精品解析：山东青岛市市南区第二十六中学2026年九年级一模考试数学试题

2026年青岛二十六中初三一模考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为149000000千米，则149000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 6. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将沿轴翻折后，再绕原点旋转得到，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 13. 实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______． 14. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 15. 如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线的切点，B是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为______． 三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：和一边上的点B 求作：，满足是它的一个内角，且对角线． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解不等式组 （2）化简：． 19. 湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座八角七级砖塔（图所示），被称为“药师塔”． 课题 测量药师塔的高度 测量工具 测角仪等 测量示意图 测量过程 如图，为了测量药师塔的高度，采用了如下的方法：先从与塔底在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从沿水平方向继续前行若干米后至点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为． 说明 点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．要求结果精确到．（参考数据：，，） （1）求坡顶到的距离； （2）计算药师塔的高度． 20. 《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著； （4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 21. 如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 （1）把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； （2）把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； （3）把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； （4）当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 22. 如图，已知，是一次函数反比例函数图象的两个交点，轴于，轴于. （1）求一次函数解析式及的值； （2）是线段上的一点，连、，若和面积相等，求点坐标. 23. 已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得，．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：； （2）连接BD交EH于点O，若，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？并说明理由． 24. 如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的的距离； （3）如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 25. 如图，已知：，，，，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设的面积为S，求出S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年青岛二十六中初三一模考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 2. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为149000000千米，则149000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，需掌握科学记数法的表示形式为（其中，为整数），确定和的值是解题关键． 【详解】解：． 3. “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力．运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别即可． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、不能合并，故错误，不合题意； 故选：B． 5. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求平均数， 根据平均数的计算公式，将所有数据之和除以数据个数即可． 【详解】解：样本数据2，8，14，16，20的平均数为：． 故选：C． 6. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由立体图形的特点及三视图的特点分析即可求解．注意立体图形中存在的线段，看得见的用实线，看不见的用虚线表示． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看，可知几何体的俯视图如下，  ， 故选项D符合题意． 7. 如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形外角的性质，可求得正五边形的每个内角为，进而求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知，正五边形的一个外角为， ∴正五边形的每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，将沿轴翻折后，再绕原点旋转得到，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，旋转的性质．关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为其相反数；关于原点对称的点，其横纵坐标分别变为其相反数．由题意，先求出沿x轴翻折后点B对应点的坐标，再求出绕原点旋转，对应的点的坐标即可． 【详解】由网格图，可知点， 将沿x轴翻折后点B对应点的坐标为， 再绕原点旋转，对应的点的坐标为， 故选A． 9. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，点为地心，所在平面为赤道所在平面，即，延长至点，，即所在平面为处的水平面，过点且平行于，即为晷面，，即为晷针，晷针与点处的水平面所成的角即为． 【详解】解：如图所示，点为地心，所在平面为赤道所在平面，即，延长至点，，即所在平面为处的水平面，过点且平行于，即为晷面，，即为晷针，晷针与点处的水平面所成的角即为． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以晷针与点处的水平面所成的角为． 10. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，根据二次函数的图象得出，结合一次函数关系式即可排除B，C，根据二次函数对称轴可得，根据二次函数经过得出，假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ，进行判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据二次函数图象得，根据一次函数关系式得出直线经过第一、三、四象限，排除 B，C； 根据对称轴是直线，得，即． 将代入二次函数关系式，得，即． 假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ， 整理得，即， 即 ， 因为，所以方程无实根， 即一次函数与反比例函数的图象无交点，故 A 符合题意， 故选：A． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式. 故答案为：. 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：100． 14. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 15. 如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据矩形的折叠证明为等边三角形，解求出，再由等边三角形的性质以及折叠可得，即可求解． 【详解】解：∵将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴由折叠得， 又矩形中，， ∴ 又 ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线的切点，B是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设大圆的半径为R，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，作垂直于，交、于S、N，垂足为M，过点O作垂直于，垂足为Q， ∵A到直线和的距离均为， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由于是圆弧的切线， ∴，， 设大圆的半径为R，则， ，， ∵， ∴ 解得， 图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，熟练掌握圆的有关计算方法是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：和一边上的点B 求作：，满足是它的一个内角，且对角线． 【答案】 解：如图，即为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了作垂线、作平行四边形，熟练掌握尺规作图和平行四边形的判定是解题关键． 先过点作另一边的垂线，使得，再分别以点、为圆心，、为半径画弧，两弧在的内部交于点，连接，可得，则四边形是平行四边形，由此即可得． 【详解】略 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解不等式组 （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式混合运算，熟练掌握确定不等式组解集的原则和分式混合运算法则是解题的关键． （1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定出不等式组的解集即可； （2）先根据整式加分式法则计算括号内的，再运用分式除法法则转化成分式乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：（1） 解①得： 解②得：， ∴不等式组解集为； （2）原式 ． 19. 湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座八角七级砖塔（图所示），被称为“药师塔”． 课题 测量药师塔的高度 测量工具 测角仪等 测量示意图 测量过程 如图，为了测量药师塔的高度，采用了如下的方法：先从与塔底在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从沿水平方向继续前行若干米后至点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为． 说明 点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．要求结果精确到．（参考数据：，，） （1）求坡顶到的距离； （2）计算药师塔的高度． 【答案】（1）坡顶到的距离为米； （2）药师塔的高度约为米． 【解析】 【分析】（）过点作，垂足为，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （）延长交于点，根据题意可得，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答； 本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：（米）， ∵米， ∴， 解得:， ∴米， ∴坡顶到的距离为米； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 由题意可得，米， ∵塔底的俯角为，， ∴， ∴， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴药师塔的高度约为米． 20. 《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著； （4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 【答案】（1）80；2 （2）读完一部的人数为：（人）， 将条形统计图补充如下： （3）288名 （4） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中“2部”的人数除以扇形统计图中“2部”的百分比可得本次调查的学生人数；根据中位数的定义可得答案． （2）求出“1部”的人数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用480乘以样本中“2部”“3部”“4部”的学生人数所占的百分比之和，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是两人恰好阅读同一部名著的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共抽取了名学生， 80个数据从小到大排列后，处在中间位置的是第40个和41个数据，即为2和2， 故中位数为（部）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， ∴至少阅读2部名著的学生有288名． 【小问4详解】 解：画树状图如图所示： 由图可得所有等可能的结果数共有16种，两人恰好阅读同一本名著的结果数有4种， ∴两人恰好阅读同一本名著的概率为：． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键． 21. 如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 （1）把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； （2）把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； （3）把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； （4）当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先求出每个小圆的直径，即可解答； （2）先求出每个小圆的直径，即可解答； （3）先求出每个小圆的直径，即可解答； （4）根据大圆直径被等分，得出小圆直径为，即可解答； 【小问1详解】 解：把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； 【小问2详解】 解：把分成三条相等的线段，每个小圆的周长； 【小问3详解】 解：把分成条相等的线段，每个小圆的周长； 【小问4详解】 解：以为直径的圆的面积为， 把分成条相等的线段，每个小圆的直径为，即每个小圆的半径为， 则每个小圆的面积， ∵ ∴． 22. 如图，已知，是一次函数反比例函数图象的两个交点，轴于，轴于. （1）求一次函数解析式及的值； （2）是线段上的一点，连、，若和面积相等，求点坐标. 【答案】（1），；（2）点P的坐标为. 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点B的坐标代入反比例函数中，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）根据A、B点的坐标可以找出C、D点的坐标，由此可得出线段AC、BD的长度以及直线AC、BD的函数解析式，设点P的坐标为（m，），根据点到直线的距离以及三角形的面积公式可以得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，代入到P点的坐标即可得出结论． 【详解】解：（1）将，代入一次函数解析式中，得， 解得：.故一次函数的解析式为. 将代入反比例函数解析式中，得， 解得：. （2）∵，，且轴于，轴于， ∴，，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 设点的坐标为， 点到直线的距离为，点到直线的距离为. ∵面积和面积相等， ∴， 解得：， 点P的坐标为. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，（1）用到了待定系数法求函数解析式，这个是考试必考内容之一，在日常做题中应多加练习；（2）巧妙的利用点到直线的距离代替了高，减少了运算量． 23. 已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得，．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：； （2）连接BD交EH于点O，若，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=CD，AB∥CD，AD∥BC， 所以∠AEF=∠CHG，∠EAF=∠ADH=∠HCG． 因为，， 所以BE=2AB=DH=2CD=2AE=2CH， 所以△AEF≌△CHG， 所以AF=CG． （2） ，理由如下： 若四边形BEDH是正方形， 所以DE=BE=2AB，AB=AE，∠AED=90°， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到BE=2AB=DH=2CD=2AE=2CH，证明△AEF≌△CHG即可． （2）根据正方形性质，得到DE=BE=2AB，在直角三角形AED中，得到，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 24. 如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的的距离； （3）如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 【答案】（1） （2）米 （3）元 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解． （3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，作轴于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， 在中，轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设抛物线对应的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 令， 解得：， ∴， ∴（米） 【小问3详解】 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设矩形中，米， 则，代入，， 得， ∴ ， ∴， 由（1）可得， ， 设总费用为， ∴ ； 当时，取得最小值， 最小值为， ∴菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，已知：，，，，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设的面积为S，求出S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是存在，当时，，，三点在同一条直线． 【解析】 【分析】（1）利用两边平行且相等的四边形为平行四边形可得，以此建立方程求解即可； （2）根据勾股定理求出，由直角三角形的中线性质得，由平行线的性质得，则，，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点，，易得四边形为平行四边形，于是，，进而算出，，由等面积法可求出，再根据三角形的面积公式代入计算即可； （3）连接并延长，交的延长线于点，交于点，过点作于点，由平行线分线段成比例和线段中点定义可得，，由同角的余角相等得，于是，，再利用平行线分线段成比例可得，求出，，以此即可求解． 【小问1详解】 解： ， 当时，四边形为平行四边形时， 由题意可得，，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 是边上的中点， ， ， ， 在中，，，， ，，， ， ，， 如图，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； 即； 【小问3详解】 解：存在，过程如下： 如图，连接并延长，交的延长线于点，交于点，过点作于点， 则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 当时，，，三点在同一条直线． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的应用、几何动点问题、平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $