山东泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末通关单元复习训练：第七章 随机变量及其分布

泰安市泰山区2026年高二下学期期末通关复习----第七章随机变量及其分布 一、单选题 1．若随机变量，且，则（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45 2．射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（    ）. A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2 3．已知随机变量，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．4 4．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中，错误的是（   ） A．数据6，2，3，4，6，5，8，9，9的下四分位数为4 B．试验表明甲投篮命中率为0.9，若甲连续投篮四次，则恰有三次投中的概率为 C．7件产品中包含3件次品，不放回地随机抽取3件，则恰好抽出2件次品的概率为． D．一个袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中不放回的依次取球2次，每次取一球，则在第二次取到红球的条件下第一次取到也是红球的概率为 6．已知随机事件与满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ） A． B． C． D． 8．经检测，某箱10件产品中（分别标有不同的编号）有2件一等品，其余为二等品.从中抽取3件产品，下列说法正确的是（    ） A．取出的3件产品中恰有2件一等品，则不同的取法有7种 B．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 C．已知取出的3件产品中有一等品，则恰有2件一等品的概率为 D．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 二、多选题 9．已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（   ） A．若随机变量，则时，概率最大 B．若，，且，则，相互独立 C．，，，则的值为 D．已知，，，则 11．某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为 D．甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9 三、填空题 12．已知随机事件满足 ， 则_______ ． 13．一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 14．校运会期间，高二有甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域，则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为______． 四、解答题 15．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为，丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率； (3)若从该商店有放回地随机抽取3台机器人，求抽到的机器人中至多1台甲品牌不合格品的概率． 16．袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： (1)第一次和第二次都摸到红球的概率； (2)在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； (3)第二次摸到红球的概率． 17．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球，所有小球的大小和质地完全相同，仅仅是颜色有区别. (1)若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望； (2)若先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，求取出的2个球都是红球的概率. 18．某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 19．“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市泰山区2026年高二下学期期末通关复习----第七章随机变量及其分布》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B C B B ACD BD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】借助正态分布概率的对称性计算即可得. 【详解】 . 2．D 【分析】确定射击3次击中目标的次数服从二项分布，再根据期望的性质计算得分的数学期望. 【详解】由题意可知，射击3次击中次数X的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响， 所以，射击3次击中目标的次数为，， 设得分为，则，所以. 3．B 【详解】因为随机变量， 所以， 则. 4．B 【详解】依题意得，， 故. 5．B 【分析】根据百分位数的概念计算即可判断A；根据二项分布的概率公式计算即可判断B；根据超几何分布的概率公式计算即可判断C；根据条件概率的计算公式计算即可判断D. 【详解】对于A，从小到大排列为2，3，4，5，6，6，8，9，9，共9个数，   所以取第三个数为4，即A正确； 对于B，设甲投中的次数为，则， 所以，B错误； 对于C，符合超几何分布，则恰好抽出2件次品的概率为．C正确； 对于D，设分别代表第一第二次取到的球为红球， 正确. 6．C 【详解】首先求出事件与同时发生的概率： 根据公式，即，解得.所以. 7．B 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. 8．B 【分析】由古典概率模型计算公式和条件概率计算公式，结合组合数逐项判断即可. 【详解】从10件产品中，取出3件，不同的取法有种， 其中没有一等品的不同取法有种， 恰有1件一等品的不同取法有种， 恰有2件一等品的不同取法有种，A错， 则，B对，，D错， 则取出的3件产品中有一等品，共有种， 故恰有2件一等品的概率为，C错. 9．ACD 【分析】首先根据条件确定和，再根据的概率数据，判断选项. 【详解】因为正态曲线在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，所以； 因为，结合，可知； 因为， 且，，， 所以，所以； 因为， 所以． 故选：ACD 10．BD 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】选项A：若随机变量，， 由于要使最大，则,故时，概率最大，故A错误； 选项B：根据条件概率公式，由， 得，所以，则，相互独立，故B正确； 选项C：由，即， 解得，故C错误； 选项D：由题意知，．因为， 所以，因此， ．又， 所以，故D正确． 11．ACD 【分析】先利用全概率公式求答对试题概率，再用贝叶斯公式求答错时选类问题概率，接着用二项分布概率公式求三轮答对两道题概率，最后用二项分布期望公式求二十四轮答对个数期望. 【详解】设选X类问题为A事件，选Y类问题为，甲同学答对题目为B事件， 根据题意得： ，，，， 在A选项中，根据全概率公式可得： ，A选项正确； 在B选项中，由条件概率公式可得： ，其中， ， 因此，B选项错误； 在C选项中，每轮答题独立，每轮答对概率为，服从二项分布， 答对2道的概率：，C选项正确； 在D选项中，答对个数服从二项分布， 期望，D选项正确. 12． 【分析】由概率的乘法公式求解. 【详解】由概率的乘法公式： ． 13．3 【分析】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个,再结合超几何分布求解即可. 【详解】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个， 设从中任取2个球，白球的个数为，则的可能取值为0,1,2， 所以，， 所以取到白球个数的数学期望为， 即，整理得，解得， 所以口袋中白球的个数为3个. 14． 【详解】设表示事件“甲被派往铅球区域”，表示事件“乙被派往铅球区域”. 则，. 则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）用A表示机器人是甲品牌，用B表示机器人是合格品， 则． （2）用C表示机器人是乙品牌，用D表示机器人是丙品牌， 则 ． （3）单次抽到的是甲品牌且不合格的概率为， 则有放回地抽取3台，设X为抽到的甲品牌不合格数量，则， 所以至多1台的概率为 ． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可. （2）根据条件概率计算公式求解即可. （3）根据全概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球， 所以. 故第一次和第二次都摸到红球的概率为. （2）第一次摸到红球的概率为，所以. 故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为. （3），则，所以， 所以. 故第二次摸到红球的概率为. 17．(1) 0 1 2 (2) 【分析】（1）由题意，的所有取值为0,1,2，分别求出对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可； （2）根据全概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意，的所有取值为0,1,2， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为：. （2）设选中甲袋为事件，从所选的袋子中随机一次性取出2个球都是红球为事件， 由题意知，，. 则. 故先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球都是红球的概率为. 18．(1)，88分 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出，进而可求出“优秀”的最低分数； （2）先求出每一层的分数，再求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式或超几何的期望公式，即可求出期望； （3）利用正态分布的性质得，根据题设有，再由二项分布的期望计算公式，即可求解. 【详解】（1）由图可知， 解得. 因为， 则成绩由高到低的前分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则记为“优秀”的最低分数为88分. （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为， 则的所有可能取值为1，2，3，4． ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 方法一：. 方法二：服从参数的超几何分布，故. （3）由题意得，， 由，所以， 所以 ， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186， 故，所以. 19．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 （2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $