第七章随机变量及其分布列巩固提升训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布列巩固提升训练 一、选择题 1．已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，，若，则(      ) A. B. C. D. 2．已知随机变量，若，则(      ) A.88 B.90 C.92 D.94 3．设下表为随机变量X的分布列，其中.若，则(      ) X 1 2 P p A. B. C. D. 4．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响,经统计,甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务,需要甲在30分钟内到达,乙在40分钟内到达,用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数,用频率估计概率,则X的数学期望和方差分别是(      ) A. B. C. D. 5．设随机变量X服从二项分布，则(      ). A. B. C. D. 6．中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理知，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别和的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为(      ) 附：若，则，， A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773 7．已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为(      ) A. B. C. D. 8．设两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则有(      ). A.， B.， C.， D.， 二、多项选择题 9．某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(   ) A. B. C. D. 10．2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高。某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数X可近似看作服从正态分布，则（附：若随机变量，则，，）(   ) A. B. C. D. 11．某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则________. 13．已知随机变量X，Y满足，且，则________________. 14．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为_______. 四、解答题 15．某校随机抽取100名高三学生进行问卷调查，得到学生周末每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示.若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于的有30人. （1）求频率分布直方图中实数a，b的值； （2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽取2人进行访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率； （3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层随机抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望. 16．当前,以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破,全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC,我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道,某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》,先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． (1)求选取的3个科技企业中,BAT中至多有1个的概率； (2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X,求X的分布列与期望． 17．卡塔尔亚洲杯于2024年1月13日至2月10日成功举办.开赛前夕，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，统计得到如下数据（单位：场）：     球队胜 球队负 总计 甲未参加比赛 30 b 70 甲参加比赛 c 10 f 总计 70 e n （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？ （2）根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置且出场率分别为0.2，0.5，0.3；在甲担当前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.则： ①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率； ②当甲参加比赛时，在该球队某场比赛输球的条件下，求甲球员担当中场的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何安排甲球员？ 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 . 18．一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列. 19．某市共有教师1000名,为了解老师们的寒假研修情况,评选研修先进个人,现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35,43,90,83,50,45,82,75,62,35,时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长,求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布,其中,为抽取的10名教师学习时长的样本平均数,利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的n名教师中恰有名教师的学习时长在内,则n为何值时,的值最大？ 附：若随机变量X服从正态分布,则,,． 参考答案 1．答案：B 解析： ， 所以 . 故选：B 2．答案：B 解析：因为， 所以，所以. 3．答案：A 解析：X的取值为1，2，因此的取值为，， 对应概率分别为p，， 因此. 因为，解得. 则，进而. 4．答案：D 解析：设事件A表示甲在规定的时间内到达,B表示乙在规定的时间内到达,,相互独立, , , , , . 故选：D. 5．答案：A 解析：，.故选：A. 6．答案：D 解析：投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，记骰子向上的点数为偶数的次数为，则，故，，由中心极限定理可知，， .故选D. 7．答案：B 解析：用X表示女孩，Y表示男孩， 则样本空间. 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件A和事件B， 则，， 所以. 故选：B 8．答案：A 解析：根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A. 9．答案：ABD 解析：由题意可得，，故A正确. 由题意可得，则，故B正确. ，，，故C错误. 由，，得，故D正确. 选ABD. 10．答案：ABD 解析：，故，故A正确. ，，故B正确. ，，，故C错误. ，故D正确. 故选ABD. 11．答案：AD 解析：从12个产品中任意抽取4个，所包含的所有情况的总数为，其中恰好有1个二等品的情况有种，所以恰好有1个二等品的概率为.也可由对立事件计算，得概率为.故选AD. 12．答案：/0.625 解析：由，可知， 又，可得， 由，可得， 所以. 故答案为： 13．答案：/ 解析：因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 14．答案： 解析：设该射手射击命中的概率为p， 两次射击命中的次数为X，则， 由题可知：， 即， 解得. 故答案为： 15．答案：（1）， （2） （3）分布列见解析，数学期望为 解析：（1）由，得. ， . （2）从7名学生中抽取2人进行访谈的基本事件数为. 记抽取的学生有男生为事件A，则. 记抽取的学生有女生为事件B，则. 由题意得所求概率. （3）从每天学习时间在和的学生中按比例分层随机抽样抽取8人， 抽取的8人中每天学习时间在的人数为， 抽取的8人中每天学习时间在的人数为. 设抽取的3人中每天学习时间在的人数为X，则X的取值可能为0，1，2， ，，， 的分布列为 X 0 1 2 P . 16．答案：(1) (2)分布列见解析,期望值为 解析：(1)选取的3个科技企业中,BAT中有1个的情况为种, BAT中有0个的情况为种, 故BAT中至多有1个的概率为． (2)由题意,X的所有取值为, ,, ,, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 17．答案：（1）有 （2）①0.35，②，③多让甲球员担当前锋 解析：（1）依题意，，，，，. 零假设为：该球队胜利与甲球员参赛无关联. 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001. （2）①设表示“甲球员担当前锋”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“甲球员担当后卫”； B表示“当甲参加比赛时，该球队某场比赛输球”. 有，，，，， 则 . 所以当甲参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.35. ②由①知，在该球队某场比赛输球的条件下，甲球员担当中场的概率. ③由①知，在该球队某场比赛输球的条件下，甲球员担当前锋的概率. 在该球队某场比赛输球的条件下，甲球员担当后卫的概率. 结合②知，，所以应该多让甲球员担当前锋. 18．答案：(1) (2)分布列见解析 解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件,第一次取出的4件产品全是优质品为事件, 第二次取出的4件产品全是优质品为事件,第二次取出的1件产品是优质品为事件, 这批产品通过检验为事件A,依题意有,且与互斥, 所以 ; (2)X可能的取值为400,500,800,并且,, ,故X的分布列如下： X 400 500 800 P 19．答案：(1) (2)①841；②14 解析：(1)设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为A． 由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3,时长低于80小时的人数为7, 则, 所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为． (2)①由样本数据知,． 因为, 所以, 所以,学习时长不低于50小时的教师人数为841. ②每名教师的学习时长在内的概率为, 由题意可知,则, 设, 则． 令,得,所以当时,, 令,得,所以当时,, 所以当时,最大,即使最大的n的值为14． 学科网（北京）股份有限公司 $