专题 5.1 分式的意义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 分式的意义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的概念 1 【题型 1】分式的判断 2 【知识点二】分式的意义 3 【题型 2】分式有意义条件 3 【题型 3】分式无意义条件 5 【题型 4】分式的值为零条件 7 【题型 5】根据实际生活列分式 9 【培优篇】 10 【题型 6】分式的意义与分式的值综合 11 【题型 7】已知分式的正负性求自变量取值范围 13 二.同步检测 15 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 21 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的概念 两个整式相除，且除式中含有字母。像这样的代数式叫作分式。 【要点提示】（1）形式本质必须是整式÷整式的形式，分数线等价除号，写作：，其中、 ，都是整式；（2）判定关键分母中必须含有字母；分子有无字母不影响，只看分母；（3） 隐藏限制条件分式有意义：分母不能为0。 【题型 1】分式的判断 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【答案】，，，是整式，，，是分式 【分析】本题考查整式与分式，根据整式和分式的定义判断：整式是分母中不含字母的式子，包括单项式和多项式；分式是分母中含有字母的式子． 【详解】解：是多项式，是整式； 的分母不含字母，是多项式，是整式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 综上，，，，是整式，，，是分式． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A． 的分母是常数3，不含字母，属于整式； B．分母是含字母x的整式，符合分式定义； C． 的分母是常数，不含字母，属于整式； D． 是多项式，属于整式， 故选项B符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（    ） A．分式的分子中一定不含有字母 B．分式的分子中一定含有字母 C．分式的分母中一定含有字母 D．分数一定是分式 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的分母一定含有字母是解此题的关键． 根据分式的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：∵分式的分子中可以含有字母，也可以不含有字母， ∴选项A和B错误， ∵分式的分母一定含有字母，分数是有理数，是整式，不是分式， ∴选项D错误，选项C正确； 故选：C； 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【答案】整式：，，，，，，；分式：，，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，，，； 分式有：，，，． 【知识点二】分式的意义 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 【要点提示】（1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 2】分式有意义条件 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x_________时，分式有意义． （2）当x_________时，分式有意义． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零，即可解答． 【详解】解：（1）要使分式有意义， 分母， ． （2）要使分式有意义， ， ． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·山东东营·月考）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不为零，求出x的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，需满足分母， 即， 解得且． 故答案为：． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零时分式有意义是解题的关键． （1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】（1）解：要使有意义， 得． 解得， 当时，有意义； （2）解：要使有意义，得． 解得， 当时，有意义； （3）解：要使有意义，得． 而对任意实数，， 所以，x为任意实数，有意义． 【题型 3】分式无意义条件 【例题3】（23-24七年级·上海·暑假作业）为何值时，分式无意义？ 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母等于0，根据分母等于0，列出方程，求出的值即可． 【详解】解：分式无意义． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了分式无意义的条件，掌握“分式的分母为0，分式无意义”是解决本题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元复习）当_______时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【答案】且，或 【分析】本题考查分式有无意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：当有意义时：， ∴且； 当无意义时：， ∴或． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为0是解题的关键． 要使分式无意义，需满足分母为0．据此求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：B． 【题型 4】分式的值为零条件 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为零，则x的值为_________． （2）若分式的值为零，则x的值为_________． 【答案】 1 【分析】根据分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零，即可解答． 【详解】解：（1）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零， ， ， ． （2）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零需分子为零且分母不为零是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）当___________时，分式的值为0． 【答案】1 【分析】根据分式值为0时分子为零且分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意，要使分式的值为0，需满足， 由，解得， 当时，， ． 【变式2】（2024八年级上·湖南娄底·竞赛）已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式值为零需同时满足两个条件：分子等于零，分母不等于零，据此计算即可得到结果． 【详解】解：分式的值为零， ， 解， 可得：或， 解， 可得：， 不符合要求，舍去， ． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）当x为何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零． （1）（2）（3）根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解即可， 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得， 解得； （2）解：由题意得： ， 解得， 解得； （3）解：由题意得： ， 解得， ∴． 【题型 5】根据实际生活列分式 【例题5】（2026八年级下·全国·专题练习）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，分式的表示，设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，可得逆流时船的实际速度为千米/时，再由路程不变即可列代数式． 【详解】解：设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此， ∵逆流时船的实际速度为千米/时， ∴由路程不变得从乙地返回甲地时间为， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）走一段10千米的路，步行小时，骑自行车所用的时间比步行所用时间少t小时，则骑自行车的平均速度为_____________千米/时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．根据路程、时间和速度间的数量关系列出代数式． 【详解】骑自行车的时间为小时， ∴骑自行车的平均速度为千米/小时． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，已知甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，两地相距20千米，若甲先出发1小时，求乙出发后多少小时与甲相遇？ 【答案】小时 【分析】设乙出发后小时与甲相遇，相遇时，甲运动了小时，根据两地相距20千米，可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙出发后小时与甲相遇，相遇时，甲运动了小时，甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，由题意得， ， 解得： ， 答：乙出发后小时与甲相遇． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【培优篇】 【题型 6】分式的意义与分式的值综合 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， 解得 ． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·月考）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·月考）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程见解析 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 【题型 7】已知分式的正负性求自变量取值范围 【例题7】（23-24七年级上·贵州遵义·月考）已知，，且，求的值． 【答案】1或 【分析】根据绝对值的性质可以得到 或， 或，再根据得到同为正数或负数，可得到当时，，当时，，分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 或， 或， ∵， ∴同为正数或负数， ∴当时，，， ∴当时，，， ∴的值为1或． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是根据得到同为正数或负数． 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【变式2】（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式3】（23-24八年级上·河北邢台·月考）已知分式，解答下列问题： (1)分式的值可以是0吗？说明理由； (2)若分式的值是负数，求x的取值范围． 【答案】(1)不可以为0，见解析 (2)＞2 【分析】（1）根据分式的意义即可求解； （2）根据两数相除异号得负，即可求解． 【详解】（1）解：不可以为0． 由于2除以任何数均不为0，因此分式的值不为0； （2）解：由题意得，， 解得： 所以当＞2时，分式值是负数． 【点睛】此题考查了分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义进行判断，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此解答即可． 【详解】选项A中的分母是常数，不含字母，故不是分式； 选项B中的分母是含有字母的整式，符合分式定义，故是分式； 选项C中的分母是常数，不含字母，故不是分式； 选项D中是常数，因此是常数，分母不含字母，故不是分式． 故选：B． 2．（25-26八年级上·吉林·月考）对于分式，当时，下列正确的是（    ） A．分式无意义 B．分式的值为1 C．分式的值为0 D．分式的值为 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式无意义，当时，分母的值为0，分式无意义，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， ∴分式无意义， 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）无论x取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式总有意义的要求是无论x取何值，分母都不为0，只需判断各选项分母是否恒不为0即可． 【详解】解：A选项：分母为，∵当时，，∴此时分式无意义，不符合要求； B选项：分母为，∵当时，，∴此时分式无意义，不符合要求； C选项：分母为，∵当时，，∴此时分式无意义，不符合要求； D选项：分母为，∵对任意实数，都有，∴，即无论x取何值，分母都不为0，分式总有意义，符合要求． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值不存在时， ∴， ∴， 故选：D． 7．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 8．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 11．（25-26八年级下·福建福州·月考）若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如果分式的值为负数，那么x满足______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵，分式的值为负数 ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·四川广安·期末）当______时，分式的值等于零． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子为零且分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得， ∴当时，分式的值为零． 14．（25-26七年级上·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，由分式值为零的条件，得分子为零且分母不为零，即且，解得，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 得分子，即，解得或， 分母， 所以， 因此， 当时， ， 故答案为：． 16．25-26八年级下·四川遂宁·期中）当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母_______0，则a应满足_______； （2）若分式没有意义，则分母_______0，则x应满足_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有无意义的条件， 对于（1），根据分式有意义可知，可得答案； 对于（2），根据分式没有意义可得，可得答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得； ∵没有意义， ∴， 解得. 故答案为：；；=，. 18．（23-24八年级下·湖南衡阳·月考）如果分式无意义，的值为0，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，根据分母为0时，分式无意义，分子为0，分母不为0时，分式的值为零，求出的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴且， ∴； ∴． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 【答案】，过程见解析 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，则可推出，根据平方的非负性可得当，即时，的值不可能为0，据此可得答案． 【详解】解：，且分式总有意义， ∴ ， 当，即时，的值不可能为0， 当时，不论取何实数，分式总有意义． 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）当取什么值时，分式有意义? （2）当取什么值时，分式的值为负? （3）当取什么值时，分式的值为负? （4）当取什么值时，分式的值为 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据分式有意义的条件可得，即可求解． （2）根据分式的性质，可得，解不等式即可求解； （3）根据分式的性质，可得且，即可求解； （4）根据分式的值为0的条件以及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：（1）∵分式有意义 ∴， 解得：； （2）∵分式的值为负 ∴， ∴； （3）∵分式的值为负 ∴且，   ∴； （4）∵分式的值为， ∴且， 解得： 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 分式的意义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的概念 1 【题型 1】分式的判断 2 【知识点二】分式的意义 2 【题型 2】分式有意义条件 2 【题型 3】分式无意义条件 3 【题型 4】分式的值为零条件 3 【题型 5】根据实际生活列分式 3 【培优篇】 4 【题型 6】分式的意义与分式的值综合 4 【题型 7】已知分式的正负性求自变量取值范围 5 二.同步检测 5 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 5 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 6 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的概念 两个整式相除，且除式中含有字母。像这样的代数式叫作分式。 【要点提示】（1）形式本质必须是整式÷整式的形式，分数线等价除号，写作：，其中、 ，都是整式；（2）判定关键分母中必须含有字母；分子有无字母不影响，只看分母；（3） 隐藏限制条件分式有意义：分母不能为0。 【题型 1】分式的判断 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（    ） A．分式的分子中一定不含有字母 B．分式的分子中一定含有字母 C．分式的分母中一定含有字母 D．分数一定是分式 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【知识点二】分式的意义 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 【要点提示】（1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 2】分式有意义条件 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）当x_________时，分式有意义． （2）当x_________时，分式有意义． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东东营·月考）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 【题型 3】分式无意义条件 【例题3】（23-24七年级·上海·暑假作业）为何值时，分式无意义？ 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元复习）当_______时，分式无意义． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【题型 4】分式的值为零条件 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为零，则x的值为_________． （2）若分式的值为零，则x的值为_________． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）当___________时，分式的值为0． 【变式2】（2024八年级上·湖南娄底·竞赛）已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）当x为何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)． 【题型 5】根据实际生活列分式 【例题5】（2026八年级下·全国·专题练习）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）走一段10千米的路，步行小时，骑自行车所用的时间比步行所用时间少t小时，则骑自行车的平均速度为_____________千米/时． 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，已知甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，两地相距20千米，若甲先出发1小时，求乙出发后多少小时与甲相遇？ 【培优篇】 【题型 6】分式的意义与分式的值综合 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·月考）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·月考）下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【题型 7】已知分式的正负性求自变量取值范围 【例题7】（23-24七年级上·贵州遵义·月考）已知，，且，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【变式3】（23-24八年级上·河北邢台·月考）已知分式，解答下列问题： (1)分式的值可以是0吗？说明理由； (2)若分式的值是负数，求x的取值范围． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林·月考）对于分式，当时，下列正确的是（    ） A．分式无意义 B．分式的值为1 C．分式的值为0 D．分式的值为 3．（25-26八年级上·山东泰安·期中）无论x取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 8．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 11．（25-26八年级下·福建福州·月考）若分式的值为零，则x的值是______． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如果分式的值为负数，那么x满足______． 13．（25-26八年级上·四川广安·期末）当______时，分式的值等于零． 14．（25-26七年级上·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则________． 16．25-26八年级下·四川遂宁·期中）当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母_______0，则a应满足_______； （2）若分式没有意义，则分母_______0，则x应满足_______． 18．（23-24八年级下·湖南衡阳·月考）如果分式无意义，的值为0，求的值． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）自习课上，小明遇到下面一道题，刚写了两步，就去辅导其他同学了，请把小明的解题过程补充完整． 题目：不论取何实数，分式总有意义，求的取值范围． 解： 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）当取什么值时，分式有意义? （2）当取什么值时，分式的值为负? （3）当取什么值时，分式的值为负? （4）当取什么值时，分式的值为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $