2025--2026学年浙教版七年级下册期中考试数学测试题

浙教版2026年七年级下册期中考试数学测试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a2÷a3＝a﹣1 C．（a3）2＝a5 D．（3a3）2＝6a5 2．（3分）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中正确的是（　　） A．②﹣①×2 B．①﹣②×2 C．①×3﹣②×2 D．①×2+②×3 3．（3分）科学研究表明，Deepseek语言模型在处理复杂度等级为∑3的逻辑语句时，其单位样本错误概率为0.0000000015，人类受试者在相同复杂度等级的逻辑语句测试中，单位样本错误概率均值为0.00001．设错误概率的比值为，则下列选项中用科学记数法表示该比值正确的是（　　） A．1.0×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．1.5×104 D．1.5×10﹣9 4．（3分）下列说法错误的是（　　） A．一个角的余角一定小于这个角的补角 B．有公共顶点的两个角是对顶角 C．两条直线相交所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．（3分）如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 6．（3分）如图1，将长为x+1，宽为x﹣1的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2所示图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（x+1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x（x+1）＝x2+x D．x（x﹣1）＝x2﹣x 7．（3分）有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童x人，竹竿y根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动．在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　） A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大 9．（3分）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 10．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C'的位置，D'C'交BC于点G，∠EFG＝68°．下列结论正确的是（　　） A．∠D'EF＝44° B．∠EFC'＝136° C．∠AED'＝68° D．∠FGC'＝46° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图是铁轨的示意图，∠2是直角，只需量出 　 　 （填写图中标出的一个角）的度数就可以判断两条铁轨是否平行，这样做的依据是：　 　 ． 12．（3分）已知2m＝a，8n＝b，m，n为正整数，则22m+3n＝　 　 ． 13．（3分）已知二元一次方程组，则x+y＝　 　 ． 14．（3分）将一副三角尺按如图方式放置，其中∠ABC＝45°，∠E＝30°，固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒15°的速度绕点B按逆时针方向转动，转动90°后停止．在这个过程中，当转动时间为　 　 秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）． 15．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（12分）计算与化简： （1）10﹣2÷104×100； （2）； （3）先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣4（x﹣y）（x+y），其中，y＝﹣10． 17．（10分）解下列方程组： （1）； （2）． 18．（7分）如图，点A，B，P均在正方形方格纸的格点上，连接AB，PA，PB．按要求完成下列问题． （1）过点P画线段AB所在直线的平行线CD，且点C，D均在格点上； （2）过点P画线段AB所在直线的垂线PE，垂足为点E； （3）线段PE，PA，PB中长度最短的是哪条，依据是什么？ 19．（10分）已知，如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG． 将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式） 解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（　 　 ） ∴EF∥　 　 （　 　 ） ∴∠BEF＝　 　 （　 　 ） 又∵∠B+∠BDG＝180°（已知） ∴BC∥　 　 （　 　 ） ∴∠CDG＝　 　 （　 　 ） ∴∠CDG＝∠BEF（　 　 ） 20．（6分）如图，三条直线两两相交，∠1+∠4＝126°，∠2+∠3＝162°，求∠1与∠4的度数． 21．（8分）根据图中的信息，解答下列问题． （1）如果放入6个球，水面升高了20cm，那么放入的大球、小球各多少个？ （2）要使水面升高18cm，有哪几种放球的方案？ 22．（10分）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，且定价相同，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（请列方程解应用题） （2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和12个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由（水瓶和水杯必须在同一家购买）． 23．（12分）已知，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠CEA＝36°． （1）如图1，判断AB和CD的位置关系，并说明理由； （2）点P在射线AB上，点Q在射线CD上，∠PQC＝∠A，连接QE． ①如图2，若点P在点E的右侧，CE⊥QE，求∠PQE的度数； ②如图3，若点P在点E的左侧，∠CEQ＝α，求∠PQE的度数．（用含α的代数式表示） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a2÷a3＝a﹣1 C．（a3）2＝a5 D．（3a3）2＝6a5 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂法则进行解题即可． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故该项不正确，不符合题意； B、a2÷a3＝a﹣1，故该项正确，符合题意； C、（a3）2＝a6，故该项不正确，不符合题意； D、（3a3）2＝9a6，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中正确的是（　　） A．②﹣①×2 B．①﹣②×2 C．①×3﹣②×2 D．①×2+②×3 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：A．①×2，得4x+6y＝12， ②﹣①×2，得3x+2y﹣4x﹣6y＝﹣8，即﹣x﹣4y＝﹣8，没有消去x或y，仍为二元一次方程，故选项A错误； B．②×2，得6x+4y＝8， ①﹣②×2，得2x+3y﹣6x﹣4y＝﹣2，即﹣4x﹣y＝﹣2，没有消去x或y，仍为二元一次方程，故选项B错误； C．①×3，得6x+9y＝18，②×2，得6x+4y＝8， ①×3﹣②×2，得6x+9y﹣6x﹣4y＝10，即5y＝10，消去了x，故选项C正确； D．①×2，得4x+6y＝12，②×3，得9x+6y＝12， ①×2+②×3，得4x+6y+9x+6y＝24，即13x+12y＝24，没有消去x或y，仍为二元一次方程，故选项D错误． 故选：C． 3．（3分）科学研究表明，Deepseek语言模型在处理复杂度等级为∑3的逻辑语句时，其单位样本错误概率为0.0000000015，人类受试者在相同复杂度等级的逻辑语句测试中，单位样本错误概率均值为0.00001．设错误概率的比值为，则下列选项中用科学记数法表示该比值正确的是（　　） A．1.0×10﹣5 B．1.5×10﹣4 C．1.5×104 D．1.5×10﹣9 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1.5×10﹣4． 故选：B． 4．（3分）下列说法错误的是（　　） A．一个角的余角一定小于这个角的补角 B．有公共顶点的两个角是对顶角 C．两条直线相交所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】由余角，补角的定义，对顶角的定义，垂直的定义，平行公理，即可判断． 【解答】解：A、设这个锐角是α，则这个角的余角是90°﹣α，这个角的补角是180°﹣α，90°﹣α＜180°﹣α，因此一个角的余角一定小于这个角的补角，故A不符合题意； B、有公共顶点的两个角，这两个角的两边不一定互为反向延长线，因此公共顶点的两个角不一定是对顶角，故B符合题意； C、两条直线相交所得的四个角相等，则这4个角是直角，因此这两条直线一定互相垂直，故C不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故D不符合题意． 故选：B． 5．（3分）如图，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠6是内错角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案． 【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意； B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意； C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意； D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意； 故选：C． 6．（3分）如图1，将长为x+1，宽为x﹣1的长方形沿虚线剪成两个长方形，并将两部分拼成图2所示图形，通过计算两个图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（x+1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x（x+1）＝x2+x D．x（x﹣1）＝x2﹣x 【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可． 【解答】解：图1中阴影部分的面积为（x+1）（x﹣1），图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即x2﹣1， 所以有（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1， 故选：B． 7．（3分）有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童x人，竹竿y根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完”即可得出方程组． 【解答】解：根据题意得，． 故选：B． 8．（3分）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动．在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　） A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大 【分析】过点A作AH⊥直线l，根据勾股定理表示出AE的长，从而表示出EB的长，在转动过程中，EH先变小再变大，根据AH固定不变，于是AE先变小再变大，从而得出EB先变大再变小． 【解答】解：过点A作AH⊥直线l，垂足为H，设AB与直线l交于点E， ∵点A和直线l的位置固定， ∴点A到直线l的距离不变，即AH的长不变， 设直线l下方木条长度为EB， ∴EB＝AB﹣AE， 在Rt△AHE中，由勾股定理得：， ∴，且AB，AH在转动过程中长度始终不变， ①当木条从点B往H点方向转动时，EH不断减小， 则不断减小，即AE不断减小， 所以EB＝AB﹣AE不断变大； ②当木条从H点往C点方向转动时，EH不断增大， 则不断增大，即AE不断增大， 所以EB＝AB﹣AE不断变小； 综上，木条从B点转动到C点的过程中，在直线l下方木条的长度先变大再变小． 故选：C． 9．（3分）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【分析】过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，过E作EF∥AB， 则AB∥EF∥CD， ∴∠3＝∠1，∠2＝∠4， 由已知条件得∠3+∠4＝60°， ∴∠1+∠2＝60°， ∵∠1＝25°， ∴∠2＝35°， 故选：D． 10．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C'的位置，D'C'交BC于点G，∠EFG＝68°．下列结论正确的是（　　） A．∠D'EF＝44° B．∠EFC'＝136° C．∠AED'＝68° D．∠FGC'＝46° 【分析】由矩形的性质得∠C＝90°，AD∥BC，再由平行线的性质得∠EFG＝∠FED＝68°，然后由折叠的性质得∠D′EF＝∠FED＝68°，D′E∥C′F，∠C′＝∠C＝90°，求出∠AED′＝44°，∠EFC′＝112°，∠C′FG＝44°，∠FGC′＝46°，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AD∥BC， ∴∠EFG＝∠FED＝68°， 由折叠的性质得：∠D′EF＝∠FED＝68°，D′E∥C′F，∠C′＝∠C＝90°， ∴∠AED′＝180°﹣68°﹣68°＝44°，∠EFC′＝180°﹣∠D′EF＝180°﹣68°＝112°， ∴∠C′FG＝∠EFC′﹣∠EFG＝112°﹣68°＝44°， ∴∠FGC′＝90°﹣∠C′FG＝90°﹣44°＝46°， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图是铁轨的示意图，∠2是直角，只需量出 　∠3或∠4或∠5　 （填写图中标出的一个角）的度数就可以判断两条铁轨是否平行，这样做的依据是：　“同旁内角互补，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”或“内错角互补，两直线平行”　 ． 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：通过度量图中标出的∠3，∠4，∠5的度数，来判断两条铁轨是否平行，理由如下： 若∠3＝90°，则∠2+∠3＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”即可判定两条铁轨平行，否则，两条铁轨不平行； 若∠4＝90°，则∠2＝∠4，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定两条铁轨平行，否则，两条铁轨不平行； 若∠5＝90°，则∠2＝∠5，根据“内错角互补，两直线平行”即可判定两条铁轨平行，否则，两条铁轨不平行． 故答案为：∠3或∠4或∠5； 12．（3分）已知2m＝a，8n＝b，m，n为正整数，则22m+3n＝a2b ． 【分析】将22m+3n变形为（2m）2•8n，然后代入计算即可． 【解答】解：∵2m＝a，8n＝b， ∴22m+3n＝22m•23n＝（2m）2•（23）n＝（2m）2•8n＝a2b，故答案为：a2b． 13．（3分）已知二元一次方程组，则x+y＝　2　 ． 【分析】将两个方程相加后再两边同除以10即可． 【解答】解：将方程组中的两个方程相加可得10x+10y＝20， 则x+y＝2， 故答案为：2． 14．（3分）将一副三角尺按如图方式放置，其中∠ABC＝45°，∠E＝30°，固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒15°的速度绕点B按逆时针方向转动，转动90°后停止．在这个过程中，当转动时间为　1或3　 秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）． 【分析】根据题意画出BD∥AC时的图形，利用旋转的性质得等式，解得t值即可；如图，当DE∥AB时，得出15t°＝15°，求解即可． 【解答】解：如图，当BD∥AC时， ∠CBD＝∠C＝45°， ∴∠EBC＝90°﹣45°＝45°， ∵三角板BDE以每秒15°的速度绕点B按逆时针方向转动， ∴t秒转动的角度为15t°， 即15t＝45，解得t＝3， ∴当转动时间为3秒时，BD∥AC； 如图，当DE∥AB时， ∴∠ABE＝∠E＝30°， ∴∠EBC＝45°﹣30°＝15°， ∵三角板BDE以每秒15°的速度绕点B按逆时针方向转动， ∴t秒转动的角度为15t°，即∠EBC＝15t°， ∴15t°＝15°， ∴t＝1； 综上，当转动时间为1或3秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）， 故答案为：1或3． 15．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　 ． 【分析】先求得∠BOD的度数，再根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC，根据垂直的定义即可求解． 【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴， ∴∠BOD＝∠AOC＝40° ∵EO⊥CD， ∴∠EOC＝90°， ∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°， 故答案为：130°． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（12分）计算与化简： （1）10﹣2÷104×100； （2）； （3）先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣4（x﹣y）（x+y），其中，y＝﹣10． 【分析】（1）根据实数的运算法则运算即可； （2）根据整式的运算法则化简即可； （3）先将整式化简，再代入求值即可． 【解答】解：（1）10﹣2÷104×100 1 ＝10﹣6； （2） ＝m2n3m3n3； （3）（2x﹣y）2﹣4（x﹣y）（x+y） ＝4x2﹣4xy+y2﹣4x2+4y2 ＝5y2﹣4xy， 当x，y＝﹣10时．原式＝5×（﹣10）2﹣4500+4＝504． 17．（10分）解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程组变形后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， ②﹣①×2得：7y＝﹣7， 解得：y＝﹣1， 将y＝﹣1代入①得：x+2＝3， 解得：x＝1， 故原方程组的解为； （2）原方程组整理得， ①﹣②得：2y＝﹣4， 解得：y＝﹣2， 将y＝﹣2代入②得：2x﹣6＝12， 解得：x＝9， 故原方程组的解为． 18．（7分）如图，点A，B，P均在正方形方格纸的格点上，连接AB，PA，PB．按要求完成下列问题． （1）过点P画线段AB所在直线的平行线CD，且点C，D均在格点上； （2）过点P画线段AB所在直线的垂线PE，垂足为点E； （3）线段PE，PA，PB中长度最短的是哪条，依据是什么？ 【分析】（1）根据平行线的判定画出图形； （2）取格点E，作直线PE即可； （3）根据垂线段最短判断即可． 【解答】解：（1）如图，直线CD即为所求； （2）如图，直线PE即为所求； （3）∵PE⊥AB， ∴线段PE的长最短（垂线段最短）． 19．（10分）已知，如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG． 将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式） 解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（　已知　 ） ∴EF∥CD （　在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行　 ） ∴∠BEF＝　∠BCD （　两直线平行，同位角相等　 ） 又∵∠B+∠BDG＝180°（已知） ∴BC∥DG （　同旁内角互补，两直线平行　 ） ∴∠CDG＝　∠BCD （　两直线平行，内错角相等　 ） ∴∠CDG＝∠BEF（　等量代换　 ） 【分析】根据平行线的判定与性质进行填空即可． 【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知） ∴EF∥CD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等） 又∵∠B+∠BDG＝180°（已知） ∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等） ∵∠BEF＝∠BCD（已证） ∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）． 故答案为：已知，CD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， ∠BCD，两直线平行，同位角相等， DG，同旁内角互补，两直线平行， ∠BCD，两直线平行，内错角相等， 等量代换． 20．（6分）如图，三条直线两两相交，∠1+∠4＝126°，∠2+∠3＝162°，求∠1与∠4的度数． 【分析】根据已知等式和∠4+∠2＝180°求得∠1+∠3＝108°，即可求得∠1的度数，进而求得∠4的度数． 【解答】解：∵∠1+∠4＝126°， ∠2+∠3＝162°， ∴∠1+∠4+∠2+∠3＝126°+162°＝288°， ∵∠4+∠2＝180°， ∴∠1+∠3＝108°， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝108°÷2＝54°， ∴∠4＝126°﹣∠1＝126°﹣54°＝72°， ∴∠1的度数为54°，∠4的度数为72°． 21．（8分）根据图中的信息，解答下列问题． （1）如果放入6个球，水面升高了20cm，那么放入的大球、小球各多少个？ （2）要使水面升高18cm，有哪几种放球的方案？ 【分析】（1）求出放入1个小球、1个大球水面上升的高度，设放入x个大球，则放入（6﹣x）个小球，根据水面上升20cm，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即放入大球的个数），再将其代入（6﹣x）中，即可求出放入小球的个数； （2）设放入m个大球，n个小球，根据水面上升18cm，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各放球方案． 【解答】解：（1）放入1个小球水面上升的高度为（36﹣24）÷4＝3（cm）； 放入1个大球水面上升的高度为（36﹣24）÷3＝4（cm）． 设放入x个大球，则放入（6﹣x）个小球， 根据题意得：4x+3（6﹣x）＝20， 解得：x＝2， ∴6﹣x＝6﹣2＝4（个）． 答：放入2个大球，4个小球； （2）设放入m个大球，n个小球， 根据题意得：4m+3n＝18， ∴n＝6m， 又∵m，n均为非负整数， ∴或， ∴共有2种放球方案， 方案1：放入6个小球； 方案2：放入3个大球，2个小球． 22．（10分）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，且定价相同，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（请列方程解应用题） （2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和12个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由（水瓶和水杯必须在同一家购买）． 【分析】（1）设一个水瓶与一个水杯分别是x元y元，根据题意，列出方程组即可求解； （2）分别求出甲乙两个商场所需费用，进行比较即可得结论． 【解答】解：（1）设一个水瓶为x元，则水杯为（48﹣x）元，根据题意，得 3x+4（48﹣x）＝152， 解得x＝40，则48﹣x＝8， 答：一个水瓶与一个水杯分别是40元和8元； （2）甲商场所需费用为： （40×5+8×12）×80%＝236.8（元） 乙商场所需费用为： 5×40+（12﹣5×2）×8＝216（元） 236.8＞216， 所以选择乙商场购买更合算． 23．（12分）已知，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠CEA＝36°． （1）如图1，判断AB和CD的位置关系，并说明理由； （2）点P在射线AB上，点Q在射线CD上，∠PQC＝∠A，连接QE． ①如图2，若点P在点E的右侧，CE⊥QE，求∠PQE的度数； ②如图3，若点P在点E的左侧，∠CEQ＝α，求∠PQE的度数．（用含α的代数式表示） 【分析】（1）根据角平分线的定义以及内错角相等两直线平行来判断证明； （2）①先求出∠A度数，即∠PQC，然后根据平角的定义求出∠PEQ的度数，再根据平行线的性质求出∠EQC的度数，根据角的数量关系求出∠PQE即可； ②根据补角的定义求出∠PQD，根据平行线的性质求出∠EQD，两者相减即为∠PQE． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE， ∵∠ACE＝∠AEC， ∴∠AEC＝∠ECD， ∴AB∥CD； （2）①∵∠ACE＝36°， ∴∠ACD＝2∠ACE＝72°， ∴∠A＝180°﹣∠ACD＝108°， ∴∠CQP＝∠A＝108°， 又∵∠AEC+∠CEQ+∠PEQ＝180°，∠AEC＝36°，∠CEQ＝90°， ∴∠PEQ＝180°﹣36°﹣90°＝54°， ∵AB∥CD， ∴∠EQC＝∠PEQ＝54°， ∴∠PQE＝∠PQC﹣∠EQC＝54°； ②由①知∠CQP＝108°， ∴∠PQD＝180°﹣108°＝72°， ∵∠CEQ＝α， ∴∠PEQ＝∠AEC+∠CEQ＝36°+α， ∵AB∥CD， ∴∠EQD＝∠PEQ＝36°+α， ∴∠EQP＝∠PQD﹣∠EQD＝36°﹣α． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/25 9:56:40；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $