第21章四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 人教版八年级下册第21章四边形章末测试卷，全面覆盖平行四边形、菱形、矩形等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习需求，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10题|多边形内角和、平行四边形判定、中位线性质|结合动态图形（如矩形折叠）考查空间观念| |填空|6题|平行四边形角度计算、菱形最值问题|融入坐标几何（菱形顶点在坐标轴），体现数学语言表达| |解答|6题|平行四边形证明、正方形综合探究、折纸实验|22题以欧几里得勾股定理证法为背景，21题动态中点问题，培养创新意识与推理能力|

第21章四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，添加下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．且 B．且 C．、互相平分 D．、互相垂直 3．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的面积为12，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 6．如图，在长方形中，，，以点为圆心，的长为半径画圆弧交对角线于点，连接,．则下列说法错误的是（     ） A．的长是3.6 B． C．的面积为1.68 D．与面积相等 7．如图，在矩形中，对角线，交于点，交的延长线于点E，若，，则的长为（   ） A．2.5 B． C． D．3 8．如图，已知在中，．点D和点分别为线段上的动点且，点为线段上的动点，点为线段的中点．连接，当点在线段上运动，点D和点在线段上运动时，的最小值为（    ） A．2.6 B．3.6 C．4.6 D．5.6 9．如图，四边形为菱形，A，B 两点的坐标分别是，点C，D 在坐标轴上，则菱形的周长为（   ） A．40 B． C． D．36 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到面积为9的大正方形和面积为2的小正方形，连接，交于点P，交于点M，①，②；③，④，以上说法中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．在中，，则_______． 12．如图，在中，延长至点E，延长至点F，连接，如果，那么的大小为________度． 13．如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．点，分别是，边上的动点，则的最小值为_____． 15．如图，正方形中，E，F分别是，边上的点，，，于点，则的长为___________． 16．欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理证法的一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则________． （2）过点B作，交于点M，交于点N，若、，则正方形的边长是________． 三、解答题 17．如图，在平行四边形中，点E、F分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 18．如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，在正方形中，为边上一点，连接，点为线段的中点，连接、． (1)证明：； (2)连接与、交于点，过点作交于点，连接，若有，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 20．如图，在正方形中，点E为边上一点（不与B，C重合），点B，F关于直线对称，与相交于点H，M为延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)连接，若． ①求证：D，F，M三点共线； ②若，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．如图，为等腰三角形，，延长到点，使得，连接，点、分别为、中点，连接． (1)如图1，若，请你求出的度数； (2)如图2，过点作于，延长、交于点，求证：； (3)如图3，若点、分别为直线、直线上的动点，点为中点，连接、、，在（1）问的条件下，若，请直接写出的最小值． 22．【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）． (1)通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________； 如图4，________，则与的位置关系为________； 【深入探究】 (2)李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 (3)王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第21章四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C B D D B B 1．C 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 2．D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故B不符合题意； ∵、互相平分， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），故C不符合题意； 、互相垂直无法判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 3．B 【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长． 【详解】解：是的中位线，， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 4．B 【分析】连接，易得垂直平分，进而得到，根据菱形的性质，得到，进而得到，得到即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 5．C 【分析】根据矩形的面积公式求出，利用二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：矩形的面积为12， ． 6．B 【分析】利用勾股定理可得，过作于点，利用等面积法可得，从而可以判断选项A；根据之前的计算得，则与不全等，即可判断选项B；利用面积公式可以直接求出面积，即可判断选项C；通过同底等高即可判断选项D． 【详解】解：A．过作于点， ，，， ， ， ， ， ， 根据作图可得， ，故A正确，不符合题意； B．在长方形中，， ∴， ， 与不全等， ， 即与不垂直，故B不正确，符合题意； C．，故C正确，不符合题意； D．过作于点， ，，， ， ， ，故D正确，不符合题意． 7．D 【分析】连接，根据菱形的性质，是的垂直平分线，由此可得，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ，， ， 为的中点，， ∴， ∵， ∴ ． 8．D 【分析】由条件可知，，因此只要求出的最小值即可．我们把点G向左平移的长度到，则．如果假设F是定点，此时的最小值就转化为的最小值，也就是我们熟悉的“将军饮马”问题：作关于的对称点，当F，D，在同一条直线时，最小，即的长度．由于点F是边上的动点，那么问题就进一步转化为求点到直线的最短距离，利用垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图1，把点G向左平移的长度到，连接，， 四边形是平行四边形． ，． 作点关于的对称点，连接， ， ． 根据两点之间线段最短，如图2，当F，D，在同一条直线时，最小，即 的长度． 由于点F在边上运动，如图3，过点作，此时取得最小值． 过点G作，连接，，，其中交于点M， ，关于直线对称， ，， ． 又， 四边形是矩形． ，． ，G为的中点， ． 又， ， ． 过点C作于点H， 由条件易知，在中，，， ． ， 和重合，即． ，，，在同一条直线上， 且． ， ． ． 又， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、直角三角形、轴对称等知识．解题的关键是能够运用转化思想，把复杂的问题转化为熟悉的题型或常见模型来进一步解决． 9．B 【分析】根据点A和点B的坐标，结合勾股定理求出的长，再根据菱形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵A，B 两点的坐标分别是， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长． 10．B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来． 根据正方形的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， 由题意得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 故①正确； 由①得， ∴ = = ∵， ∴， 即 故②错误； 用x，y表示直角三角形的两条边()， ∵大正方形面积为9，小正方形面积为2， ∴，， ∴直角三角形的面积和为， 于是得到， 解得； 即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 11．/148度 【分析】根据平行四边形对边平行、对角相等的性质，利用邻角互补列出方程，求出的度数，再求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．3 【分析】根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知 ，只需 即可． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， 在四边形 中， ， 要使四边形 是平行四边形，只需 ， ， ． 即当时，四边形是平行四边形． 14．4.8 【分析】如图，连接，过点D作于点H，交于，根据菱形的性质得垂直平分，则，，当N与H重合，M与重合时，最小值为，由勾股定理求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点H，交于， ∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当N与H重合，M与重合时，最小值为， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4.8． 15． 【分析】由正方形的性质并结合题意可得，，由勾股定理可得，再证明，即可得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及矩形的判定与性质． （1）证明即可作答； （2）先证明是矩形，可得、长度，再在、、中，利用勾股定理即可求出，问题随之得解． 【详解】（1）解正方形、、， ，，， ，即， ， ， ， 正方形、、， ，， ， ； （2）解在正方形中，， ，， 四边形是矩形， ，，即， 中，，中，， 又中，， ，则：， ， 则正方形的边长是． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由线段中点的定义推出，据此可证明； （2）由平行四边形的性质和线段中点的定义可证明，，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【详解】（1）求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，点即为所求： 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先连接，利用正方形的性质得到边相等、角为直角，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，进而推出 ；最后通过证明 ，由全等三角形对应边相等证得； （）先通过证，得到；再结合等腰三角形性质与平行线的内错角相等，证得；接着利用正方形对角线的对称性，证，推出，进而得到；再通过角度等量代换，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，最后通过等量代换，得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵ 四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴是直角三角形， ∵是中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 即 ， 在和 中： ， ∴ ， ∴； （2）解：与的数量关系为： ， 证明如下：连接分别交于点，交于点， ∵， ∴， 正方形中， ∴， 在和 中： ， ∴ ， ∴， 由()得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是对角线， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和 中： ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，对角线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴.即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2)①见解析；②是，8 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）①证明，，可得，从而可得结论； ②作于K，根据证明，得出，，设，求出， 求出，，，可计算出． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，得，   点B，F关于直线对称， ，                         ，得，            ； （2）①连接， 四边形是正方形， ，            点B，F关于直线对称， ， ， ， ，               ， ， ， ，F，M三点共线；     ②解：作于K． ． 点B，F关于直线对称， 由（1）得 四边形是正方形， ， ， ， ， 设，   由①得， ， 则， ， ， ， ， ， ． 21．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，利用等边对等角得出， ，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接，在上取点，使，连接，利用三线合一得，利用直角三角形斜边中线性质可得，证明，再证明，得出，可得，再证明，则可证明，得，即可证明； （3）延长到点，使得，连接，，，证明利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质证明，，再利用中位线的性质证明，则，由两点之间线段最短，可知当、、、四点共线时取得最小值，则的最小值为，求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，在上取点，使，连接， ∵，为中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，； （3）解：如图，延长到点，使得，连接，，， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵点为中点，为中点， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当、、、四点共线时取得最小值， ∴的最小值为， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 22．(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）折叠推出，，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， 又∵， ∴， ∴； 如图4，由折叠可知：， 则与的位置关系为； （2）解：作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）解：当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴ ； 综上：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $