精品解析：山东菏泽市定陶区2025-2026学年九年级下学期期中数学试题

九年级数学期中样题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A. 1 B. 0 C. D. 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 6. 先化简，再选取合适的整数代入，下列说法正确的是（ ） A. 化简结果为可取2 B. 化简结果为可取0 C. 化简结果为可取1 D. 化简结果为可取2 7. 如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价．该药品的原价是144元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知抛物线（a，b，c是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②；③若关于x的方程有实数根，则；④方程有两个实数根，，则．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则______． 12. 若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是__________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____． 14. 对于x、y定义了一种新运算G，规定，若关于a的不等式组恰好有2个整数解，则实数P的取值范围是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 17. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 19. 某市为推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校随机调查部分学生“用过的餐巾纸应投放的收集桶颜色”，根据调查结果，绘制成如下不完整统计图．根据图中信息，解答下列问题： 用过的餐巾纸投放情况统计图 （1）填空：此次调查一共随机采访了_____，名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为_____度； （2）若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； （3）从四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中两人的概率； （4）请根据此次调查结果，求出选取红色、蓝色、绿色、灰色四类别人数的方差，并判断这组数据的波动情况． 20. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 21. 为落实“书香校园”建设，某校开展数学综合实践活动，决定采购经典读物与科普读物充实班级图书角．市场调研：购买2套经典读物和3套科普读物共需220元；购买3套经典读物和1套科普读物共需190元．实践任务：学校计划购买两种读物共200套，请结合经费与配比要求：①科普读物数量不超过经典读物的3倍；②购买总费用不超过9200元． （1）求每套经典读物、科普读物的单价； （2）本次实践活动共有几种符合条件的采购方案？ （3）通过计算确定最省钱的采购方案，并求出最低费用． 22. 已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 23. 综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 （1）定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 （2）如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； （3）若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 （4）如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中样题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵ ， ∴A计算错误． B．∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴B计算错误． C．∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， ∴C计算正确． D．∵， ∴D计算错误． 4. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等是解决此题的关键．找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均为矩形的即可． 【详解】解：A．主视图为矩形，左视图为三角形，所以A选项不符合题意； B．主视图和左视图都为等腰梯形，所以B选项不符合题意； C．主视图和左视图都为三角形，所以C选项不符合题意； D．主视图为矩形，左视图也是矩形，所以D符合题意； 故选：D． 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 6. 先化简，再选取合适的整数代入，下列说法正确的是（ ） A. 化简结果为可取2 B. 化简结果为可取0 C. 化简结果为可取1 D. 化简结果为可取2 【答案】B 【解析】 【分析】先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件 分母不能为0 ，除式不能为0， 可得 即且 逐一判断选项∶ A．时，除式为0，分式无意义，错误； B．化简结果为，，满足且，符合要求．正确； C．化简结果错误，错误； D．化简结果错误，且时，分式无意义，错误． 7. 如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠问题，由平行线的性质和折叠的性质可得，再利用角的和差即可求出．掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得： ， ∵， ∴． 故选：C． 8. 为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价．该药品的原价是144元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是熟练掌握终止量与起始量和降低总次数的关系，正确列出方程． 设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意列方程得． 故选：C． 9. 已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式和一次函数的性质求出m的取值范围，结合选项筛选出符合条件的整数m． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根 ∴根的判别式 解得． ∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴， 观察各选项，只有B符合题意． 10. 已知抛物线（a，b，c是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②；③若关于x的方程有实数根，则；④方程有两个实数根，，则．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，判别式及方程根的存在性条件，解题时要熟练掌握二次函数的性质与代数变形技巧是关键，结合条件解参数范围时要注意分母符号． ①根据题意得出开口向下，对称轴在轴的右侧，即可判断出；②根据抛物线（，，是常数）过和两点，且，由对称轴与根的关系即可求得；③抛物线（，，是常数且）与直线有交点，可知抛物线的顶点纵坐标大于等于，列出不等式化简即可；④根据抛物线过和两点，可得出方程有两个实数根，，则可求出，然后根据不等式的性质并结合求解即可． 【详解】解：抛物线（，，是常数）过和两点，且， ，即， 故②正确； 对称轴在轴右侧， ，， ， 故①正确； 若关于的方程有实数根， 抛物线（，，是常数且）与直线有交点， ， 抛物线开口向下， 抛物线的顶点纵坐标大于等于， ， 又， ， 故③错误； 抛物线（，，是常数且）过和两点， 方程有两个实数根为，， 不妨设，， ， ， ， ，即 故④正确， 故正确的结论有：①②④， 故答案选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的平移，掌握平移点的坐标规律：左减右加，上加下减是解题的关键． 【详解】解：点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点得坐标为， ∵点的横坐标和纵坐标相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m 的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线的性质解答． 【详解】解：如图，作DP′⊥AB于P′， 则此时DP′最小，即PD最小， 由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB， ∴DP′＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14. 对于x、y定义了一种新运算G，规定，若关于a的不等式组恰好有2个整数解，则实数P的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有2个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵， ∴关于a的不等式组，即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有2个整数解， ∴整数解为，， ∴， 解得：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）； （2），，0，1，2． 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集是， 不等式组的整数解为，0，1，2． 17. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理． （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）由（1）易得，根据，易证，，再根据三角形内角和定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 19. 某市为推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校随机调查部分学生“用过的餐巾纸应投放的收集桶颜色”，根据调查结果，绘制成如下不完整统计图．根据图中信息，解答下列问题： 用过的餐巾纸投放情况统计图 （1）填空：此次调查一共随机采访了_____，名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为_____度； （2）若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数； （3）从四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中两人的概率； （4）请根据此次调查结果，求出选取红色、蓝色、绿色、灰色四类别人数的方差，并判断这组数据的波动情况． 【答案】（1）200，198； （2）320人； （3）； （4）方差为1298，数值较大，说明这组数据的波动较大． 【解析】 【分析】（1）利用选择蓝色的学生人数除以所占的百分比，求出总人数，利用“灰”所占的比例求解“灰”所在扇形的圆心角的度数即可； （2）用全校的人数乘以样本中“红”所占的比例，进行求解即可； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可； （4）根据方差公式计算出方差判断即可． 【小问1详解】 解：此次调查一共随机采访学生（名）， “灰”所在扇形的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种， 概率为； 【小问4详解】 解：选择“绿”的学生人数为（人）， 四类别人数依次为红16人，蓝44人，绿30人，灰110人 平均数： 方差： 方差为1298，数值较大，说明这组数据的波动较大（或“不稳定”、“离散程度大”）． 20. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 21. 为落实“书香校园”建设，某校开展数学综合实践活动，决定采购经典读物与科普读物充实班级图书角．市场调研：购买2套经典读物和3套科普读物共需220元；购买3套经典读物和1套科普读物共需190元．实践任务：学校计划购买两种读物共200套，请结合经费与配比要求：①科普读物数量不超过经典读物的3倍；②购买总费用不超过9200元． （1）求每套经典读物、科普读物的单价； （2）本次实践活动共有几种符合条件的采购方案？ （3）通过计算确定最省钱的采购方案，并求出最低费用． 【答案】（1）经典读物每套50元，科普读物每套40元； （2）共有71种购买方案； （3）购买经典读物50套，科普读物150套时，采购方案最省钱，最低费用为8500元 【解析】 【分析】（1）设每套经典读物元，每套科普读物元，根据购买2套经典读物和3套科普读物共需220元；购买3套经典读物和1套科普读物共需190元列方程组求解即可； （2）设购买经典读物a套，则科普读物套，根据①科普读物数量不超过经典读物的3倍；②购买总费用不超过9200元列不等式组求解即可； （3）设总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每套经典读物元，每套科普读物元． 由题意得方程组：， 解得， 答：经典读物每套50元，科普读物每套40元； 【小问2详解】 解：设购买经典读物a套，则科普读物套． 依题意列不等式组：， 解得，且为整数． 方案数为：（种） 答：共有71种购买方案； 【小问3详解】 解：设总费用为元，则， ∵，所以随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，（元）， 套， 答：购买经典读物50套，科普读物150套时，采购方案最省钱，最低费用为8500元． 22. 已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）将点A的坐标和对称轴代入二次函数中，即可求解； （2）表示出平移后的点B的坐标，再代入关系式，求出m的值； （3）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴解得， ∴二次函数的关系式为. 【小问2详解】 解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴的值为4． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，关于直线对称， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 当时，， 分三种情况： ①当时， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时取得最大值，即最大值为， 当时取得最小值，即最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时时取得最大值，即最大值为， 时取得最小值，即最小值为， 此时最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 此时时取得最小值，即最小值为， 时取得最大值，最大值为， 由题意可得：， 解得，， 与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去； 综上，n的取值范围为. 23. 综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 （1）定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 （2）如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； （3）若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 （4）如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 【答案】（1）①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） （2） 证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． （3） 解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． （4） 【解析】 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $