专题5.1&5.2分式的意义和基本性质九大题型（1）（一课一讲）同步讲练2025-2026学年浙教版数学七年级下册

本讲义聚焦浙教版初中数学“分式的意义和基本性质”核心知识点，系统梳理分式定义（分母含字母的整式）、基本性质及约分方法，通过九大题型构建从概念判断（分式识别）到性质应用（有/无意义、值为零条件）再到综合运算（变形、约分、最简分式）的学习支架。 资料以“经典例题+变式训练”为特色，精选多地月考期末真题，通过分式判断培养抽象能力，约分训练提升运算能力，综合解答题发展应用意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题5.1&5.2分式的意义和基本性质九大题型（一）（一课一讲） （第一课时:分式的意义、分式的基本性质、约分） 【浙教版】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 ①A：分子 ②B：分母(关键：必须含字母) 判断分式的唯一标准 只看分母：1.分母是整式；2.分母含有字母满足这两条就是分式。 题型一：判断是否为分式（方法：看分母是否含有字母，分子分母为整式） 【经典例题1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在式子中，分式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的式子，且π是常数不是字母． ∴、、的分母中不含字母，属于整式． 、、的分母中含有字母，属于分式． ∴分式的个数是3个， 故选：B． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 【变式训练1-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）代数式，，，，中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中是否含有字母来判断即可． 【详解】解：代数式，，，，中， 分式有，； 故选：A． 【变式训练1-4】（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断． 【详解】解：分式的定义为：形如 、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 选项 ，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 选项 ，分母是常数，不是字母，属于整式． 选项 ，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 故选：C． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东济宁·期末）在，，，，中，分式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的判断，解题的关键是掌握：如果、为整式，且中含有字母，那么式子是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在，，，，中， 其中，是分式， ∴分式的个数是． 故选：B． 题型二：分式（有）无意义的条件（方法：分式的分母等于0，分式无意义；反之，有意义） 【经典例题2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式无意义，分式无意义的条件是分母为0，因此需要构造一个分母在时为0的分式． 【详解】解：当分式的分母等于0时，分式无意义．因此，可设分母为， 则分式如满足条件． 当时，分母，分式无意义． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知分式，当时，分式无意义，则______________． 【答案】2 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是明确分式无意义时，其分母的值为 将代入分式的分母，令分母等于，解关于的方程即可得到的值． 【详解】解：分式无意义的条件是分母为． 当时，分母，代入得 即， 解得． 故答案为：． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0． 【答案】 2 【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键． 分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：要使无意义，则，解得； 要使的值为0，则，解得； 故答案为：；． 【变式训练1-4】（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是______；若分式有意义，则实数x的取值范围是_________；当________时，分式无意义． 【答案】 1 【分析】本题考查分式有无意义，分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0；分式有意义的条件：分母不为0；分式无意义的条件：分母为0，分别求解即可． 【详解】解：若分式的值为0，则， 解得； 若分式有意义，则分母，解得； 若分式无意义，则分母，解得； 故答案为：1，， 【变式训练1-5】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型三：分式的值为零的条件（方法：在分子为零的同时分母不为0） 【经典例题3】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式值为零需同时满足两个条件，分子为零，分母不为零，分别计算两个条件即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子，且分母， 由得，即， 由得， 综上，． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义（分母为0）和分式值为0（分子为0且分母不为0）的性质，结合表格数据筛选选项． 【详解】解：A．当时，分母，不合题意； B．当时，分母，当时，分子，符合题意； C．当时，分子，不合题意； D．当时，分母，不合题意； 故选：B． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为() A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为的条件．根据分式值为的条件：分子为且分母不为，先求解分子为时的取值，再排除使分母为的值，即可得到符合条件的． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴且 由 ∴或 当时， 当时， ∴ 故选：A． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·陕西安康·月考）已知分式的值为0，那么的值是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 根据分式的值为0，则分子为0且分母不为0解答即可． 【详解】解：∵ 分式 的值为0， ∴ 分子 ，且分母 ． ∴ ，∴ 或 ； ，∴． ∴ ． 故选：C． 【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式的值为0，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件、绝对值的性质等知识点，掌握分式值为0时分子为0且分母不为0的判定方法是解题的关键． 分式的值为0，需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子 且分母 解分子方程： 或. 当 时，分母 ，分式无意义，舍去 当 时，分母 ，符合条件． ∴ ． 故选：A． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·河北承德·期末）若式子的值等于0，则x的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分式的值为0需分子为0且分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵式子的值等于0， ∴， ∴ ∴或， 把代入，得，符合题意； 把代入，得，不符合题意； ∴． 故选：D． 题型四：已知分式正（负）数时求参数取值范围 【经典例题4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 【变式训练1-2】（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式训练1-3】（24-25九年级下·河南信阳·月考）若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要使分式的值为正数，根据分式的性质，分子是（正数），那么分母也得是正数，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可．本题主要考查了分式值的符号确定以及一元一次不等式的求解，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：∵ 分式的值为正数，分子 ∴ 分母，即， 解得 取（满足 ） 故答案为：（答案不唯一，只要 即可 ） ． 【变式训练1-4】（24-25七年级上·上海虹口·月考）分式的值为负数，求的取值范围______． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 题型五：判断分式变形是否正确 【经典例题5】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质与平方差公式的应用．依据分式基本性质（分子分母同乘或除以不为0的整式，分式的值不变）及平方差公式对各选项逐一判断． 【详解】解：∵分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变， A选项：的分子、分母是加1，并非同乘除不为0的整式，无法约分为，例如取，时，，，故A错误，该选项不符合题意； B选项：∵， ∴，变形符合分式基本性质，故B正确，该选项符合题意； C选项：仅当或，时等于，一般情况不成立，例如取，时，，故C错误，该选项不符合题意； D选项：∵（平方差公式），且分式有意义时 ∴，故D错误，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形正确，符合题意； C、只有当时，成立，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的约分，需根据分式的基本性质，对各选项分子分母因式分解后约分，判断等式是否恒成立． 【详解】解：∵，∴A选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴B选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴C选项错误，不符合题意； ∵，∴（），∴D选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练1-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键．根据分式的基本性质及分式的符号法则，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A．的分子分母同乘10，得，故A变形错误； B．，故B变形正确； C．，故C变形错误； D．当时，无意义，不满足分式基本性质中“同乘的数不为0”的条件，故D变形错误． 故选：B． 【变式训练1-5】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变是解题关键． 逐个选项运用分式的基本性质和符号法则，判断变形是否正确． 【详解】解：A、∵ ，∴A正确，符合题意； B、∵ ，∴B错误，不符合题意； C、∵ 的分子分母同乘以得，∴C错误，不符合题意； D、∵ ，∴D错误，不符合题意． 故选：A． 题型六：将分式的分子分母各项系数化为整数 【经典例题6】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 【变式训练1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数； （2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 【变式训练1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可； （2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1-5】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七：约分 【经典例题7】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分，掌握找分子分母的公因式，以及处理互为相反的因式的变形技巧是解题的关键． （1）找出分子分母的公因式，直接约去公因式完成约分； （2）先将分子中的变形为，使分子分母出现相同因式，再约去公因式完成约分． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）分式的分子分母约去公因式即可； （2）分子分母先因式分解，再约去公因式； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正确 (2)不正确，应改为 (3)不正确，应改为 (4)正确 【分析】本题考查分式的性质，对分式进行化简． （1）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （2）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （3）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （4）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； 【详解】（1）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． （2）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （3）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （4）解：分式，分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． 【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）将分子分母约去公因式即可； （2）分子先因式分解，再约去公因式即可； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． （1）分子分母都约去公因式即可； （2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可； （3）先写成分式的形式，然后分子分母都约去公因式即可； （4）先写成分式的形式，再把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八：最简分式的判断一、最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式(除1以外),这样的分式叫做最简分式。 二、最简分式的判断方法 三步走：①把分子、分母分别因式分解(写成乘积形式) ②找公因式： 系数：找最大公约数；字母/式子：找相同的最低次幂 ②如果除了1没有其他公因式→是最简分式；还有公因式→不是最简分式。 【经典例题8】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A ，分子，分母无法分解因式，分子分母没有除1以外的公因式，是最简分式； 选项B ，分母，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式； 选项C ，分母=，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式； 选项D， 分子=，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键． 根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意； B、∵， ∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意； C、∵分式值为0， ∴ 解得：，故本选项错误，不符合题意； D∵是常数，分母不含字母 ∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【变式训练1-2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项的分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：∵的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式； ∵在初中范围内无法分解因式，且与分母无公因式， ∴是最简分式； ∵，的分子分母有公因式，约分后为， ∴不是最简分式． 综上，选项C符合题意． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项即可 【详解】∵选项A中， ，分子分母有公因式，不是最简分式； ∵选项B中， ，分子分母有公因式，不是最简分式； ∵选项C中，在初中范围内无法分解因式，分子与分母无公因式，是最简分式； ∵选项D中， ，分子分母有公因式，不是最简分式， 故选：C 【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1-5】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【变式训练1-6】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 题型九：分式的意义和性质综合解答 【经典例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【答案】(1) (2)①；②是“巧分式” 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ． （2）解：①． 【提示】∵分式的“巧整式”为， ． ② ． 是整式， 是“巧分式”． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键． 【变式训练1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 【答案】(1)（或） (2)见解析 【分析】本题考查了约分，读懂题目信息，理解立方和公式并分解因式是解题的关键． （1）通过观察给定算式的规律猜想一般性公式； （2）再利用立方和公式对分子分母进行因式分解，通过化简证明猜想的正确性． 【详解】（1）解∶依题意得 （或） 故答案为：（或） （2）证明： （或）， ∴（1）中猜想是正确的． 【变式训练1-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：，． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）； (2)把分式化成带分式：______； (3)将分式化为带分式． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据假分式的定义求解即可； （2）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可； （3）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可． 【详解】（1）解：①分式是假分式； ②分式是真分式； ③分式是假分式； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式化简，熟练掌握分式相关定义和题干提供的方法，是解题的关键．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式． 【变式训练1-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 【变式训练1-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2)不同意，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 【变式训练1-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1&5.2分式的意义和基本性质九大题型（一）（一课一讲） （第一课时:分式的意义、分式的基本性质、约分） 【浙教版】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 ①A：分子 ②B：分母(关键：必须含字母) 判断分式的唯一标准 只看分母：1.分母是整式；2.分母含有字母满足这两条就是分式。 题型一：判断是否为分式（方法：看分母是否含有字母，分子分母为整式） 【经典例题1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在式子中，分式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）代数式，，，，中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1-4】（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东济宁·期末）在，，，，中，分式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二：分式（有）无意义的条件（方法：分式的分母等于0，分式无意义；反之，有意义） 【经典例题2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义：_____． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【变式训练1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知分式，当时，分式无意义，则______________． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0． 【变式训练1-4】（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是______；若分式有意义，则实数x的取值范围是_________；当________时，分式无意义． 【变式训练1-5】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____． 题型三：分式的值为零的条件（方法：在分子为零的同时分母不为0） 【经典例题3】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为() A． B． C． D． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·陕西安康·月考）已知分式的值为0，那么的值是（   ） A． B．0 C．3 D． 【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式的值为0，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．无法确定 【变式训练1-5】（25-26八年级上·河北承德·期末）若式子的值等于0，则x的值为（    ） A． B． C．2 D．1 题型四：已知分式正（负）数时求参数取值范围 【经典例题4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【变式训练1-3】（24-25九年级下·河南信阳·月考）若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为______． 【变式训练1-4】（24-25七年级上·上海虹口·月考）分式的值为负数，求的取值范围______． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围________． 题型五：判断分式变形是否正确 【经典例题5】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六：将分式的分子分母各项系数化为整数 【经典例题6】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1）______； （2）______． 【变式训练1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【变式训练1-5】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 题型七：约分 【经典例题7】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 【变式训练1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）约分： (1)． (2)． 【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八：最简分式的判断一、最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式(除1以外),这样的分式叫做最简分式。 二、最简分式的判断方法 三步走：①把分子、分母分别因式分解(写成乘积形式) ②找公因式： 系数：找最大公约数；字母/式子：找相同的最低次幂 ②如果除了1没有其他公因式→是最简分式；还有公因式→不是最简分式。 【经典例题8】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 【变式训练1-2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【变式训练1-5】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【变式训练1-6】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 题型九：分式的意义和性质综合解答 【经典例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【变式训练1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 【变式训练1-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：，． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）； (2)把分式化成带分式：______； (3)将分式化为带分式． 【变式训练1-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【变式训练1-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【变式训练1-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $