精品解析：江苏扬州市梅岭中学等校2025-2026学年第二学期期中考试试卷 九年级数学学科

2025-2026学年第二学期期中考试试卷 初三年级数学学科 （满分：150分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算判断即可，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 故选：． 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 甲乙两组数据，若，则甲组数据更为稳定 B. 从一个只装有黄球和白球的不透明的袋子中，“摸出红球”是不可能事件 C. 想要了解扬州地区2026年第一季度的气温变化趋势，应选择折线统计图 D. 为了统计我校的学生人数，应采用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查与全面调查的适用条件、不可能事件的定义、不同统计图的特点、方差的意义，逐一分析选项即可得到答案． 【详解】解：∵方差越小，数据越稳定，且 ，∴甲组数据更稳定，A说法正确，不符合题意； ∵袋子中只有黄球和白球，不可能摸出红球，∴“摸出红球”是不可能事件，B说法正确，不符合题意； ∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，∴了解气温变化趋势应选择折线统计图，C说法正确，不符合题意； ∵统计我校学生人数，总体数量小，需要得到准确结果，∴应采用全面调查，原说法D错误，符合题意． 5. 将一把直尺和一块含，角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中的角度计算．利用数形结合的思想是解题关键．过点作，由题意可确定，，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 6. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 7. 为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较正比例函数的函数值大小，根据图象法直接进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，物质的质量与体积成正比， ∴当体积相同时，密度越大，质量越大， ∵当体积为时，丁的质量最大， ∴这四种物质中密度最大的是丁； 故选D． 8. 将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键． 分别设 ，，两个方程的根即为两个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解． 【详解】解：设 ，， 将两个函数画在同一个直角坐标系中，如图： ∵方程的两根记为、，方程的两根记为、， ∴由图可知： ． 故选C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 3月29日上午，2026中国银行扬州半程马拉松暨东亚半程马拉松锦标赛在扬州市民中心广场鸣枪开赛，共吸引了约23000名中外选手参赛，将数据23000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ． 13. 我校为了解学生跳绳情况，从全校1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 6 20 12 8 4 根据以上数据，估计全校的1000名学生中60秒跳绳次数在范围的学生有_____人． 【答案】800 【解析】 【详解】解：（人）． 14. 如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 【答案】135 【解析】 【详解】解：． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为_____________． 【答案】65 【解析】 【分析】由是的直径，得，而，则，然后由所对应的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，作轴，利用证明三角形全等，进而证明四边形是正方形，设，根据相等边建立方程，求出点的坐标，进而代入反比例函数求出值． 【详解】解：如图，过点作轴，作轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， 设，则，， ， ， 解得， ，， 点的坐标为， 将代入，可得． 17. 无论m为何实数，直线与的交点不可能在第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，根据任意实数的偶次幂非负，分析交点在每个象限的条件，推出矛盾，即可得到结论． 【详解】解：联立直线方程得，解得， 交点为，且对任意实数，都有， 第四象限内的点需同时满足：且， 若，则：，可得， 由于恒成立，不等式等价于：，可得， 当时，分析：为负数，为正数，故，即， 当时，必然为负，因此不可能同时满足且． 所以，交点不可能在第四象限． 18. 已知矩形，连接，点E是上一点，使得．连接交于点F，若，，则_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，设，则，可求解，故，而，则，那么，结合，设，则，代入求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， 如图， ∵， ∴设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设，则， ∴， ∴，解得，（舍去）， ∴． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照平方根、乘方、特殊角的三角函数值分别计算，再合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 求不等式组的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，即可得到不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 原不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 21. 某校进行安全知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名女生和20名男生的成绩进行整理，得到了如下信息： 统计量 平均数 中位数 众数 女生 ▲ 8 7 男生 8.4 ▲ 9 （1）求此次测试中，被抽查女生的平均成绩和男生成绩的中位数． （2）根据上面表格中的三组统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）；男生中位数 （2） 男生成绩较好，理由如下： 从平均数看，男生8.4分高于女生8.1分； 从中位数看，男生8.5分高于女生8分； 从众数看：男生9分高于女生7分； 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数的概念分别计算即可； （2）利用平均数和中位数、众数的意义比较男生、女生的成绩，即可得出答案． 【小问1详解】 男生中位数： 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平均分和中位数，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 22. 习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲，某中学围绕这三个成语开展学习活动，将这三个成语分别写在三张完全相同的不透明卡片上．（A：跃马扬鞭； B：万马奔腾； C：马不停蹄） （1）将三张卡片放入不透明的箱子中，充分搅匀，从中抽取一张卡片．下列说法中，属于随机事件的是________．（填写下列序号） ①第一次就抽到“马不停蹄”； ②抽到的卡片成语含有“马”字； ③抽到的卡片成语是“一马当先”； （2）某中学的小亮同学从三张完全相同的不透明卡片中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求小亮两次抽到的成语恰好相同的概率？ 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，画树状图或列表法求概率．掌握概率公式和正确地列出表格或画出树状图是解题关键． （1）利用必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可； （2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：抽取每张卡片的可能性相同， ∴第一次就抽到“马不停蹄”，为随机事件，故①符合题意； 抽到的卡片成语含有“马”字是必然事件，故②不符合题意； 抽到的卡片成语是“一马当先”，为不可能事件，故③不符合题意， 故选：①； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的成语恰好相同的结果有3种， 小亮两次抽到的成语恰好相同的概率为． 23. 如图，在中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：在ABCD中，AB∥CD， ∴， ∵点O为AD的中点， ∴， 在与中， ∵， ， ， ∴， ∴， 又∵BE∥CD ， ∴四边形ACDE是平行四边形； （2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形，， ∵， ∴， ∴四边形ACDE是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形； （2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等，熟练掌握判定定理并融会贯通是解题的关键． 24. 随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 【答案】60亩 【解析】 【分析】设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】设一个人平均每小时喷洒农药亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一架无人机平均每小时喷洒农药60亩． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键． 25. 如图，在中，． （1）求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，求的值． 【答案】（1） 即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； （2）由（1）得：，，，结合，，由面积可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，作于M， 由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径， ∴是的切线，即， 由作图可得：是的切线， ∴即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）得：，，， ∵， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作垂线，作圆，切线的判定，角平分线的性质，锐角的正切的含义，熟练的作图是解本题的关键． 26. 在物理学中，并联电路的总电阻与各支路电阻，之间满足关系：，已知． （1）请用含，的代数式表示总电阻R，并化简； （2）若，试比较与的大小，并说明理由； （3）若，则随着的增大怎样变化？为什么？ 【答案】（1） （2） （3）随着的增大而增大，且始终小于 【解析】 【分析】（1）把代入​，即可求解； （2）用作差法得出，结合已知可得，，，即可求解． （3）当时，代入的表达式得，分析表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入​ 得：  ​ 两边取倒数得：​ 【小问2详解】 解： 因为， 所以，，， 因此 ， 即 ， 得：​ 【小问3详解】 解：当时，代入的表达式得：  当时，随着的增大而增大，且始终小于10： 理由：增大时，随之增大，​减小，因此减去减小的正数，结果会增大； 又因为， 所以 27. 探究矩形与正方形背景下垂直线段的比例关系及折叠问题，并完成以下问题 （1）【问题再现】如图1，E，F分别是正方形边上的点，若，那么的值为_____________． （2）【拓展探究】如图2，若是矩形且，当时，求的值． （3）【结论应用】在矩形中，E为上的一点，将矩形沿直线对折，直线交矩形的某一边于点F． ①如图3，若，点A的对应点恰好落在上，求的值． ②若，，当____时，是直角三角形． 【答案】（1） （2） （3）①，②或 【解析】 【分析】（1）本题考查折叠性质（轴对称），全等三角形的判定和性质，利用直角三角形两锐角互余和正方形性质可得出，继而得出，求出结果． （2）本题考查折叠性质（轴对称），相似三角形的判定和性质，利用直角三角形两锐角互余和矩形性质可得出，继而得出结果． （3）本题考查折叠性质（轴对称），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，且需要分两种情况讨论：点在或者上． 【小问1详解】 ， 四边形是正方形， ，， ． 在和中， ． ， ． 【小问2详解】 四边形是矩形， ,， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 ①由折叠性质可得， ，和关于轴对称， ，，，， ，， ， ， 在中， ， , 设，， 在中， ， 解得：， ． ②若， 由（1）可知，当落在上时， 四边形是正方形，如图，只能是， 由（1）和折叠性质可得， ， 是等腰三角形， 过点作交于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中， ， ， ， 过作， ，， ， ， 在中， ， ， ，， ， ， 在中， ， ， 解得：． 当点F落在上时，如图： 由折叠性质可得：， ， 四边形是正方形， 与重合， 此时是直角三角形， ． 综上，的长为或． 28. 抛物线与x轴正半轴交于A点，与y轴交于B点，抛物线也经过A，B两点． （1）抛物线的表达式； （2）如图1，点M是抛物线上的一点，且位于直线的下方，过M作，交直线于点D，连接，求面积的最大值及此时点M的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，抛物线，在A，B两点之间的部分形成一个封闭曲线，试证明该封闭曲线所围成的面积大于8． 【答案】（1） （2）面积的最大值为；此时点M的坐标为 （3） 证明：如图所示，过点B作轴交抛物线于点T，设抛物线的顶点为L，抛物线的顶点为T，连接； ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线； 抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可得， ∴轴，，， ∴，，， ∴， 又∵该封闭曲线所围成的面积一定大于， ∴该封闭曲线所围成的面积大于8． 【解析】 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点M作轴，交于点N，过点D作于点T，可证明是等腰直角三角形，得到；求出直线的表达式为；设，则，可推出，则可得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）过点B作轴交抛物线于点T，设抛物线的顶点为L，抛物线的顶点为T，连接；可证明，而该封闭曲线所围成的面积一定大于，故该封闭曲线所围成的面积大于8． 【小问1详解】 解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或， ∴； ∵抛物线也经过A，B两点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点M作轴，交于点N，过点D作于点T， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴， ∴点D到的距离为， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时点M的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试试卷 初三年级数学学科 （满分：150分；时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 甲乙两组数据，若，则甲组数据更为稳定 B. 从一个只装有黄球和白球的不透明的袋子中，“摸出红球”是不可能事件 C. 想要了解扬州地区2026年第一季度的气温变化趋势，应选择折线统计图 D. 为了统计我校的学生人数，应采用抽样调查 5. 将一把直尺和一块含，角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 3月29日上午，2026中国银行扬州半程马拉松暨东亚半程马拉松锦标赛在扬州市民中心广场鸣枪开赛，共吸引了约23000名中外选手参赛，将数据23000用科学记数法表示为____________． 10. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 11. 因式分解：__________． 12. 若，则________． 13. 我校为了解学生跳绳情况，从全校1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 6 20 12 8 4 根据以上数据，估计全校的1000名学生中60秒跳绳次数在范围的学生有_____人． 14. 如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 15. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为_____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为_______________． 17. 无论m为何实数，直线与的交点不可能在第__________象限． 18. 已知矩形，连接，点E是上一点，使得．连接交于点F，若，，则_______________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 求不等式组的整数解． 21. 某校进行安全知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名女生和20名男生的成绩进行整理，得到了如下信息： 统计量 平均数 中位数 众数 女生 ▲ 8 7 男生 8.4 ▲ 9 （1）求此次测试中，被抽查女生的平均成绩和男生成绩的中位数． （2）根据上面表格中的三组统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由． 22. 习近平主席在2026年新年贺词中，用“跃马扬鞭的勇气、万马奔腾的活力、马不停蹄的干劲”这三个带“马”字的成语为奋斗者加油鼓劲，某中学围绕这三个成语开展学习活动，将这三个成语分别写在三张完全相同的不透明卡片上．（A：跃马扬鞭； B：万马奔腾； C：马不停蹄） （1）将三张卡片放入不透明的箱子中，充分搅匀，从中抽取一张卡片．下列说法中，属于随机事件的是________．（填写下列序号） ①第一次就抽到“马不停蹄”； ②抽到的卡片成语含有“马”字； ③抽到的卡片成语是“一马当先”； （2）某中学的小亮同学从三张完全相同的不透明卡片中随机抽取一张，记录成语后放回，再随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求小亮两次抽到的成语恰好相同的概率？ 23. 如图，在中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩． 25. 如图，在中，． （1）求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，求的值． 26. 在物理学中，并联电路的总电阻与各支路电阻，之间满足关系：，已知． （1）请用含，的代数式表示总电阻R，并化简； （2）若，试比较与的大小，并说明理由； （3）若，则随着的增大怎样变化？为什么？ 27. 探究矩形与正方形背景下垂直线段的比例关系及折叠问题，并完成以下问题 （1）【问题再现】如图1，E，F分别是正方形边上的点，若，那么的值为_____________． （2）【拓展探究】如图2，若是矩形且，当时，求的值． （3）【结论应用】在矩形中，E为上的一点，将矩形沿直线对折，直线交矩形的某一边于点F． ①如图3，若，点A的对应点恰好落在上，求的值． ②若，，当____时，是直角三角形． 28. 抛物线与x轴正半轴交于A点，与y轴交于B点，抛物线也经过A，B两点． （1）抛物线的表达式； （2）如图1，点M是抛物线上的一点，且位于直线的下方，过M作，交直线于点D，连接，求面积的最大值及此时点M的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，抛物线，在A，B两点之间的部分形成一个封闭曲线，试证明该封闭曲线所围成的面积大于8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $