二次函数提升相似三角形存在性问题 2026年中考数学二轮复习专项训练

二次函数提升 相似三角形存在性问题 2026年中考数学二轮复习专项训练 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，过点作轴，交直线于点，连接、，当面积最大时，求点的坐标． (3)如图，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，．设，求在（）的条件下的值． 2．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 4．如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点C． (1)求该函数的表达式； (2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作，垂足为点Q，连接． ①若，求线段的长度． ②求线段的最大值． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线的对称轴，且经过两点，与x轴交于另一点B．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 9．如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式； (3)如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标． 10．如图1，抛物线交x 轴于A，B 两点（点A 在左边），交y 轴于点 C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)D是抛物线第二象限上的一点，连接分别交，y轴于E，F两点，若，求点D 的坐标； (3)如图2，平移抛物线得到抛物线，其顶点为，点M在x 轴上方的抛物线上 ，轴，点M在点N的左侧，过M且不平行y轴的直线1与抛物线只有一 个公共点，F为抛物线第四象限上一点，直线与1交于点E．设点M，F的横坐标分别为m，n，若线段，问 ：m 与 n 是否存在确定的数量关系？如果存在，求出其关系；如果不存在，请说明理由． 11．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． (1)求的面积； (2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标． 12．如图，抛物线与轴交于A、两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点A、，连接． (1)求抛物线和直线的解析式： (2)若抛物线上存在一点，使的面积是面积的2倍，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转，与抛物线交于点，请直接写出点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点． (1)求直线的表达式； (2)若点P在第一象限，连接，交直线于点D，且，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，则有直线的解析式为，设点，则，，所以，故，然后通过二次函数的性质即可求解； （）证明，则，所以，，则，作交轴于，作轴交于，然后求出直线的解析式为，当时，，则有，证明，所以，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，将点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，将点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 由点是抛物线上一动点，且在直线的上方， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴ ， 当时，面积最大 ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 作交轴于，作轴交于， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∵，轴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，． 2．(1) (2)存在．或 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得出方程组，求出解即可； （2）设点，再求出，分两种情况：当为直角时，可知与相似，则，即可得点、关于抛物线的对称轴对称，然后得出答案； 当为直角时，作轴，可得，则，再根据可得，即，求出答案即可． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得，， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 设点， 令， 解得或（舍去）， 故点，则． ①当为直角时， ∵与相似，则， ∴轴，则点、关于抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为， ∴点； ②当为直角时， 如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即 则， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 3．(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为或或 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：或 此时，Q点坐标为或； ②当时， 则，即， ∴， 解得：或（舍去）， 此时，点Q的坐标为； 综上，Q点坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 4．(1)； (2)点的坐标为或； (3)，或，或，． 【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可； （2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标； （3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点， 因此可设抛物线的解析式为 将代入得，即 抛物线的解析式为； （2）解：， 对称轴为直线， 如图2，当时，，则， 当时，， ， ∴， ， ， ∴， 因此点的坐标为或； （3）解：存在． 假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 如图3，当平行四边形是平行四边形时， 此时，的横坐标为， ∴， ∴，， 当平行四边形是平行四边形时，同理，， 如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则， 点在抛物线上， 此时，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类讨论的数学思想． 5．(1) (2)①；②最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定以及性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把点、代入组成二元一次方程组求解即可得出a，b的值，进而可求出该函数的表达式． （2）①由相似三角形的性质得出，，进而可得出，进而可得出点C和点P关于对称轴直线对称，求出，再求出，，，即可得出线段的长度． ②过P点作轴，交于M点，交x轴于N点，求出直线的解析式，设，则，进而可得出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点、在的图象上， ∴ ， 解得： ∴二次函数的解析式为 （2）解：①：∵ ∴， ∴，即轴， ∴点C和点P关于对称轴直线对称， 当时，， ∴ ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ∴ ②解：过P点作轴，交于M点，交x轴于N点，如图所示 由①知，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ 又∵轴 ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∴ ∴当时，线段的值最大，最大值为； 6．(1) (2)、或 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ∴，，则， 解得， ∴，， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ∴， ∵轴， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得或， ∴， ∵， ∴当在上方，即时，如图所示： ∵， ∴当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， ∴， 当时，， ∴，即， 解得（舍去）或； 当时，， ∴，即， 解得（舍去）或（舍去）； ∴当在下方，即时，如图所示： ∵， ∴当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， ∴， 当时，， ∴，即， 解得（舍去）或； 当时，， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或． 7．(1) (2)的面积的最大值是4，此时 (3) 【分析】（1）利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后可求得的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标； （3）设，则，若以点A、M、N为顶点的三角形与相似，则或，分别求出t的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：设， 如图，过点P作轴交于点Q，    ∵直线经过两点， ∴设的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 则， 则， ∴， ∴当时，的最大值是4，此时． （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵轴， ∴若以点A、M、N为顶点的三角形与相似，则或， 设，则， ①， ∴， 解得： ； ②， ∴， 解得：； 综上所述：存在使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似．    【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积综合、二次函数与几何综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 8．(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)点D的坐标为或 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解； （3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即点A的坐标为， ∵点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示： ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标为： （3）解：如图2， 设点D的坐标为， ∵， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①当时， ∴，即， 解得：， 即点， ②当时， ∴，即， 解得：， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数综合题，平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）证明是等腰直角三角形，得到．设直线的解析式为，则，则直线的解析式为．证明，则，，得到．利用待定系数法即可求出答案； （3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．求出，得到，则，根据得到，整理可得，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ． 将代入， 得， 抛物线的解析式为． （2）如图③，过点作，垂足为． 由（1）可得抛物线的解析式为， ， 是等腰直角三角形， ． 设直线的解析式为，则， 直线的解析式为． 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ． 点在直线上，把代入中， 得，解得， 直线的解析式为 （3）如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K． ∵， ∴， ∴， ∴，则． ，则， 由直线EF的解析式为，得． ∵，， ∴直线BN的解析式为， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， 整理可得， 解得． ∵点D在第一象限内， ∴， ∴， 即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为． 10．(1)， (2) (3)m 与 n 存在确定的数量关系，为 【分析】（1）分别令和，即可求解； （2）过点D作轴交于点G，过点E作轴于点H，则轴，轴，求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点G的坐标为，可得，再证明，可得，，，然后根据中点坐标公式可得点E的坐标为，从而得到，，然后根据，求出t的值，即可； （3）过点E作于点P，过点N作轴，过F作轴交于点N，则，，根据题意可得点M的坐标为，点F的坐标为，点N的坐标为，从而得到，设直线l的解析式为，根据直线1与抛物线只有一 个公共点，可得，从而得到直线l的解析式为， 把点代入，可得直线l的解析式为，再求出直线的解析式为， 联立可得点E的坐标为，从而得到，然后根据，以及，可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点D作轴交于点G，过点E作轴于点H，则轴，轴， 设直线的解析式为， 把点，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点G的坐标为，， ∴点E的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或1（舍去）或0（舍去）， ∴点D的坐标为； （3）解：m 与 n 存在确定的数量关，为，理由如下： 如图，过点E作于点P，过点N作轴，过F作轴交于点N，则，， 由平移的性质得：抛物线的解析式为， 根据题意得：点M的坐标为，点F的坐标为， ∵轴， ∴点N的坐标为， ∴， 设直线l的解析式为， 联立得：， 整理得：， ∵直线1与抛物线只有一 个公共点， ∴， ∴直线l的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∵点M在x 轴上方的抛物线上 ， F为抛物线第四象限上一点， ∴m 与 n 存在确定的数量关系，为． 【点睛】本题考查了二次函数，三角形相似，二次函数的平移，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是作出相应的辅助线，将问题转化为解方程组，利用方程的思想来求解． 11．(1)的面积为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数，一次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标与相关线段的长度． （1）先利用待定系数法求出抛物线的表达式，随即可得到相关点的坐标，利用待定系数法求出直线BC所在的一次函数表达式，过点作垂直于轴，交于点，可得出点E的坐标，结合即可求出的面积； （2）先计算出的三条边长，设点坐标为，对可能的相似情况进行分类讨论，求出对应的即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， 将代入 ， 得，解得， 函数表达式为， ∴点、、， 令直线表达式为， 由、， 得，解得， ∴直线表达式为， 过点作垂直于轴，交于点，如下图所示： 当时，， ∴， ∴， ∴， 故的面积为． （2）解：， ， ， 设点坐标为，根据题意，可判断出有可能的相似情况有如下三种： 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 当时， 有，即， 由，解得，该方程无解， 则不存在该情况； 当时， 有，即， 由，解得， 由，解得或， 故该情况下； 综上，点的坐标为或． 12．(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得b、c得值即可确定抛物线的解析式，然后确定点C的坐标，最后运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）利用抛物线的对称性得出，进而可得，此时点P与点B重合；过点作交抛物线于点P，将直线的解析式与抛物线的解析式联立即可得出点P的坐标； （3）根据已知条件易得，，；如图：当顺时针旋转时，，易证可得、，过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为，进而确定点，然后运用待定系数法求的直线的解析式，并与抛物线的解析式联立即可解答；如图：当顺时针旋转时，，易得，再构造全等三角形求得，然后运用待定系数法求的直线的解析式并与抛物线的解析式联立即可解答； 【详解】（1）解：把点A、点B的坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，，即点C的坐标为． 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为． （2）解：如图1，连接， ∵点D是抛物线的对称轴与x轴的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， 此时，点P与点B重合，即； 过点作交抛物线于点P， 设直线的解析式为， 将点代入可得：，即， ∴直线的解析式为， 由题意可得：，解得：或 ∴， ∴即点P的坐标为或； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，即点D的坐标为， ∴ ∵，，， ∴， ∴，，， 如图：当顺时针旋转时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴设直线的解析式为， 联立， 解得：或 所以点E的坐标为或； 如图：当顺时针旋转时，， ∴， ∵， ∴， ∴, 在x轴截取，过M作轴交直线与K， ∵， ∴,， ∴， ∴, ∴,, ∴， ∴, 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴设直线的解析式为， 解：， 解得：或， ∴点E的坐标为：或． 综上，点E的坐标为或或或． 13．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得，解得，得到，利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点E， 得，列比例式为，设，则，继而确定，结合已知，转化为方程解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，解方程，三角形相似的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：如图，过点P作轴，交于点E， ∴， ∴， 点P是抛物线上第一象限内图象上一点， 设， ∵直线的解析式为， ∴， 解得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得， 故或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $