湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（六）

湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（六） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 3．工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对工具产生担忧的重要原因之一．某传媒数据中心随机调查位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、比较担忧、极度担忧的人数分别为、、、、，则这个数据的分位数是（    ） A． B． C． D． 4．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 5．已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 6．在等差数列中，为其前项和．若，则（    ） A．420 B．210 C．198 D．105 7．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 10．如图是函数的部分图象，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列命题正确的是（   ） A．是奇函数 B．是函数图象的一条对称轴 C．是函数的图象的一个对称中心 D．函数的单调递减区间为 11．学校食堂每天中午都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐概率为，选择套餐概率为；而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是；如此反复，记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；5个月（150天）后，记甲、乙、丙三位同学选择套餐的人数为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为__________. 13．在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 14．已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，已知中，，，，延长至点，连接． (1)求AC的长； (2)若，求AD的长. 16．如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值． 17．已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为． (1)求椭圆C的方程； (2)若点P满足，求证：． 18．已知函数 ，是的导函数. (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最值. 19．某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立． （1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望； （2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（六）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C B B B BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】， ，所以 2．C 【详解】因为， 且，故选项C正确. 3．C 【分析】将数据由小到大进行排序，利用百分位数的定义求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排序为：、、、、， 因为，故这个数据的分位数为. 4．B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 5．C 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 6．B 【分析】根据等差数列的通项公式，求出首项和公差，按照等差数列前项和的公式，求得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 整理得，解得. 所以. 7．B 【分析】由双曲线的性质得到，然后在和在中利用勾股定理、余弦定理可得． 【详解】由题意，可知 在中，， 故在中，由余弦定理， 即，化简得，因，则得 故 故选：B. 8．B 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 9．BD 【分析】根据函数奇偶性定义以及函数单调性，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由题可知满足，选项A是偶函数，A错误； 由幂函数性质可得为奇函数，且在上单调递减，即B正确； 因为定义域为，满足，为奇函数， 但在上时，在上单调递增，即C错误； 易知为奇函数，且和在上都是单调递减的，即D正确. 故选：BD 10．ABD 【分析】根据函数图像先求的解析式，利用图像的平移变换得，进而逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：，即，解得， 又当时，，解得，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 则函数是奇函数，故A正确； 令，解得，则对称轴是， 令，得，故B正确； 令，解得，所以对称中心是，故C错误； 令，解得， 单调递减区间为，故D正确. 11．ACD 【分析】对于A，依题知每人每次只能选两种套餐中的一种即得；对于C，易得，推得等比数列，求其通项即可判断；对于B, D两项，由题意得，由推得，即可计算判断. 【详解】因每人每次只能选择两种套餐中的一种，故必有，故A正确； 依题意，，则， 因，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 于是，，即故C正确； 因，故， 依题，当时，，故, 则， 因，则，故，故D正确； 因，则，故B错误. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于发现，从而推得等比数列，求得，继而利用二项分布的相关公式计算即得. 12．或 【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程. 【详解】设，则，则，此时， 所以或，又由已知， 直线AB的方程为或， 整理得或. 故答案为：或. 13． 【分析】借助正弦定理与三角形内角和可将、用角表示，再借助三角恒等变换公式可用表示出，最后求出的范围即可得解. 【详解】由正弦定理可得、， 则 ， 由三角形为锐角三角形，则，即， 则，故， 即，即的取值范围为. 14．/0.8 【分析】由题意得，由得点在直线上运动，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 因为，，设， 则， 设，因为， 所以，即点在直线上运动， 设，点在直线上， 所以，等号成立当且仅当重合. 故答案为：. 15．(1)6 (2)14 【分析】（1）在中，利用正弦定理求； （2）先求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】（1）如图所示，在中，由正弦定理得，， 又，，． 所以， （2）因为，所以， 在中，由余弦定理得， ． 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由余弦定理求出，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）由四边形为矩形，得，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）在中，， 由余弦定理得， 则，于是，由（1）得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，又D为的中点， 则， 于是，设平面的法向量为， 则，取，得，， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，利用点差法得到，代入条件化简得，结合联立求出，即得椭圆方程； （2）由题意易得，结合可得，求得点，代入坐标化简得，利用（1）的结论计算即可证明结论. 【详解】（1）设，联立， 将两式相减，整理得， 因线段AB的中点为，则有，又直线的斜率为，故. 代入上式，可得，即①，又因，即得②， 联立①②，解得，故椭圆C的方程为. （2）因线段AB的中点为，则， 故由可得， 设点，则，解得，即，则， 又， 同理， 故. 18．(1)； (2)； (3)最小值为，无最大值. 【分析】（1）先求导，再代入求值； （2）设，求的切线，即为的切线； （3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性. 【详解】（1）， ， 所以. （2）设，则， ，， 所以在处的切线方程为，即. （3）由（2）可知，， 所以在上单调递增， 因为， 所以，，即，单调递减 ，，即，单调递增， 所以的最小值为，无最大值. 19．（1）分布列见解析，；（2）甲选择时，获奖的概率更大，理由见解析. 【分析】（1）说明，求出概率得到的分布列，然后求解期望． （2）若选择，设局游戏中，得3分的局数为m，推出，求出概率的表达式，推出，则，得到结论． 【详解】解：（1）由题意知，则，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． （2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为， 若选择，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于， 设局游戏中，得3分的局数为m，则，即． 易知， 故此时获大奖的概率 同理可以求出当，获大奖的概率为 因为 所以，则 答：甲选择时，获奖的概率更大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $