，则a的值是________． 【答案】或1 【分析】先去分母，然后根据方程无解可分当时，当时，进而问题可求解． 【详解】解：由关于x的方程去分母、合并得：， ∵该方程无解， ∴当时，即，符合题意； 当时，即分母为0，符合无解，此时； 综上所述：当或1时，原方程无解． 【变式3】（25-26八年级上·重庆开州·期末）先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式方程无解的问题，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则以及解分式方程的步骤． 先解分式方程，确定分式方程无解时的的值，然后进行分式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 解得， 当，即时方程无解； 当时，方程无解，则此时，解得， ∴当或时方程无解， ∵时，中分母为0无意义，舍； ∴当时，原式 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 【例题5】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解： 方程两边乘，得：， 解得． ∵原分式方程的解是正数， ∴， ∴， 又， ∴， 解得． ∴且． 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解出，再结合解为负数、分式分母不为的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，且分母， 即，且， 解得，且． 【点睛】对于此类告知分式方程解的情况的题型，要注意分式方程有解必须满足分式分母不为这个隐含要求，否则极容易造成漏解． 【变式2】（2026·西藏·一模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解比方程的解大5，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法及根据方程解的关系求参数，解题的关键是先求出已知分式方程的解，再根据“解大5”的条件得到目标分式方程的解，最后将此解代入目标方程求解参数． 先解分式方程，得到其解；再根据题意计算出目标分式方程的解；然后将目标分式方程化为整式方程，把求得的解代入整式方程，求解的值即可． 【详解】解：先解方程， 方程两边同乘，得，，． 经检验，是原方程的解． 由题意，得分式方程的解为． 方程两边同乘，得，，． 把代入，得，，，． 经检验，符合题意． 故的值为． 【题型 6】二元一次方程（组）与分式方程综合 【例题6】（2024·重庆·一模）从－4，－3，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（   ） A．1 B．2 C．－1 D．－2 【答案】B 【分析】利用加减消元法解得，根据二元一次方程组有解，得到，再解分式方程得，由分式方程有正数解得到符合条件的m的值，最后求和． 【详解】二元一次方程组有解， ①②得， 解得， 是正数 ， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·河南·期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值． 【详解】解：解方程，得， ， ， 但当时，是增根， ， ，且， 由二元一次方程组得， ， 足， ， ， ， ，且， 为整数， 满足条件的整数a有，，，0， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别解出二元一次方程组，分式方程，根据题意得到满足条件的m的值，计算即可． 【详解】解：解方程组， 解得：， 当方程组有解时，， 解分式方程，得， ∵关于的分式方程有正数解， ∴， 解得，， 当，即时，分式方程无解， ∴， ∴或， ∴满足条件的的值之和为：． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解法、二 元一次方程组的解法， 正确解出分式方程、二元一次方程组是解题的关键． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于、的二元一次方程组（为实数），若方程组的解始终满足，化简并求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、二元一次方程组的解法，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，解二元一次方程组求出，代入计算得到答案． 【详解】解：原式， ， ， ， 对于方程组，得， ， ， 解得：， 则原式． 【题型 7】分式方程与规律问题 【例题7】（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 【变式1】（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）对于任意正有理数a，规定，例如：，．．．，利用以上规律计算：___________． 【答案】4047 【分析】本题考查了定义新运算以及探索规律，探究出是解题的关键．先计算，再计算，从而将原式按规律重新排列为，最后计算出式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4047． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 3．（23-24九年级下·四川宜宾·月考）若关于x的分式方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：， 方程两边都乘，得，， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 将代入，得， 故的值是3． 4．（2026·海南儋州·一模）方程的解为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】去分母化分式方程为整式方程，求解后检验的步骤即可得到结果． 【详解】解: 方程两边同乘最简公分母，得 解得 检验：当时， ∴ 原分式方程的解为． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况． 【详解】解：原方程为 ， ∵， ∴两边同乘得：， 化简得：， 解得：． 当或时，原方程分母为零，无解． 令：，解得； 令：，解得． ∴或时，原方程无解． 故选：C． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，，则不是的解，故本选项不符合题意； B、当时，，则不是的解，故本选项不符合题意； C、当时，，则是的解，故本选项符合题意； D、当时，，此时方程无意义，故本选项不符合题意； 7．（2026·四川南充·一模）已知实数a，b满足，且，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由已知，进行计算可得．再根据，可得，将其代入即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴ 解得， 将代入得， ． 8．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，首先解分式方程，得到x关于a的表达式，注意分母不为零的条件；然后根据x为整数且，确定整数a的取值；最后验证每个a是否满足原方程有整数解且． 【详解】解：∵ 分式方程 ，且 ， 两边乘 得：， 整理得：， ∴ （其中 )． 设 （t为整数且 ）， 则 ， 变形得：． ∵ a为整数， ∴ 为整数， 即 是4的约数：， ， ． ∴ ， 对应 ． 但 ，排除 ， ∴ ． 代入求a： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 当 时，原方程无解，无效． 验证各a值均使x为整数且， ∴ 整数a有5个：3， 1， ， ， 故选：C． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·辽宁朝阳·一模）分式方程的解为______ ． 【答案】 【分析】把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：把代入，得， 分式方程的解为． 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的分式方程有增根，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 11．（25-26七年级下·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且能使去分母后的整式方程成立是解题的关键． 分式方程的增根是使公分母为零的根，公分母为 ，因此可能增根为 或 ，代入整式方程检验， 时方程不成立， 时方程成立当 ，因此增根为 ． 【详解】解：原方程为 公分母为 ，两边乘公分母得整式方程 增根为使公分母为零的 值，即 或 当 时，代入整式方程得 ，即 ，不成立； 当 时，代入整式方程得 ，即 ，解得 ， 此时整式方程有解 ，但 使原方程分母为零，故为增根 因此该分式方程的增根为 ． 故答案为： ． 13．（2026·山东聊城·一模）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 【答案】9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 14．（25-26八年级上·上海·期中）当_______， 方程 会产生增根． 【答案】或 【分析】本题考查了解分别方程，以及分式方程的增根，理解分式方程产生增根的条件是解题的关键．通过求解方程，用m表示x，再令x等于使分母为零的值，求出m． 【详解】解：方程两边同时乘以公分母，得， 化简得， 当，即或时，分式方程有增根， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 或时，方程 会产生增根． 15．（25-26八年级上·广东江门·月考）若方程无解，则的值为______． 【答案】6 或 9 或 12 【分析】本题考查分式方程无解的条件，需考虑整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，先去分母化为整式方程，再分别讨论即可． 【详解】解： 两边同乘最简公分母，得 ， 整理得 ， 当 时，即时，整式方程无解，故原方程无解， 当 ，整式方程的解为增根，则 ， 当 时，， 当 时，， 故答案为6或9或12． 16．（25-26八年级下·山东济南·月考）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 【答案】1，3 【分析】先根据分式方程的解法求出分式方程的解，然后根据题意求出的范围即可求出答案． 【详解】解：方程两边同乘得， , ， ， ∵分式方程的解为正数，且， ，且， ，且． 又∵为正整数， ，3． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，； ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴原方程无解. 18．（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解： 检验，当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 检验，当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 19．（25-26八年级上·河南·期末）王林准备完成题目：解分式方程： ，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成5，请你解方程： (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下是小明同学解方程的过程． 解：方程两边都乘以，约去分母，得……第一步 解这个整式方程，得……第二步 检验：把代入，得……第三步 所以，是原方程的解……第四步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；出错的原因是________________； (2)解分式方程的思想是利用________的数学思想，把分式方程化为整式方程． A．数形结合    B．特殊到一般    C．转化    D．类比 (3)写出解方程的正确过程． (4)针对小明解分式方程的步骤和出现的错误，请你提出两条解分式方程的注意事项． 【答案】(1)一；没有乘以 (2)C (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：小明的解法从第一步开始出现错误；出错的原因是没有乘以； （2）解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程． （3） 方程两边都乘以，得． 解这个整式方程，得． 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （4）①去分母时，常数项不要漏乘最简公分母； ②求得解后注意检验是否为分式方程的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 分式的方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式方程 1 【题型 1】分式方程的判断 1 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 2 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 3 【题型 3】分式方程的增根问题 3 【题型 4】分式方程的无解问题 3 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 4 【题型 6】二元一次方程（组）与分式方程综合 4 【题型 7】分式方程与规律问题 5 二.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 7 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】分式方程 分母中含有未知数，像这样的方程叫作分式方程。 【要点提示】（1）核心判定条件：方程的分母中含有未知数，这是分式方程最关键特征；（2） 区分对比分母不含未知数的是整式方程；分母含未知数才是分式方程；（3）隐含限制分式分母不能为0，因此分式方程自带取值限制，这就是后面要学习必须检验的原因。 【题型 1】分式方程的判断 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列关于x的式子是分式方程的是______．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 1、解可化为一元一次方程的分式方程步骤： （1）去分母：找出所有分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程解法：去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，求出未知数的值； （3）检验：把求得的解代入最简公分母（若最简公分母不等于0，是原方程的解；若最简公分母等于0，是增根，必须舍去，原方程无解； （4）写出结论。 2、增根与无解： 增根：解分式方程时，去分母转化为整式方程的过程中，未知数取值范围被扩大；求出的整式方程的根，使原分式方程的分母为0，分式无意义，不能作为原方程的根，这种根叫做增根。 无解：分式方程经过求解后：整式方程有解，但解全是增根，全部要舍去；或化简后的整式方程本身无解；以上两种情况，都称原分式方程无解。 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 【例题2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）解方程 (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京·模拟预测）方程的解是_____． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算、解分式方程： (1)计算：化简：； (2)解分式方程：． 【题型 3】分式方程的增根问题 【例题3】（24-25八年级上·河北承德·月考）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【变式1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若关于的分式方程有增根，则增根的值可能是（　　） A．0或2 B．0 C．2 D．1 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 【变式3】（23-24八年级下·江西吉安·期末）关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值． 【题型 4】分式方程的无解问题 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的分式方程无解，求的值． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【变式2】（23-24九年级·福建厦门·自主招生）若关于x的方程无解，则a的值是________． 【变式3】（25-26八年级上·重庆开州·期末）先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 【例题5】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（2026·西藏·一模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解比方程的解大5，求m的值． 【题型 6】二元一次方程（组）与分式方程综合 【例题6】（2024·重庆·一模）从－4，－3，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（   ） A．1 B．2 C．－1 D．－2 【变式1】（23-24八年级下·河南·期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是(   ) A． B． C． D． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于、的二元一次方程组（为实数），若方程组的解始终满足，化简并求的值． 【题型 7】分式方程与规律问题 【例题7】（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【变式1】（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（25-26九年级下·新疆省直辖县级单位·开学考试）对于任意正有理数a，规定，例如：，．．．，利用以上规律计算：___________． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·四川宜宾·月考）若关于x的分式方程有增根，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 4．（2026·海南儋州·一模）方程的解为（    ） A． B． C．1 D． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 6．（25-26七年级下·河南南阳·期中）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川南充·一模）已知实数a，b满足，且，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 8．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程的解是整数，则整数a的个数是（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·辽宁朝阳·一模）分式方程的解为______ ． 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的分式方程有增根，则_____． 11．（25-26七年级下·上海闵行·月考）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程有增根，则该分式方程的增根为__________． 13．（2026·山东聊城·一模）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 14．（25-26八年级上·上海·期中）当_______， 方程 会产生增根． 15．（25-26八年级上·广东江门·月考）若方程无解，则的值为______． 16．（25-26八年级下·山东济南·月考）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 18．（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·河南·期末）王林准备完成题目：解分式方程： ，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成5，请你解方程： (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下是小明同学解方程的过程． 解：方程两边都乘以，约去分母，得……第一步 解这个整式方程，得……第二步 检验：把代入，得……第三步 所以，是原方程的解……第四步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误；出错的原因是________________； (2)解分式方程的思想是利用________的数学思想，把分式方程化为整式方程． A．数形结合    B．特殊到一般    C．转化    D．类比 (3)写出解方程的正确过程． (4)针对小明解分式方程的步骤和出现的错误，请你提出两条解分式方程的注意事项． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $