精品解析：2025年山东省青岛市市南区联考中考一模数学试题　

2024-2025学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明：本试题共有25道题，其中1-9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共4分；17-25题为解答题，共71分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 窗棂是中国传统建筑中窗户的重要组成部分，不仅具有实用功能，还兼具文化内涵．下列窗棂图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯结构是在两个木构件上采用的一种凹凸结合的连接方式．如图为中间穿孔的卯结构，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 数轴上点的位置如图所示，则表示的实数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，放在平面直角坐标系中，其中，，．将先向左平移4个单位得到，再绕点的对应点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于点，则下列结论：①为的中点；②为等腰三角形；③平分；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 计算的结果是__________． 11. 为庆祝故宫博物院建院100周年，学校开展了评“星”活动，即根据文物知识笔试和现场演讲两项比赛的综合得分，评选出学校的“文化传承之星”．其中现场演讲由6位评委打分，其比赛成绩为去掉最高分和最低分后的平均分．小丽的得分如下表，若文物知识笔试和现场演讲两项成绩按的比例确定综合得分，则小丽的综合得分为________． 活动 得分 文物知识笔试 80 现场演讲 评委一 评委二 评委三 评委四 评委五 评委六 96 88 89 91 84 92 12. 若是关于的方程的一个根，则另一个根为________． 13. 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为________． 14. 宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为________． 15. 图1是俄罗斯方块游戏中的五种基本图案，每个小正方形的边长均为1，从若干个这些图案中选取3个进行拼合（同一种图案最多取2个），所拼成图形的周长最小是________；图2是五种基本组合体，每个小立方块的棱长均为1，从若干个这些组合体中选取3个进行拼合（同一种组合体最多取2个），所拼成立体图形的表面积最小是________． 三、作图题（本题满分4分） 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，小明准备在家里的楼梯上方装三幅挂画，为了美观，三幅挂画的中心点A，，的连线与楼梯扶手平行，A在的正上方，在的正上方，是中点，小明已确定点A的位置，请在图中作出点和点． 四、解答题（本大题满分71分，共有9道小题） 17. （1）解不等式组 （2）化简：． 18. 小青和小琴设计了如图所示的可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并标上数字．转动转盘，若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止．小青转动转盘A，小琴转动转盘B，若转到的两数之和大于0，则小青胜；否则，小琴胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 19. 在2025年十四届全国人大三次会议记者会上，国家卫生健康委员会宣布要实施“体重管理年”3年行动．（身体质量指数），是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．下列图表为九年级男女生标准与统计图． 九年级男生标准 等级 范围 低体重 正常 超重 肥胖 九年级女生标准 等级 范围 低体重 正常 超重 肥胖 九年级1班男生在的数据为：14.1，14.5，15.9，16.3，16.5，16.6，16.6，16.7，16.9，17.1，17.5，18.1，18.4； （1）九年级（1）班男生正常的人数是________人，的中位数为________； （2）九年级（1）班女生超重的有1人，则扇形统计图中低体重的圆心角为________°； （3）该学校九年级共有男生440人，女生400人，请你估计该校共有多少人正常？ 20. 如图，青岛祈福灯塔位于奥帆中心情人坝的尽头，是为了满足2008年奥帆赛的需要而建造的，如今游客观光时可通过灯塔位置判断相对方位．一艘游船位于点时，测得A位于的南偏东，，当游船行驶到点时，测得A位于的北偏东，． （1）求，两地在南北方向的距离； （2），两地的距离为________． （结果保留根号．参考数据：，，，，，） 21. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 22. 如图1，四边形是边长为6的正方形，为上一点，将沿折叠，点落在点处，连接，． （1）若为的中点，求的面积． 要解决这个问题，可以这样思考：如图2，过作，可得与、都垂直，在中，由勾股定理得，由等面积法可求得，因此，由可得，则，因此，所以________； （2）如图3，若为的三等分点（），则________； （3）如图4，若为的等分点（），则________． 23. 如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． （1）求证：； （2）连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 24. 大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，是坐标原点，喷水管为，喷头，水流落在山坡上的点和处． （1）求山坡和轴右侧抛物线的表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，请问在坡段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 25. 如图1，是边长为的等边三角形，，分别为边，的中点，点从出发，以的速度沿向运动，过作，分别交，于点，；同时，点从出发，以的速度沿向A运动，设运动时间为． （1）为何值时，在的角平分线上？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图2，将沿折叠，A的对应点为，是否存在某一时刻，使得落在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明：本试题共有25道题，其中1-9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共4分；17-25题为解答题，共71分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 窗棂是中国传统建筑中窗户的重要组成部分，不仅具有实用功能，还兼具文化内涵．下列窗棂图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转 后与原图重合． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3. 榫卯结构是在两个木构件上采用的一种凹凸结合的连接方式．如图为中间穿孔的卯结构，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．注意：看不见的棱要画成虚线． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：如图为中间穿孔的卯结构，它的主视图为： 故选：D． 4. 数轴上点的位置如图所示，则表示的实数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据数形结合的思想观察数轴确定点的位置是解题的关键． 先估算选项中的无理数，再根据数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴； ∵，， ∴， ∴从数轴可以得到表示的实数可能是， 故选：A． 5. 如图，放在平面直角坐标系中，其中，，．将先向左平移4个单位得到，再绕点的对应点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握合并同类项法则、全平方公式、幂的乘方法则、同底数幂相乘法则是银题的关键． 根据合并同类项法则计算并判断A；根据全平方公式计算并判断B；根据全平方公式计算并判断C；根据同底数幂相乘法则计算并判断D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，平行四边形、矩形的性质和判定方法是正确解答的关键． 根据平行四边形的性质和判定方法可得四边形是平行四边形，在根据平行线的性质以及矩形的判定和性质得到，由正六边形的性质得到是含有的直角三角形，根据直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∵，即， ∴． 故选：A． 8. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 9. 如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于点，则下列结论：①为的中点；②为等腰三角形；③平分；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】易证，可得，可得①正确，再根据角平分线的性质可求得，可得②正确，证明，则③不正确，根据③可求得④正确．本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 不能得出为的中点； 故①不符合题意； ∵为的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，，， ∴， ∴为等腰三角形， 故②符合题意； 过E作于G点， ∵E是的角平分线上的点，且， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分；不平分； 故③不符合题意； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故④符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：； 故答案为： 11. 为庆祝故宫博物院建院100周年，学校开展了评“星”活动，即根据文物知识笔试和现场演讲两项比赛的综合得分，评选出学校的“文化传承之星”．其中现场演讲由6位评委打分，其比赛成绩为去掉最高分和最低分后的平均分．小丽的得分如下表，若文物知识笔试和现场演讲两项成绩按的比例确定综合得分，则小丽的综合得分为________． 活动 得分 文物知识笔试 80 现场演讲 评委一 评委二 评委三 评委四 评委五 评委六 96 88 89 91 84 92 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数和算术平均数，掌握加权平均数计算公式是解答本题的关键． 根据加权平均数和算术平均数公式解答即可． 【详解】解：由题意得，小丽的综合得分为： ， 故答案为：86． 12. 若是关于的方程的一个根，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题词的关键是熟练掌握若是一元二次方程的两根，则，． 设方程另一个根为x，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程另一个根为x， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 13. 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 14. 宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用利润问题，解题的关键是找到等量关系． 根据利润利润单价数量即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 15. 图1是俄罗斯方块游戏中的五种基本图案，每个小正方形的边长均为1，从若干个这些图案中选取3个进行拼合（同一种图案最多取2个），所拼成图形的周长最小是________；图2是五种基本组合体，每个小立方块的棱长均为1，从若干个这些组合体中选取3个进行拼合（同一种组合体最多取2个），所拼成立体图形的表面积最小是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三视图的相关计算，解题关键是优先选择能形成大块连续图形的组合，减少外露边数． 周长计算原则：拼合图形时，相邻小正方形的边数越多，周长越小； 最优拼合策略：优先选择能形成大块连续图形的组合，减少外露边数． 【详解】解：图1： 第一个图案“直线” 型：通过平移线段，可将其周长看作一个长为4，宽为1的长方形的周长，根据长方形周长公式，（a为长，b为宽），可得周长； 第二个图案“Ｚ” 型：同样平移线段，可看作长3，宽2的长方形周长，； 第三个图案“田”型：可看作长2，宽2的正方形周长，， 第四个图案“Ｌ”型：可看作长3，宽2的长方形周长，； 第五个图案“Ｔ” 型：可看作长3，宽2的长方形周长，； 重合的越多，拼成图形的周长越小，一个 “直线” 型和两个“田”型拼成的图形如图所示， ， 周长为：最小； 图2：重合的越多，所拼成立体图形的表面积越小， 两个 “L”一个 “田”一共个方块，画出图应该是的立方体，表面积为． 三、作图题（本题满分4分） 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，小明准备在家里的楼梯上方装三幅挂画，为了美观，三幅挂画的中心点A，，的连线与楼梯扶手平行，A在的正上方，在的正上方，是中点，小明已确定点A的位置，请在图中作出点和点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 在直线MN的上方作，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线，垂足为B即可． 【详解】解：作法：①延长，作出， ②在射线上，截取， ③连接，作出线段的垂直平分线，交于点． 如图所示：点B、C即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵作出线段的垂直平分线，交于点， ∴是中点． 四、解答题（本大题满分71分，共有9道小题） 17. （1）解不等式组 （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式混合运算，熟练掌握确定不等式组解集的原则和分式混合运算法则是解题的关键． （1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定出不等式组的解集即可； （2）先根据整式加分式法则计算括号内的，再运用分式除法法则转化成分式乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：（1） 解①得： 解②得：， ∴不等式组解集为； （2）原式 ． 18. 小青和小琴设计了如图所示的可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并标上数字．转动转盘，若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止．小青转动转盘A，小琴转动转盘B，若转到的两数之和大于0，则小青胜；否则，小琴胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏对双方公平 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法或树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中转到的两数之和大于0的结果有6种，转到的两数之和不大于0的结果有6种，再由概率公式求出小青胜的概率=小琴胜的概率，即可得出结论． 【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中和大于0的有6种，小于或等于0的有6种， ，， （小青胜）（小琴胜）， 答：游戏对双方公平． 19. 在2025年十四届全国人大三次会议记者会上，国家卫生健康委员会宣布要实施“体重管理年”3年行动．（身体质量指数），是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．下列图表为九年级男女生标准与统计图． 九年级男生标准 等级 范围 低体重 正常 超重 肥胖 九年级女生标准 等级 范围 低体重 正常 超重 肥胖 九年级1班男生在的数据为：14.1，14.5，15.9，16.3，16.5，16.6，16.6，16.7，16.9，17.1，17.5，18.1，18.4； （1）九年级（1）班男生正常的人数是________人，的中位数为________； （2）九年级（1）班女生超重的有1人，则扇形统计图中低体重的圆心角为________°； （3）该学校九年级共有男生440人，女生400人，请你估计该校共有多少人正常？ 【答案】（1）18；17.8 （2）36 （3）全校共有680人正常 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图，中位数以及用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握中位数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）360°乘扇形统计图中低体重的百分比即可； （3）总人数乘以样本中正常人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：九年级（1）班男生正常的人数是18人， 九年级（1）班共有男生22人， 的数据按从小到大排列，第11与第12个数据是17.5，18.1， ∴的中位数为， 故答案为：18；17.8． 【小问2详解】 解：． 故答案为：36． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校共有680人正常． 20. 如图，青岛祈福灯塔位于奥帆中心情人坝的尽头，是为了满足2008年奥帆赛的需要而建造的，如今游客观光时可通过灯塔位置判断相对方位．一艘游船位于点时，测得A位于的南偏东，，当游船行驶到点时，测得A位于的北偏东，． （1）求，两地在南北方向的距离； （2），两地的距离为________． （结果保留根号．参考数据：，，，，，） 【答案】（1），两地在南北方向的距离为600米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）过A作于 M，过B作于N，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论； （2）解，求得，解，求得，则，即，然后在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：解：过A作于 M，过B作于N， 则 ∴四边形 为矩形， ∴， 由题意知，， ， 在 中，， ∵ 在 中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：B，C 两地在南北方向的距离 为 600 米． 【小问2详解】 解：在 中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 答：，两地的距离为． 故答案为：． 21. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】（1）无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 （2）无人机的速度至少提高到70千米/时 【解析】 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【小问1详解】 解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． 【小问2详解】 设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 22. 如图1，四边形是边长为6的正方形，为上一点，将沿折叠，点落在点处，连接，． （1）若为的中点，求的面积． 要解决这个问题，可以这样思考：如图2，过作，可得与、都垂直，在中，由勾股定理得，由等面积法可求得，因此，由可得，则，因此，所以________； （2）如图3，若为的三等分点（），则________； （3）如图4，若为的等分点（），则________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积可得出答案； （2）连接，过作，交于G，可得与、都垂直，由勾股定理得，由等面积法可求得，由可得，求出，，由三角形面积可得出答案； （3）方法同（2）由相似三角形的性质及三角形面积可得出答案． 【小问1详解】 解： ， ， 三角形的面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，过作，交于G，可得与、都垂直， 为的三等分点，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得，同理可得， 同（2）知， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 23. 如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． （1）求证：； （2）连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 24. 大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，是坐标原点，喷水管为，喷头，水流落在山坡上的点和处． （1）求山坡和轴右侧抛物线的表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，请问在坡段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 【答案】（1）直线l的解析式为，抛物线解析式为 （2）没有风险 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出直线和轴右侧抛物线的表达式即可； （2）设右侧水流与地表的高度差为米，得出，求出，从而得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过原点， ∴设直线表达式为：， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴山坡的表达式为：； ∵在直线上， ∴，， ∵两侧水流关于轴对称， ∴右侧抛物线经过点， 设右侧抛物线表达式为：， 将，，代入， 得， 解得， ∴轴右侧抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：没有风险； 理由：设右侧水流与地表的高度差为米， 则， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴直线， 又∵， ∴当时，， ∴没有风险． 25. 如图1，是边长为的等边三角形，，分别为边，的中点，点从出发，以的速度沿向运动，过作，分别交，于点，；同时，点从出发，以的速度沿向A运动，设运动时间为． （1）为何值时，在的角平分线上？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）如图2，将沿折叠，A的对应点为，是否存在某一时刻，使得落在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，为时，点恰好落到上 【解析】 【分析】（1）如图1，由题意得：，，根据等边三角形的性质和勾股定理可得，，再证明也是等边三角形，则，由面积法可知：，最后由列方程即可解答； （2）如图2，过点作于，过点作于，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理计算，，的长，利用即可解答； （3）如图3，由折叠得：，，，证明，可得，，根据列方程即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，由题意得：，， 是等边三角形，是的中点，且边长为8， ，，， ， ， ， ，，， 也是等边三角形， ， 平分， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于，过点作于， 是的中点， ， 在中，， ， ，， ，， ， 在中，，， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：存在某一时刻，使得落在上， 如图3，由折叠得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形相似，等边三角形，三角形折叠的性质，四边形的面积的计算方法，并与方程相结合，解本题的关键是根据时间和速度表示出线段的长，也是难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $