精品解析：山东济宁学院附属中学2025—2026学年第二学期阶段性测评九年级数学

2025-2026学年第二学期阶段性测评 初三数学 注意事项： 1.本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必先用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、考场和座号填写在答题卡相应位置． 3.答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，能合并的二次根式必须是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，因此需将各选项的二次根式化为最简形式，再判断其被开方数是否与的被开方数一致． 【详解】解：A、，它是整数，与不是同类二次根式，不能合并； B、是最简二次根式，被开方数为6，与的被开方数2不同，不能合并； C、，化简后被开方数为2，与是同类二次根式，能合并； D、，化简后被开方数为5，与的被开方数2不同，不能合并； 故选：C． 2. 某农场粮食年产量2023年为1600万斤，2025年为1880万斤，如果平均每年的增长率为x，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增长后的量增长前的量（增长率），根据两年的增长率相同即可得出本题的答案． 【详解】解：平均每年的增长率为x， 根据题意，得． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定． 根据平行四边形、矩形、菱形的判定条件逐一分析选项，找出错误的结论． 【详解】有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合矩形的定义，正确，故A不符合； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形的判定定理，正确，故B不符合； 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如，等腰梯形的对角线也相等，但它不是矩形，因此该说法错误，故C符合； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，正确，故D不符合； 故选：C． 4. 如图，在菱形中，于点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理及菱形面积公式的应用，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出边长，再结合面积公式求出高的长度． 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度；利用勾股定理计算菱形的边长；结合菱形面积等于对角线乘积的一半和底乘高两种计算方式，列出等式求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的对角线互相垂直且平分 ． ∵菱形的对角线互相垂直 ∴由勾股定理得，菱形的边长为： 菱形的面积S可以表示为对角线乘积的一半： 又∵菱形的面积也可以表示为底乘高即 解得． 故选：D． 5. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ， ∴. 故选C. 6. 若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 13 B. 18 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法可求出第三边，然后根据三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣3）（x﹣7）＝0， ∴x＝3或x＝7， 当x＝3时， ∵4+3＝7， ∴4、3、7不能组成三角形， 当x＝7时， ∵4+7＞7， ∴4、7、7能够组成三角形， ∴这个三角形的周长为4+7+7＝18， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及三角形三边关系，本题属于基础题型． 7. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由折叠的性质可知，， 又， ， 在中，， 又，， ，， 中，， 故选：D． 8. 如图所示，昆明某小区规划在一个长，宽的矩形花园上修建3条同样宽的景观小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，如果使花园种植部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据题意即可得出方程． 【详解】解：设小路宽为，则列方程为， 故选C． 9. 已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可推出，据此化简绝对值和计算算术平方根，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥且x≠3． 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】依题意得：x﹣3≠0且2x﹣1≥0， 解得x≥且x≠3． 故答案是：x≥且x≠3． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 12. 方程为一元二次方程，则a的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，准确理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可求出的值． 【详解】解：由题意得，，且， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为______． 【答案】##66度 【解析】 【分析】延长交于G，先由中点定义，，中位线性质得，根据平行线分线段成比例，得到，又因从而由线段垂直平分线性质得，根据等边对等角可得，即可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长交于G， ∵点D，E分别是，的中点. ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行线分线段成比例，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，延长延长交于G，证明是线段的垂直平分线是解题的关键． 14. 已知关于x的方程：m2x2+(2m-1)x+1=0有实数根,则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于m的值不能确定，故应分m=0和m≠0两种情况进行讨论． 【详解】解：当m=0时，原方程可化为，解得； 当m≠0时， ∵关于x的方程m2x2+（2m-1）x+1=0有实数根， ∴△=（2m-1）2-4m2≥0， 解得：， ∴m的取值范围是：； 故答案为. 【点睛】本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出第二个正方形边长，继而再得到第三个正方形的边长，即可发现规律，继而解答． 【详解】解：正方形（记为第个正方形），点的坐标为，以为顶点作等边三角形， ，， ， ，即第二个正方形边长为， ，即第三个正方形边长为， 由此得到规律：第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为． 三、解答题（共8小题，满分55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程． （1）2x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x+1）（x+3）＝15． 【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝2，x2＝﹣6 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0， 则x＝＝， ∴x1＝1+，x2＝1﹣； （2）整理得：x2+4x﹣12＝0， ∴（x﹣2）（x+6）＝0， ∴x﹣2＝0或x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣6． 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的各种解法并能灵活运用是解题关键 ． 18. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，且，连接．如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】四边形是矩形； 证明如下： 是的中点， ． ， ，． 在和中， ， ． ． ， ． ∵， 四边形是平行四边形． ，， ， 即． 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】可证，得出，进而根据，得出；若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形．此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质与判定、矩形的判定等知识综合运用，关键是掌握相关性质和判定． 【详解】 略 19. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2） 略 20. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）请直接写出的对偶式_____； （2）已知，，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【小问1详解】 解：的对偶式为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，， ∴， 解得或． 22. 某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． （1）求月份售出型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 【答案】（1）月份售出型小家电至少台； （2）这两种小家电都应降低元． 【解析】 【分析】（）设月份售出型小家电台，根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）设这两种小家电都应降低元，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设月份售出型小家电台， 根据题意，得， 解得：， 答：月份售出型小家电至少台； 【小问2详解】 解：设这两种小家电都应降低元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵为尽可能让消费者获得实惠， ∴舍去， 答：这两种小家电都应降低元． 23. 一副三角板分别记作和，其中，，，，作于点于点，如图1，在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合． （1）求证：； （2）将图2中的三角板绕点顺时针旋转，得到图3，延长交于点．求证：四边形为正方形； （3）如图4，保持三角板固定，将三角板绕点顺时针旋转，延长交于点．探究：线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，而， ∴， ∴四边形是正方形； （3） 当时，线段，，的数量关系为，证明如下 连接，如图4， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 【解析】 【分析】（1）设，则，，即可求解； （2）根据题意得到，四边形为矩形，再根据，而，推出，所以四边形是正方形； （3）当时，连接，可证，得，由勾股定理，由此即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期阶段性测评 初三数学 注意事项： 1.本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必先用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、考场和座号填写在答题卡相应位置． 3.答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 某农场粮食年产量2023年为1600万斤，2025年为1880万斤，如果平均每年的增长率为x，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4. 如图，在菱形中，于点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 6. 若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 13 B. 18 C. 15 D. 16 7. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图所示，昆明某小区规划在一个长，宽的矩形花园上修建3条同样宽的景观小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，如果使花园种植部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 方程为一元二次方程，则a的值为______________． 13. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为______． 14. 已知关于x的方程：m2x2+(2m-1)x+1=0有实数根,则m的取值范围是__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为________． 三、解答题（共8小题，满分55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程． （1）2x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x+1）（x+3）＝15． 18. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，且，连接．如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论． 19. 【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 20. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）请直接写出的对偶式_____； （2）已知，，求的值； 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 22. 某商场销售，两种新型小家电，型每台进价元，售价元，型每台进价元，售价元，月份售出型台，且销售这两种小家电共获利不少于元． （1）求月份售出型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，月份型售价每降低元，销量将增加台；型售价每降低元，销量将在月份最低销量的基础上增加台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划月份，两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利元，则这两种小家电都应降低多少元？ 23. 一副三角板分别记作和，其中，，，，作于点于点，如图1，在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合． （1）求证：； （2）将图2中的三角板绕点顺时针旋转，得到图3，延长交于点．求证：四边形为正方形； （3）如图4，保持三角板固定，将三角板绕点顺时针旋转，延长交于点．探究：线段，，的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $