2026年中考数学二轮复习专项训练二次函数提升其它问题存在性问题

2026年中考数学二轮复习专项训练二次函数提升其它问题存 在性问题 1.如图，抛物线'=mr+m+3到x-6m+9列与轴交于点A、B,与y轴交于点C,已 知83,0) (I)求m的值和直线BC对应的函数表达式： (2)点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作BC的垂线垂足为点G,求线段PG 的最大值： 6为抛物线上一点，若 ∠ACQ=45 ,请求出点的坐标. 2.如图1，抛物线y=ar-2x+ca≠0) 的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点 B30,与》轴交于点C(0-3引.点P为该抛物线上一点，其横坐标为m,且m>0, 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； ②如图2，连接BC,点P为直线 BC PM∥y BC 下方抛物线上的点，过点P作 轴交 于M, 求PM的最大值及此时点P的坐标. 试卷第1页，共3页 (3)当该抛物线在点C与点P之间（包含点C和点P)的部分的最高点和最低点的纵坐标之 差为定值时，写出m的取值范围及这个定值， 3.如图，已知二次函数=-++C的图象与x轴交于点-4,0和点B,与y辅交于点 C0,4),点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为1. OB 备用图 (I)求该二次函数的解析式： (2)连接PC,AC,当∠PCA=45°时，求t的值： (3)设以A,O,C,P为顶点的四边形的面积为S. ①求S关于t的函数解析式： ②当t=m和t=m+1时S的值相同，求m的值. 4.已知二次函数y=r2-2ar-3a (a为常数，且a<0)的图象与x轴交于A,B两点（点 A在点B左侧)，与y轴交于点C,OB=OC.点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点， 过点E作直线EF∥BC交该抛物线于点F. B 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)若M为EF的中点，求△COM的面积： 6)若直线EC、FB相交于点R,当S线w时 4时，求点P的坐标. 试卷第2页，共3页 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线’=广+c+C与x轴交于点4，B(4在B的左 侧)，与y轴交于点C(0,- ,其对称轴为直线x=1 备用图 (1)求该抛物线的函数解析式： (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接BC,PB,PC,过点P作PD⊥x轴于点D,交 BC于点E.记△PBC,△BDE的面积分别为S,S,求-S的最大值： (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G,现将图象G沿直线BC平移，得到新的 图象M,图象M与线段AC只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围. 6,如图，抛物线y=方+x+c与铂交于4B两点，与)轴交于点C·已知 A-2,0)、D(4,-6) B D M (I)求抛物线的表达式及顶点M的坐标： (2)将抛物线向上平移，设点D的对应点为点E，,射线BE交线段AD于点F. ①如果AD恰好平分∠CAE,求平移之后的抛物线的表达式： ②如果△DEF与△ABD相似，求平移的距离. 试卷第3页，共3页 7.在平面直角坐标系中，抛物线'=-+br+C经过点4-，0)和B0,3到 B B 11 x-m x-m 备用图 (1)求抛物线的表达式. (2)在抛物线的对称轴上是否能找到一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存 在，直接写出点P的坐标.若不存在，请说明理由. (3)若直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时， AW+MN有最大值，并求出最大值. 8.在平面直角坐标系中，已知抛物线=r+hx+3与轴交于点1-30，B10)两点， 点P是抛物线上的一个动点。 P I B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： ②如图1，若点在第二象限，PB与'轴相交于点F,当PB与以O1为直径的半圆 0 相 切于点E时，求点P的坐标： (3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连结PC,将△PCM沿直线PC翻折，当点M 的对应点M'恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标. 9.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点。已知抛物线'=-+4x+3 对称轴为 试卷第4页，共3页 直线1，点A与点O关于直线1对称.点P在直线y=-x+10上，连接PO、PA分别交抛物 线于点B、C,设点P的横坐标为m. y=-x+10 (1)求点A的坐标： (2)当OB=AC时，m的值为 (3)当PC≤AC时，求m的取值范围： (4)作点P关于点B的对称点B',点P关于点C的对称点C,连结BC'.当线段B'C'与线段 OA有公共点时，直接写出m的取值范围 12 D4. 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=2+6r+C经过点D4 与x轴交于点 A-1,0和点B,直线4D与'轴正半轴交于点C. H 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点E在第四象限对称轴右侧抛物线上，点M在坐标平面内，四边形AEMC是 面积为3的平行四边形，求点M的坐标： (3)如图2，抛物线与y轴交于点F,抛物线的对称轴与抛物线交于点H,与x轴交于点G. 若点9为抛物线对称轴上一点，点P,0为x轴上任意一点，且P01巴，当点P在线段 GH(含端点)上运动时，求t的取值范围. 试卷第5页，共3页 1,如图，已知抛物线C,y=+ca≠0的顶点为B,对称轴：x=-2,与直线 y=-2x-8有且只有一个公共点4，点P在抛物线C上，点M102)关于直线P的对称点 N恰好落在抛物线的对称轴I上. M (I)求直线AP的解析式： (2)点G是第二象限内抛物线上一点，G关于I的对称点是E,连接OG,点F是线段OG上 一点，且FB⊥FE,FB=FE,求点G的坐标， 12.如图，抛物线=-+bx+c与轴交于点1(-3,0，点8，与轴交于点C0,3引 (1)求抛物线表达式： (②点P为直线1C上方抛物线上一动点，过点”作PD11C于点D,过点P作PE∥)辅交 直线AC于点E,求△PDE的周长最大值及此时点P的坐标： ③)设M(,,N(x+2）(>0)为抛物线上两点，在x≤r≤+1中》的最大值为m, 最小值为”.若存在某个义，使得m-≤4，请求出‘的取值范围。 试卷第6页，共3页 13.如图1，抛物线'=ar+x+©(a≠0)与轴交于4(-2,0,8(6,0两点，与'轴交于点 C,点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,PD交直线 BC于点E,设点P的横坐标为m、 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，过点P作PF⊥CE,垂足为F,设△PEF周长为C,请求出当周长C取最大值 时m的值： (3)点M,N在函数y的图象上，它们的横坐标分别为n,2n+4,以线段MN为对角线作 矩形MQNG,且MG∥y轴.当矩形MQNG与函数y的图象有且只有三个公共点时，当矩形 的边MG长度为2时，请直接写出n的值为 试卷第7页，共3页 参考答案 1.01,少=-3 9√2 (2)8 【分析】(1)运用待定系数法即可求出抛物线解析式，得出点C的坐标，再利用待定系数 法求出直线BC的解析式即可： (2)如图1，过点P作PHy轴交BC于点H,设P-+-3),则 H,1-列，PH=-+,由PHy轴，得出∠PHG=∠BC0=45,利用三角函数得出 PG=PH·sin∠PHG=- -3+ 2-2 8,运用二次函数的性质即可求得答案； (3)如图2，在CB下方作∠BCE=∠OCA,过点B作BE⊥CB,交射线CE于点E,过点 E作EF⊥x轴于点F,连接CE交抛物线于点Q,由tan∠BCE=tan∠OCA,可得 BE OA CBOC,求得BE=√2，进而可得E(4,-刂，利用待定系数法可得出，直线CE的解析 式为y=)-3,联立方程组即可求得点O的坐标. 2 【详解】)解：抛物线=mr+m+3列x-(6m+9)经过点83,0) ∴.9m+3m2+3-6m-9=0 解得：m=0（舍去)，或m=-1, 六该抛物线的解析式为'=-r+4r-3, 令x=0,得y=-3, ·C(0,-3) 答案第1页，共2页 设直线BC的解析式为y=a+b, 3k+b=0 则b=-3, [k=1 解得：b=-3, ·.直线BC的解析式为y=x-3, ∴.m的值为-1，直线BC对应的函数表达式为：y=x-3: (2)解：如图1，过点P作P .PHIy.、BC 》轴交BC于点H, B 图1 设P-+4-3到，则H,1-3到， ∴.PH=-t2+4t-3-(t-3)=-t2+3t .OB=OC=3. .∠BC0=∠CB0=45°， PHIy轴， ∴.∠PHG=∠BCO=45°， PG⊥BC, .∠PGH=90°， PG=PH-sin.∠PhG=-2+3×sin45°=-y2-3+92 t- 2 2) 8 <0, 2 答案第2页，共2页 当：时，G的数大货为 8 (3)解：如图2，在CB下方作∠BCE=∠OCA,过点B作BE⊥CB,交射线CE于点E, 过点E作EF⊥x轴于点F,连接CE交抛物线于点Q, 图2 则∠BFE=∠CBE=90°， ∠CB0=45°， ∴.∠EBF=180°-∠CBE-∠CB0=180°-90°-45°=45°， .BF-EF-BE :∠COA=∠CBE=90°，∠BCE=∠OCA, :.tan∠BCE=tan∠OCA, .BE_OA 'CB OC' 在抛物线少=-r2+4x- 中，令少=0 得+4x-3=0 x=1,x2=3 解得： .A1,0） .OA=1, OC=CB.cos∠Bc0=CB:cos45°=V5CB, 2 .:CB=√20C=3√2 BE 1 323, 答案第3页，共2页 :.BE =2 那=EF=5x2=l, 2 ∴.OF=OB+BF=3+1=4, .E(4,-1 设直线CE的解析式为y=x+f, 「f=-3 则4e+f=-1, 1 e= 2 解得： f=-3’ 1 :直线CE的解析式为y=2x-3, 1 r=2x-3 联立方程组得 y=-x2+4x-3’ x=0 比2= 2 解得： (=-3' = 4 75Y 点g的坐标为2,4： 【点晴】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角函数定义，相似三角形 的判定和性质，直线与抛物线的交点坐标等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的 辅助线是解题的关键。 2.0x2-2x-3 9 (2)PM最大值为4， (3)1≤m≤2，定值为1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质 答案第4页，共2页 综合，熟知以上性质是解题的关键. (1)用待定系数法求解即可： BC y=kx+b (2)设直线的解析式为 ,利用待定系数法即可求得直线的解析式，设 329 Px,x2-2x-3)(0<x<3),则Mx,x-3),即可得 出PM=（x~2)+4,根据二次函数性 质可得答案。 (3)设C关于对称轴的对称点为D,当P在顶点和D之间时，该抛物线在点C与点P之 间（包含点C和点P)的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值，定值为3-(4）=】， 即可得解. 9a-6+c=0 【详解】(1)解：把B(3,0),C(0,-3)代入y=a2-2x+c得c=-3 「a=1 解得c=-3, 六抛物线的解析式为-2x-3 (2)解：·B3,0) 设直线BC的解析式为y=a+b, 3k+b=0 将B(3,0),C(0,-3)代入得b=-3 [k=1 解得b=-3 .直线BC的解析式为y=x-3, 设Pxr2-2x-3到0<x<3) :PM∥y轴， .M(x,x-3), 答案第5页，共2页 PM=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x=-x- .-1<0 当时，y最大值为片时P信》 (3)解：设C关于对称轴的对称点为D,如图， D 图2 y=x2-2x-3=(x-12-4 对称轴为直线=-2 一21，顶点坐标为1,4， ∴.D(2,-3 当P在顶点和D之间时，该抛物线在点C与点P之间（包含点C和点P)的部分的最高点 和最低点的纵坐标之差为定值，定值为3-(4)=1， .1≤m≤2 3.(0)y=-r2-3x+4 (2)t=-3 -2t2-81+8(-4<1<0) S- (3)①S关于t的函数解析式为1 2t+8(0<t<1 2或m=5+V2i ；②ms 2 【分析】(1)利用待定系数法解答即可： PC∥OA (2)利用已知条件得到 ，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值， 点P的横坐标可求： (3)①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答；②分两种情况讨论求解即可， 【详解】()解：：二次函数y=-x+hr+C的图象与x轴交于点 -4,0 和点B,与y轴 答案第6页，共2页 交于点C04到 「-16-4b+c=0 .lc=4 b=-3 .c=4, ·该二次函数的解析式为”-r-3x+4 (2)解：A-4,0)C(0,4 .0A=0C=4, .∠0AC=∠0CA=45°. .∠PCA=45°， ∴.∠PC0=90°， PC⊥OC, .0A10C, .PC∥OA.如图， B ∴点P的纵坐标为4， .-x2-3x+4=4, .x=0或x=-3, :P-3,4 .t=-3 0,则r-3x+4=0 (3)解：①令=0， .x=-4或x=1, 答案第7页，共2页 :B1,0) ∴.OB=1 当点P在AC的上方时， 即-4<t<0,P4,--31+4 过点P作PD⊥OA于点D,如图， 则PD=-2-3t+4,OD=-t, ∴.AD=OA-OD=4+t, :S=SpD+S5 DPDPD+OCIOD 2 =4+--3+4到+-r-3+4+4到×- =-212-8t+8 当点P在AC的下方时， 即0<1<1，P6,--3+4 过点P作PE⊥OC于点E,如图， 答案第8页，共2页 则PE=t, S-S.oc+.oc 1 0A.0C+OC.PE= 2*4x4+5× =2t+8 「-22-8t+8(-4<t<0) 综上，S关于1的函数解析式为S=2+810<1<) t>-4 ②当t+1<0即-4<t<-1时， 故当t=m和t=m+l时 -2m2-8m+8=-2(m+1-8(m+1+8 5 解得m=一2· 0 图4 t<0 当t+1>0即-1<t<0时， -2m2-8m+8=2m+1+8 解得， m=-5+V21 m=5-四 2, 2(舍去). 综上可知， 2或m5+7 m= 2. 【点晴】本题主要考查了二次函数综合.熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的 图象和性质，二次函数与三角形面积综合，二次函数与一次函数的综合问题，分类讨论， 答案第9页，共2页 是解题的关键。 4.(0P=-2+2r+3 9 (2)4 3到 【分析】(1)令y=0,求出点B的坐标，从而得到点C的坐标，再把点C的坐标代入 y=ar2-2a-3a,即可求解： (2)点Em,-m+2m+3m<0,求出直线8BC的解析式为y=-x+3,再由EF∥BC, 可设直线EF的解析式为y=-x+C, 把点E(m,m+2m+3到代入，可求出直线EF的解析式为y=-x-m+3m+3,然后联立， m+3-m3 可求出点F的横坐标为3-m’从而得到点M的横坐标为2 2,即可求解： (3)连接0P,设点Es,-+2+列，由(2)得：点F33+4,求出直线CE的 解析式为少=(-5+2)x+3 同理直线BF的解析式为'=(s-4)x-3+12 ,可求出点P的坐 标为侵弓+，禹根报3m+5m孕.可求出号即可求解。 【详解】(1)解：当=0时，ar-2ar-3a=0 y=0 .a<0 :r2-2x-3=0 解得：=3,5-1 点B3,0,即0B=3, .OB=OC, 答案第10页，共2页 0C-3,即点C0,3到 把点C03到代入=ar-2a-30得： -3a=3,解得：a=-1, 二抛物线的解析式为=-+2+3 (2)解：如图，点Em,-m2+2m+3(m<0) BC y=kx+b 设直线 的解析式为 把点830)，C0,3 代入得： [3k+b=0 [k=-1 b=3,解得：b=3, BC =-x+3 ∴直线的解析式为 EF∥BC, .可设直线EF的解析式为y=-x+C, 把点(m-m+2m+3到代入得：-m+2m+3=m+c, 解得：c=-m+3m+3 “直线EF的解析式为'=--m+3m+3, y=-x-m2+3m+3 联立得： y=-x2+2x+3, 答案第11页，共2页 x2-2x-mm-3)=0 整理得： 解得：方=m,水=3-m ∴点F的横坐标为3-m, ,M为EF的中点， m+3-m_3 “点M的横坐标为2 2 1 ·△COM的面积为2 LOCXXx3x39 ×24; (3)解：如图，连接OP, 设点Es-s2+2+3) 由(2)得：点F3-8y2+4 设直线CE的解析式为'=x+b 把点E,-+2+3列，C0,3到代入得： kS+b=-s2+2s+3 k=-8+2 b=3 ,解得：b=3, “直线CE的解析式为”=-5+2列x+3 同理直线BF的解析式为'=(-4)x-3s+12 y=(s-4x-3s+12 联立得：y=(-s+2)x+3, 答案第12页，共2页 3 x= 2 解得： 3 y=-2+6 33 S+6 ·点P的坐标为22 33 :Sg边形roB三 4, 5.rco.mo33 4 即20Cx。+20Bx,=3 1 2 4 1 313 33 -×3×二+一×3 -S+6= ∴.2222° 4, 解得：54 3, 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面 积问题，二次函数上点的特征，运用数形结合思想是解题的关键. 5.y=2-2-3 81 (2)32 33 61sms3或m= 16 【分析】(1)根据对称轴公式和点C的坐标求解即可； (2求出B(3,0,得到0B=0C=3,则∠0C=45°，设PDP-2p-3),则Dp.0, BD=3-P,证明△BDE是等腰直角三角形，得到DE=BD=3-P,则 PE=PD-DE=-p2+3p,可求出SS=-2p-8+32,据此可得答案 答案第13页，共2页 (3)求出图象M对应的抛物线解析式，进而求出图象M对应的抛物线恰好经过点A,点 C和恰好与直线AC只有一个交点时m的值，结合函数图象即可得到答案， 【详解】(1)解：抛物线=+r+c与》轴交于点C0,-3 ,其对称轴为直线=1， c=-3 b1, (b=-2 解得c=-3, 六抛物线的函数解析式为'=x-2x-3 (2)解：在=-2x-3中，当=0时，则-2x-3=0, 解得x=3或x=-1, :B3,0) C0,-3) ..OB=OC=3. 又：∠B0C=90°， .∠0BC=45°： 设Ppp-2p-3,则D(n,0 BD=3-p .DE⊥BD,∠DBE=45°， .△BDE是等腰直角三角形， DE=BD=3-p 。 :.PE=PD-DE=-p2+2p+3-(3-pj=-p2+3p :△PBC,△BDE的面积分别为S,S, 答案第14页，共2页 .5.-S.me+S.m-PE--xEp+3p), s=D.E=3-p-p-6p+9, -s-引-p2+3p川-p2-6n+ 9 e品 ,点P是抛物线在第四象限内的一点， .0<p<3 -2<0, 当50，即9 81 8时，S-S,有最大值，最大值为32： (3)解：原抛物线的函数解析式为”=-2x-3=(x--4,则顶点坐标为-4， 设直线BC解析式为y=c+b', 「3k+b'=0 .b=-3, k=1 .b'=-3, BC y=x-3 .直线解析式为 将抛物线r-2-3 关于x轴作轴对称变换，得到图象G, 则图象G对应的抛物线的顶点坐标为1,4刊， ,将图象G沿直线BC平移，得到新的图象M, ,图象M对应的抛物线的顶点在平行于BC的直线上运动，即在直线y=x+3上运动， 答案第15页，共2页 六图象M对应的抛物线的顶点坐标为m,m+3到 图象M对应的抛物线解析式为y=-(x-m+m+3 当图象4过点4(-1,0) (由2)可得点A坐标)时， -(-1-m+m+3=0,解得m=-2或1： 当图象M过点C0,-3到时， -0-m2+m+3=-3,解得m=-2或3： 由函数图象可知，当1≤m≤3时，符合题意： 同理可得直线AC的解析式为y=-3x-3, 当抛物线”=(x-m+m+3与直线AC恰好只有一个交点时， y=-(x-m)2+m+3 联立y=-3x-3 得-3x-3=-(x-m)+m+3, 即r-(2m+3)x+m2-m-6=0 答案第16页，共2页 则A=[-2m+3]-4m2-m-6=0, 33 解得m= 16, (33) 2× +3 小5=5-2m+3 16 9 2 2 16 :-1<-9 <0, 16 :此时抛物线=-(x-m°+m+3与直线AC的交点恰好在线段4C上，符合题意： 33 综上所述，m的范围是1≤m≤3或m= 16 【点晴】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与 判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。 6.0y-2-6,顶点M2,-8 e0--2-2:②0E- 3或5 【分折】()将点4-20，D4-可代入抛物线y+hx+C,求州Bc·进而再求顶 点坐标即可； (2)①由题易得CD∥x轴，∠ADC=45°，证△ACD≌△AED,可得DE=CD=4,即可 得解； ②设抛物线向上平移了1个单位，则E4-6+,先求出B6,0,直线D表达式，直线 BE表达式，联立求出点万则AB=8,AD=65,DE=1,DF=22 8,分两种情况讨论：当 △ABD∽△DFE时，当△ABDADEF时，然后分类求解即可. 【详】(D解：将点-20，D4-6代入范到线y方+加+c得 x4-2b+c=0 2 ×16+4b+c=6 1 答案第17页，共2页 [b=-2 解得c=-6, 1 ∴抛物线的表达式为y=亏x2-2x-6, 2 ∴对称轴为直线x=2, 当x=2时，y=7×4-4-6=-8, 2 ÷顶点42,8 (2)解：@对于抛物线-2-6，令：=0：得，6 .C(0,-6) :D(4,-6) 则CD∥x轴，且CD=4, 过A作AG⊥DC,交DC延长线于点G, ○ B G( D M A-2,0),D(4,-6 ..AG=DG=6, ∴.∠ADG=45°， 由题可知点D向上平移到点E, 则DE∥y轴，即DE LCD, ∴.∠ADE=90°-∠ADC=45°， :AD平分∠CAE, .∠CAD=∠EAD, 在△ACD和△AED中， 答案第18页，共2页 ∠CAD=∠EAD AD=AD ∠ADC=∠ADE' :.△ACD≌△AED(ASA ∴.CD=DE=4, ∴.点D向上平移4个单位到点E,即抛物线向上平移4个单位， 平移之后的抛物线的表达式为y=方-2x-6+4= -2-2 ②解：设抛物线向上平移了t个单位， :E(4-6+) 令y方-26-0，得g=2政6， :B60) 设直线AD的表达式为y=mx+n, [0=-2m+n m=-1 代入A-2,0),D(4,-6)可得-6=4m+n,解得：n=-2, 故直线AD的表达式为y=-X-2, 设直线BE的表达式为y=cx+d, c=6 [0=6c+d 2 代入B(6,0,E(4,-6+1可得{6+t=4c+d:解得： n=3t-18, 敬直线贴的表达式为x-6。 y=-x-2 6-I(x-6), 联立y=2 [x=32-64 8-t 解得了 -48+8t y=8-t 答案第19页，共2页 32-6t-48+8t 即(8-t’8-t, AB=8,AD=2-42+0+6=62,DE=t,DF= 432-61)2 -48+8t 2 22t +-6- 8-t 8-t 8-t .∠ADG=∠DAG=45°DE∥y ， CD∥x轴， ∴.∠FDE=∠BAD=45°， .分两种情况讨论： 当△ABDP△DFE时， 86W2 州品 t 8-t 解得t=5: 当△ABDP△DEF时， 86V2 则AB、AD t 22t DE DF' 即 8-t, 16 解得t= 3； 16 综上，平移的距离为5或3个单位. 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、 相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 7.(0)=-+2r+3 (2)存在； P(1, 325 (3)m=2:4 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，关键 是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的 长度，从而求出线段之间的关系， 答案第20页，共2页 (1)由待定系数法即可求解； （2)由点4，P,B的坐标得，AP=P+4,BP=1+1-3,再根据AP=BP列方程求 解即可： (3)根据题意可得出点M,N的坐标，进而可得出AN,MN的值，代入AN+MN中， 可得出w+w=m登+孕 4,即可求解。 【详解】()解：“抛物线'=-+x+c经过点4-10)和B(0,3), 将点4-1,0)和B到0,3到代入y=-r+b+c得， [0=-1-b+c 3=c [b=2 解得c=3, 抛物线的表达式为”=+2r+3 (2)解：存在，理由： 由抛物线的表达式可知，其对称轴为直线x= 21, - 故设点P1) :△ABP是以AB为底边的等腰三角形， :AP=BP 由点A,P,B的坐标得，AP2=2+4,BP2=1+t-3)2 则+4=1+-， .t=1, 即点P1) (3)解：：直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M, 答案第21页，共2页 点M的坐标为m,m+2m+3),点N的坐标为m0, MN=-m2+2m+3,AW=m+1, 六+N=0+1r+2m+到=m+咖+4=-a产+ 4 当y=0时，即-x2+2x+3=0, .x=3x2=-1 .0<m<3 又-1<0， 3 25 :当m=时，4N+MN有最大值，最大值为年. 8.(①=--2r+3 939 (2)4'16 3)点M的坐标为2-3，瓦或一5-3,2 【分析】(1)利用待定系数法解答即可： EO ∠BEQ=90°，Rt△BQE (2)连接，根据切线的性质可得 ，在 中，由勾股定理可得到 BE=2设0F=n:则E=B=2-n:在R1△BOF中，利用勾股定理可得，n= 4 从得到r0》 求出直线P的解析式即可求解： （6)设Pm,-m-2m+3,则M(m,m+),PM=m+3训，求出CM=V5m,证明 PM=CM,可得m+3m5m,即可求解. 【详解】①解：抛物线=m+x+3与轴交于点1(-30)，B10)点， 9a-3b+3=0 a+b+3=0, 答案第22页，共2页 a=-1 解得：b=-2, 六该抛物线的解析式为”=--2x+3, EO (2)解：连接 y 是 的切线， A PB⊙Q .BE⊥EQ, ∠BE0=90°， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE=VB0-EO=2, 设OF=n,则EF=n,FB=2-n, 在Rt△BOF中，BF=OF+OB (2-n2=n2+12 解得： 设直线PF y=kx+b 的解析式为 k+b=0 )代入得 B1,0,F0,4 63， 4 63 4 解得 4、3 4 答案第23页，共2页 3.3 .y= 4+ 4· y=-x2-2x+3 X=- 9 4 联立 33 得： y=-x+ 39, 4 4 y= 16 939 点坐标为416月 (3)解：如图，设Pm,-m-2m+3,则M(m,m+3), M M 图2 PM=m+3-(-m2-2m+3到=m2+3m CM=√m2+m2=2m △PCM 沿直线PC翻折，M的对应点为点M,M'落在'轴上， PMIy轴， ∴.PMI∥CM',PM=PM',CM=CM',∠PCM=∠PCM', ∠PCM'=∠MPC, ∴.∠PCM=∠MPC, :PM=CM, :m2+3m=2ml 当m+3m=2m时 解得： %=0 （舍去)，m=5-3 此时点MV5-3, 当m+3m=V2m时， 答案第24页，共2页 解得：m=0(合去)，%=5-3， 此时点M-2-3,-V2, 综上，点M的坐标为V5-3,2)或巨-3，V2」 90)40y (2)2 (3)-2≤m≤4 ④2≤m≤5-万或4≤m≤5+而 【分析】(1)先求得抛物线的对称轴为直线x=2,根据轴对称的性质即可得出点A的坐 标； (2)根据轴对称图形的性质可得P在对称轴上，即可求解： C.D (3)先求得P1的中点D的坐标，求得临界值，即C,D重合时m的值，根据 m C≤AC 得出 D点在C点的下方，进而求得m的范围； B',C .O,A (4)先求得 ”,分别与，“重合时的m的值，结合函数图象，即可求解. 4 丁)解：抛物线y=+4+3的对称轴为直线：2×-12， 点O关于直线1对称， 4,0 “点4的坐标为 (2)解：，点O0,0)和点A(4,0)关于对称轴x=2对称，抛物线关于x=2对称 若点P也在对称轴上，则整个图形关于x=2对称，交点B和C也关于x=2对称，从而 OB=AC .m=2: (3)解：设PA的中点为D, :Pmm+10)440 答案第25页，共2页 2，h=m+10+0-10-m 物sm+ 2 2 10-m_m+4)2 当C,D重合时，2 （2+4m*4)】 (243 m1=4,m2=-2 解得： ,PC≤AC 小0点在c点的下方.蓝商位，0s生4) ∴.-2≤m≤4 (4)解：，点P关于点B的对称点B,点P关于点C的对称点C, 当B与点O重合时，则B是OP的中点， :4g分+5 代入y=-r2+4x+3 2-+} .2 解得：m=5±V7 当C'与点A重合时，则C是OP的中点， 由可之-+40 10,m.-m+4 解得： m1=4,m2=-2 答案第26页，共2页 A ,线段B'C与线段OA有公共点 :m的取值范围为：-2≤m≤5-万或4≤m≤5+厅 100-x- (24(3-1 1 (3③)16s1≤2 【分析】(1)待定系数法求解析式，即可求解： (2连接CE,过点F作 EF∥y, 轴交于点，根据四边形1EMC CD 是平行四边形，且面 积为3，得出EF=3,进而待定系数法求得直线AD的解析式，得出点C的坐标，设 得出EF的表达式，解方程，得出E点的坐标，进而根 据平行四边形的性质，求得点M的坐标： (3)过点F作FL⊥GH于点L,分别求得 0, H1,-2),依题意，P4,0,设 l,m其中-2sns0,根据已知得出∠GP0=∠FOL,则an∠GP0=an∠POL得出 GO_FL 7 pGQ,即十光n+上。，进而根据三次函妆的件质，即可求解 答案第27页，共2页 8+4b+c= 5 【详解】(1)解：由题意可得1 -b+c=0 2 b=-1 解得 3 =-2 .y-r-x-3 2 2· (2)连接C5,过点E作EF 轴交C 于点F B 四边形 是平行四边形，且面积为 AEMC 3 2EF(xex)=3 ∴.S△ACE .EF=3. 设直线1D的解析式为'=c+b(k≠0) [0=-k+b 1 k-2 解得： 1 b-2 六4D的解析式为：y=+{ =2x+2 aca) 答案第28页，共2页 .则-副 :.EF=Y6-Ye=-2 3 2+2t+2=3, 2 :4=1(舍)，4=2 :2到 :四边形1EMC是平行四边形， AC∥EM,AC=EM 又4-o.c.f》 小2t阳a- （3)解当=0时，分-} =-2 :H1,-2) 依题意， P(t,0) 如图，过点F作FL⊥GH于点L A 之QB 设21m川其中2≤n≤0， 答案第29页，共2页 POLFO PGLGH,FLLGH 、∠PG0=∠PQF=∠FLQ=90° ∠GPQ=90°-∠GQP=∠FQL tan∠GPO=tan∠FQL GO FL ..PG OL -n1 .1-tn+ 3 2 =++1=n+2 .327 + 416 又.-2≤n≤0 3 7 .当n=- 4时，策小= 16 当=2时，显大=2 ·,的取值范围是16 t≤2」 14 3 11.(0)y=x+4或y= 3 (2G-66j 【分析】()根据对称轴'：X=-2,可得b=40,再由抛物线C:y=r+a≠0)与 直线y=-2x-8有且只有一个公共点A,可得方程ax2+4ax=-2x-8有两个相等的实数根， 而得到Q=),进而得到抛物线的解折式为少)+2，再求出点4的坐标为-40 设点N的坐标为 -2,t ,根据轴对称的性质可得AM=AN，从而得到 答案第30页，共2页 4+2=(4+2'+1,进而得到点V的坐标为-2,4刊或-2,4)，即可求解： (2)过点F作MN⊥GE于点M,过点B作BN⊥MN于点N,则∠EMF=∠N=90°，设点 m,二m2+2m -m-4,m2+2m G的坐标为 可得点E的坐标为 2 求出直线OG的解析 式为m+2小 1 可设点F的坐标为2m+2 则点am+2m Nn,-2), 从而得到ME=-m-4-n,FM=二m2+2m 2 m+2n8N=-2-N=2m+2+2,证 明△EMF≌AFNB(AAS),可得FM=BN,ME=P ,可得到关于m,n的方程组，即可求 解。 【详解】(1)解：·抛物线C:y=ar+hx(a≠0) 的对称轴：x=-2 b .x=-2 =-2 .b=4a, :抛物线C:,=ar+a≠0)与直线y=-2x-8有且只有一个公共点A, ∴方程r+4ar=-2x-8 有两个相等的实数根， ax2+4a+2)x+8=0 整理得： 此时△=(4a+22-4ax8=0 1 解得：a=2, b=2, 旅物线的解析式为2x, 答案第31页，共2页 当，-0时，5+2r=0, 解得：=0,5=-4 二点A的坐标为40) 如图， 设点N的坐标为-2)， “点M(02 关于直线AP的对称点V恰好落在抛物线的对称轴'上， :AM=AN, :.4+2=(4+22+2 解得：t=±4， ∴点N的坐标为-2,4或-24)。 设直线”的解析式为'=c+6 -2+04+2） 当点N的坐标为-2,4)时，点(22，即-1,3)在直线P上， -k+b=3 [k=1 此时-4k+b=0,解得：b=4, 直线4P的解析式为 y=x+4 答案第32页，共2页 当点N的坐标为24时，同理直线p的解析式为y子x- 14 综上所述，直线4P的解析式为y=x+4或y=一3x一3： 2解：y+2x-+2-2, 点(-2-2) 如图，过点F作MN⊥GE于点M,过点B作BN⊥MN于点N,则∠EMF=∠N=9O°， B 1 m,m2+2m 设点G的坐标为 G关于1的对称点是E, ∴.点E的坐标为 -m-42m2+2m 设直线OC的解析式为'=x 把点mm+2m代入得：km+2m, 解得：斤=2m+2, ∴直线OG的解析式为 答案第33页，共2页 的坐标传+2以则好+2加.Nn-, mmFM+2m-2.-2-nF+2 .FB⊥FE, ∴.∠EFM+∠FEM=90°=∠EFM+∠BFN, ∴.∠FEM=∠BFN, FB=FE, :△EMF≌AFNB(AAS FM=BN ME=FN m-4-n=1m (2m+2n+2 2m+2n=-2-n m=-6 解得：n=-4, “点G-66) 12.()）少=--2r+3 92+9 (2)△PDE的周长最大值为4， (3)0<1≤4 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，二次函数的 图象与性质，线段最值问题等知识点， (1)由待定系数法求解即可： AC:y=x+3 (2)先求出直线 然后证明出△PDE为等腰直角三角形，PD=DE,则 答案第34页，共2页 D=DBDE,来么Ape的g长=PE+DG+Pp=N2PE.设PxT-2+动 2 329 则Exx+3),则PE=-2-2x+3-(x+3到=-2-3x=-x+ 2中4，那么当=、3】 2时， Pe有最大位子故当e取到最大位时，A阳E的用长最大值-5+小×：-行+9 PE △PDE 44-： (3)可得抛物线对称轴为直线=1，开口向下，顶点为-，4 ,然后分三种情况：①当 点山 在对称轴左侧时， x+1≤-1 ,即s-1-1 :②当点M,在对称轴右侧时，≥1： M,N ③当点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时，利用二次函数的图象与性质求解即可. 【详解】()解：：抛物线=-r+r+C与轴交于点1-3,0)，点8，与'轴交于点 C0,3) 将点4-3,0，C0,3到代入y=-++c, 「-9-3b+c=0 则c=3 [b=-2 解得c=3, 六抛物线表达式为”=-r-2x+3, AC:y=mx+n (2)解：设直线 [-3m+n=0 .将点A-3,0),C(0,3)代入得，n=3 m=1 解得n=3, 答案第35页，共2页 AC:y=x+3 直线 .OA=OC=3,∠AOC=90°， .△AOC为等腰直角三角形，∠AC0=45°， PE∥y轴， ∴.∠PED=∠ACO=45°， :PD⊥AC, ∴.△PDE为等腰直角三角形，PD=DE, PD-DE-PR 2 ∴△PDE的周长=PE+DE+PD=V2+1PE 设Px,-r-2x+3列，则E(xx+3列 Ee-23+=+. -1<0, 当x=-3 9 时，PE有最大值4， 当PE取到最大值4时.△P%的周长最大值-5+小*}5+9 9 44: (3)解：y=-x-2x+3=-(x+12+4 小抛物线对称轴为直线x=-1,开口向下，顶点为-14刊， M,N ①当点 在对称轴左侧时， ，即s-1-t x+t≤-1 答案第36页，共2页 M OB :m-n=-6+°-2(x++3-(-x2-2x+3到=-2-21-2x t>0x≤-1-t -2≥21+22 :m-m=-t2-21-2m2-2-2+21+2r2=r2 要使m-n≤4，则t2≤4，结合t>0, .t的取值范围是0<t≤2： M,N ②当点 x≥-1 在对称轴右侧时， A :m-n=(-x2-2x+3到--(x+)2-2(x+)+3=2+21+2, 1>0≥-1 :242-27 :.m-n=t2+21+2x22+21-21=2 要使m-n≤4，则t2≤4，结合t>0, ∴.t的取值范围是0<1≤2： 答案第37页，共2页 ③当点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时， O B 当x=-1时，y取得最大值为4，故m=4, ,m-n≤4， .n≥0， 令y=-r2-2x+3=0 解得x=-3或x=1 ÷抛物线与轴交点为A-3,0,B1,0,即n≥0时，-3≤x≤1， ·≤x≤+‘在3≤x≤1范围内，则1--3到=4， 结合t>0,故t的取值范围是0<t≤4， 综上所述：t的取值范围是0<t≤4. 13.0=++3 (2)3 -6+2V15-6+25 (3)3或3 【分析】（D把4-2,0，B6.0)的坐标代入y=+x+c(a≠0)，得到关于a、c的方 [4a-2+c=0 程组36a+6+c=0,进一步可得到抛物线的表达式： (2)利用待定系数法求出直线C的解新式为y=弓+3，设点p的横坐标为m,则点E 1 的横坐标为m,可以得到点p的纵坐标为4m+m+3,点E的纵坐标为m+3,根据点 答案第38页，共2页 、C的坐标求出△08C的周长为9+35，利用△PEF△6C0可得它们的相似比为 1 4m+2m 根据相似三角形的周长比等于相似比可得 3W5 可得m=3时，△PEF周长有最大值： :2 (3)求解抛物线的对称轴为直线 2×\4 分情况：如图，当，此时矩 0<n<2 形ew 与二次函数图象有三个交点，结合 MG=yM-yG= 求解，如图，当M与顶点重 合或在对称轴的右侧时，此时不符合题意，如图，当-1<n<0,此时矩形MQNG与二次 函数图象有三个交点，结合 MG=yG-yM =2 求解，当N与顶点重合或在顶点的左边时， 如图，可得-4<n≤-1时，不符合题意，当<-4时不符合题意，进一步总结即可. 【详解】（D解：抛物线'=ar++a≠0与轴交于4(-2,0)，86.0)两点， 「4a-2+c=0 36a+6+c=0, 1 a=- 4 解得： C=3 :.抛物线的解析式为y=一 (2)解：如图所示， 当时， x=0 y=-×02+0+3=3 答案第39页，共2页 点C的坐标为0,3列 BC y=kx+b 设直线的解析式为 把C0,3、B60代入， b=3 得到： 6k+b=0, 1 k=- 2 解得： b=3 1 :直线BC的解析式为y= +3 ·点P的横坐标为m,则点E的横坐标为m, 点E的坐标为m2m+3 1 m,- 点P的坐标为 :PE=- 1 4 m2+m+3 在△PEF中∠EPF+∠PEF=90°， 在△BDE中∠EBD+∠BED=90°， '∠PEF=∠BED, .∠EPF=∠EBD, 在△PEF和△BCO中，∠PFE=∠BOC=90°，∠EPF=∠EBD, ∴△PEFABCO, 0C=3,OB=6, BC=VOC2+0B2-V32+6=3V5 1 3 二m2+。m 的周长为 BC 3v5 △OBC 3+6+3V5=9+3√5 .Ltet.=PE + 1 4 L.BOC BC 35 答案第40页，共2页 C=L.eF =4 243 m2+3m 352×9+35, 2 5 m2+ 整理得：C=4 c-(=-m (-- -351 <0, 204 C=4 +2x9+3W5/ m2-6m有最大值，此时 3w5 m=3 (3)解：：点M,N在函数y=4+x+3的图象上，它们的横坐标分别为n,2n+4, ∴抛物线的对称轴为直线 2×-4 如图，当n<2且n>0, .0<n<2, G 此时矩形MQNG与二次函数图象有三个交点， MG=yu-yG=2 +n+3[2+4+2n*4+-2 .4 答案第41页，共2页 -6-215 解得： n=6+215 n= 3，（ 3 不符合题意)， 如图，当M与顶点重合或在对称轴的右侧时， A B ∴.n之2，此时不符合题意： 如图，当n<0且2n+4>2, .-1<n<0, B 此时矩形MQNG与二次函数图象有三个交点， MG=yG-yM =2 [2+4+2+43]-{+n+3-2 解得： n=-6+25 ,n=6-25 3， 3不符合题意)： 当V与顶点重合或在顶点的左边时，如图， 答案第42页，共2页 Q B 此时2n+4=2, ∴.n=-1, 当n>-4时，则2n+4>n, ∴.-4<n≤-1时，不符合题意： 当n<-4时，2n+4<n,不符合题意； 综上：〃6+26 =6+25 3或 3. 答案第43页，共2页