福建省福州第十八中学2025-2026学年七年级第二学期数学阶段学情自测 二元一次方程组 检测卷

**基本信息** 聚焦二元一次方程组核心知识，融合《九章算术》文化素材与租车、水果购进等现实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配七年级单元复习学情，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义、解的代入、消元法选择、《九章算术》古算题|基础概念与方法辨析，文化传承情境| |填空题|6/18|方程变形、含参数方程组、非负数性质求解题|核心技能巩固，参数问题提升思维| |解答题|7/52|基础求解、含k方程组、租车/水果购进应用、新运算定义|综合应用与创新，如23题新运算转化三元方程组，体现模型意识|

福建省福州第十八中学七年级第二学期数学阶段学情自测《二元一次方程组》检测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 题号 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） 2. 已知是方程的一个解，则a的值为（ ） A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 3. 方程组的解是（ ） 4. 在解方程组时，若用代入消元法，下列变形正确的是（ ） 5. 已知a、b满足方程组，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 6. 用加减消元法解方程组时，为消去未知数y，可以（ ） 7. 某班学生分组做游戏，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则缺5人。设该班有学生x人，分成y组，则所列方程组正确的是（ ） 8. 若关于x、y的方程组的解满足，则k的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 9. 若，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 10. 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两。问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则所列方程组为（ ） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 把方程改写成用含x的代数式表示y的形式：________。 12. 方程组的解是________。 13. 已知是二元一次方程组的解，则________。 14. 小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数：________，________。 15. 已知x、y满足，则________，________。 16. 已知m为正整数，且关于x、y的方程组的解为正整数，则m的值为________。 三、解答题（本大题共7小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分8分，每题4分）解下列方程组： （1） （2） 18. （本小题满分6分）解方程组： 19. （本小题满分6分）已知方程组的解x、y满足，求k的值。 20. （本小题满分6分）某中学组织七年级学生去社会实践基地开展活动。原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。问：七年级学生共有多少人？原计划租用45座客车多少辆？ 21. （本小题满分8分）某水果店计划购进甲、乙两种水果。已知购进2千克甲种水果和3千克乙种水果共需46元；购进3千克甲种水果和5千克乙种水果共需73元。 （1）求甲、乙两种水果每千克的进价各是多少元？ （2）若该水果店计划购进甲、乙两种水果共30千克，总费用不超过270元，则最多可以购进甲种水果多少千克？ 22. （本小题满分8分）小明和小红同解一个二元一次方程组，小明正确解得，小红因为抄错了m的值，解得。 （1）求m、n的值； （2）求原方程组的正确解。 23. （本小题满分10分）对于任意实数x、y，定义一种新运算，其中a、b、c是常数，等号右边是通常的加法和乘法运算。已知，，。 （1）求a、b、c的值； （2）求的值。 答案与详细解析 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】二元一次方程需满足：①含有两个未知数；②未知数的项的次数都是1；③等号两边都是整式。 A. 符合条件，正确； B. 中的次数是2，是二元二次方程，错误； C. 中分母含有未知数，不是整式方程，错误； D. 只含一个未知数，是一元一次方程，错误。 【易错点】易错选B，误认为是一次项，需牢记判断标准。 2. 【答案】A 【解析】将代入方程得：，解得。 【易错点】计算粗心，符号弄错。 3. 【答案】B 【解析】方法一（代入法）：，由①得，代入②得，解得，把代入①得，所以原方程组的解为。 方法二（加减法）：②-①得，代入①得。 【易错点】代入时符号错误或计算错误。 4. 【答案】B 【解析】对于方程组，若用代入法消去y，则需将方程①变形为用x表示y：，即；也可将方程②变形为。选项A移项符号错误，B正确。 【易错点】移项时忘记变号。 5. 【答案】B 【解析】，①-②得：，即。 【易错点】运算时括号前是负号，去括号不变号。 6. 【答案】C 【解析】为消去y，需使y的系数变为相反数或相同。方程①中y的系数为3，方程②中y的系数为2，它们的最小公倍数为6。所以①×2得：；②×3得：。要使y的系数互为相反数，应①×2 - ②×3，故选择C。 【易错点】混淆了加法和减法，不清楚消元的原理。 7. 【答案】B 【解析】设该班有学生x人，分成y组。 “每组7人，则余下3人”：表示总人数比多3，即； “每组8人，则缺5人”：表示总人数比少5，即； 将两个等式变形为用y表示x的形式，即：，，等价于方程组。 【易错点】不能正确理解“余下”和“缺”的含义，导致加减符号错误。 8. 【答案】D 【解析】，①+②得，即。又，解得，结合选项推测题目条件应为，此时①-②得，即，代入得，解得，故选D。 9. 【答案】D 【解析】由，根据非负数的性质得，②-①得，解得，代入①得，解得，故。 10. 【答案】A 【解析】根据题意：“5头牛、2只羊，值金10两”对应；“2头牛、5只羊，值金8两”对应，故所列方程组为，选A。 【易错点】不理解题意，将等量关系列反。 二、填空题 11. 【答案】 【解析】移项：，两边同除以-1得：。 12. 【答案】 【解析】，①×2-②得，解得，代入①得，解得，故解为。 13. 【答案】3 【解析】将代入方程组：，由②得，解得，代入①得，解得，故。 14. 【答案】， 【解析】将代入得，解得，即；再将、代入得，即。 15. 【答案】， 【解析】，①-②得；①+②得，两边同时除以5得。 16. 【答案】3 【解析】解方程组，由①得，代入②得，整理得，即。因为解为正整数，所以且是1的约数，即，解得。此时，，符合正整数解要求，故。 【易错点】忽略m为正整数和x、y为正整数的条件，或分母为0的情况。 三、解答题 17. 【解析】 （1） 将①代入②得：（1分，代入正确） 去括号得：（1分，去括号正确） 合并同类项得：（0.5分） 解得：（0.5分） 将代入①得：（0.5分） 所以原方程组的解是（0.5分） （2） 由①得：（1分） 将代入②得：（1分） 去括号得： 合并同类项得：（0.5分） 解得：（0.5分） 将代入得：（0.5分） 所以原方程组的解是（0.5分） 【评分标准】每题4分，其中变形、代入、求解、回代、结论各步骤给分如题。 【答题思路】观察未知数系数，若某个未知数的系数为1或-1，优先考虑代入消元法。 18. 【解析】 原方程组为 将方程①去分母，得，即（2分） 将代入②得：（1分） 化简得：（1分） 合并同类项得：（0.5分） 解得：（0.5分） 把代入得：（0.5分） 所以原方程组的解为（0.5分） 【评分标准】共6分，步骤赋分如上。 【易错点】去分母时漏乘或弄错符号。 19. 【解析】 原方程组为 ①-②得：（1分） 又已知，联立得（1分） 两式相减得：，代入得（2分） 将、代入②得：（0.5分） 计算得：（0.5分） 【评分标准】共6分。整体思路：先解出x、y与k的关系，再代入求值。 【易错点】代入计算错误。 20. 【解析】 设七年级学生共有x人，原计划租用y辆45座客车（1分） 根据题意得：（2分） 联立①②，得（1分） 移项、合并同类项得： 解得：（1分） 将代入①得：（1分） 答：七年级学生共有240人，原计划租用5辆45座客车（1分） 【评分标准】共6分。设、列、解、答各步骤赋分如上。 【易错点】对“多出一辆车”的理解，应为辆车。 21. 【解析】 （1）设甲种水果每千克进价a元，乙种水果每千克进价b元（1分） 由题意得：（2分） ①×3 - ②×2得：，化简得，解得（1分） 将代入①得：，解得（1分） 答：甲种水果每千克进价11元，乙种水果每千克进价8元（1分） （2）设计划购进甲种水果m千克，则乙种水果千克（1分） 由题意得：（1分） 展开、整理得：，即 解得：（1分） 答：最多可以购进甲种水果10千克（1分，注意单位） 【评分标准】共8分。第（1）问5分，第（2）问3分。 【易错点】解应用题要设、列、解、答齐全；列不等式时注意“不超过”是“≤”。 22. 【解析】 （1）将小明正确解得的代入方程组，得： （2分） 由②得：，代入①得：，解得（1分） 小红抄错m的值，但n的值正确，将代入，得，解得，验证正确（1分） 综上，， （2）原方程组为（2分） ①-②得：，解得（1分） 将代入②得：，解得（1分） 所以原方程组的正确解为（1分） 【评分标准】共8分。第（1）问4分，第（2）问4分。 23. 【解析】 （1）根据新运算定义，由题意得： （3分，每式1分） ①-②得：（1分） ③+④得：（1分） 由③得，代入①得，即 联立④⑥，解得，，代入③得（1分） 综上，，， （2）由（1）知，则： （2分） 计算得：（2分） 【评分标准】共10分。第（1）问6分，第（2）问4分。 【答题思路】读懂新定义，将其转化为常规的三元一次方程组求解问题。 【易错点】解三元一次方程组时计算错误。 学科网（北京）股份有限公司 $