考点十 二次函数与几何压轴题 2026年中考数学二轮复习高频考点突破试卷

考点十 二次函数与几何压轴题—中考二轮复习高频考点突破 1．（2025•盐城一模）如图，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣2，2），连接OB、AB， （1）求该抛物线的解析式． （2）求证：△OAB是等腰直角三角形． （3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标 （4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，请说明理由． 2．（2025•龙马潭区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积． 3．（2025•灌南县一模）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知：A（﹣1，0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式； （2）求△AOC和△BOC的面积的比； （3）在对称轴是否存在一个点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由． 4．（2025•市北区校级一模）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同）（图②是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如果炒菜锅时的水位高度是1dm，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 5．（2025•肇东市一模）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标． 6．（2025•惠州模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值，请说明理由； （3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求面积的最大值； (3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标； (3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值； (3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标； (3)如图，过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 13．如图，二次函数的图像与轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． (3)连接，M是抛物线上的一点，且满足，求点M的坐标． 14．如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与x轴交于点．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就得到的图象，直线与的图象交于O、B、C三点． (1)求a、b的值； (2)新定义：点与点的“折线距离”为．已知． ①求k的值； ②以点B为圆心、长为半径的交的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点O），求的值． 15．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； (3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记，则称是直线l与抛物线C的“截积”． 【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为． (1)若抛物线C的函数表达式为，分别求出点M，N的坐标及的值； (2)在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (3)设抛物线C的函数表达式为，若，，且点P在点Q的下方，求a的值． 17．如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点． (1)求点，的坐标； (2)随着点在线段上运动． ①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 18．如图1，抛物线经过，两点，作垂直x轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上一点，满足，求点的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线，与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线所对应的函数表达式为    (1)请直接写出点P的坐标． (2)若为直角三角形，设直线与这个二次函数的图象的另一个交点为Q． ①求a、c的值与点Q的坐标； ②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围． 参考答案 1．（1）解：由A（﹣4，0），5）在抛物线y＝ax2+bx图象上， 得：（2分） 解之得：a＝﹣，b＝﹣2， ∴该函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x．（5分） （2）证明：过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C ∵y＝﹣x6﹣2x＝﹣（x+2）2+7， ∴线段CO、CA， ∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形， ∴AB＝OB 且∠ABO＝∠ABC+∠OBC＝90° ∴△OAB是等腰直角三角形（8分） （3）解：如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135° 其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴． 又∵OB′和A′B′的长度为2， A′B′中点P的坐标为（，﹣2）， ∴点P不在此抛物线上（10分） （4）解：存在（11分） 过点O，作OM∥AB交抛物线于点M 易求出直线OM的解析式为：y＝x 联立抛物线解析式得： 解之得点M（﹣6，﹣7）， 显然，点M（﹣6，﹣6）也满足要求， 故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（﹣4，﹣6） ∴sABOM＝S△ABO+s△AOM＝×4×2+．（12分） （注：此题方法较多，只要合理均可给分） 2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（﹣8，0），0）， ， 解得，b＝﹣7． 所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（﹣1，）． （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M， 因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B， 连接BD交于EF于一点，则这一点为所求点H， 即最小为：DH+CH＝DH+HB＝BD＝； 而； ∴△CDH的周长最小值为CD+DH+CH＝； 设直线BD的解析式为y＝k1x+b6，则 解得：； 所以直线BD的解析式为y＝x+3； 由于BC＝2，CE＝，Rt△CEG∽Rt△COB， 得CE：CO＝CG：CB， 所以CG＝2.5，GO＝3.5，1.5）； 同理可求得直线EF的解析式为y＝x+； 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）； （3）设K（t，），﹣6＜t＜2； 则KN＝yK﹣yN＝﹣（）＝﹣； 所以S△EFK＝S△KFN+S△KNE＝KN（t+3）+2﹣3t+3＝﹣（t+）4+； 即当t＝﹣时，△EFK的面积最大，此时K（﹣，）． 3．解：（1）∵A，B两点关于x＝1对称， ∴B点坐标为（3，5）， 根据题意得：， 解得a＝2，b＝﹣2． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣3． （2）△AOC和△BOC的面积分别为S△AOC＝|OA|•|OC|，S△BOC＝|OB|•|OC|， 而|OA|＝3，|OB|＝3， ∴S△AOC：S△BOC＝|OA|：|OB|＝1：3． （3）存在一个点P．C点关于x＝1对称点坐标C'为（2， 令直线AC'的解析式为y＝kx+b ∴， ∴k＝﹣5，b＝﹣1． 当x＝1时，y＝﹣2， ∴P点坐标为（1，﹣2）． 4．解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣6，0），0）； 抛物线C2还经过D（0，﹣3）， 则有：﹣2＝a（0﹣3）（7+3），解得：a＝ 即：抛物线C1：y＝x2﹣3（﹣8≤x≤3）； 抛物线C2还经过C（2，1）， 则有：1＝a（4﹣3）（0+5），解得：a＝﹣ 即：抛物线C8：y＝﹣x7+1（﹣3≤x≤8）． （2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝﹣2，即x2﹣5＝﹣2， 解得：x＝±， ∴此时水面的直径为3dm． （3）锅盖能正常盖上，理由如下： 当x＝时，抛物线C1：y＝×（）3﹣3＝﹣，抛物线C2：y＝﹣×（）4+1＝， 而﹣（﹣， ∴锅盖能正常盖上． 5．解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣3，﹣5）， 当y＝0时，x﹣3＝0，则B（5， 把B（7，0），﹣5）代入y＝ax5+6x+c得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x4+6x﹣5； （2）①解方程﹣x6+6x﹣5＝3得x1＝1，x8＝5，则A（1， ∵B（6，0），﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵AM⊥BC， ∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM＝AB＝， ∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC， 作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1， ∴PD＝PQ＝＝4， 设P（m，﹣m7+6m﹣5），则D（m， 当P点在直线BC上方时， PD＝﹣m6+6m﹣5﹣（m﹣6）＝﹣m2+5m＝6，解得m1＝1（舍去），m7＝4， 当P点在直线BC下方时， PD＝m﹣5﹣（﹣m4+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m8＝，m7＝， 综上所述，P点的横坐标为3或或； ②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H1，交AC于E，如图7， ∵M1A＝M1C， ∴∠ACM2＝∠CAM1， ∴∠AM1B＝3∠ACB， ∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH＝BH＝NH＝2， ∴N（3，﹣6）， 易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，﹣）， 设直线EM1的解析式为y＝﹣x+b， 把E（，﹣）代入得﹣，解得b＝﹣， ∴直线EM7的解析式为y＝﹣x﹣， 解方程组得，则M1（，﹣）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图7，则∠AM2C＝∠AM1B＝6∠ACB， 设M2（x，x﹣5）， ∵3＝， ∴x＝， ∴M2（，﹣）， 综上所述，点M的坐标为（，﹣，﹣）． 6．解：（1）把A（﹣4，0），5），2）代入y＝ax2+bx+c得，， ∴， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2， 对称轴为：直线x＝﹣； （2）存在， 1）当点E位于AC边时， ∵AD＝5t， ∴DF＝AD＝2t， ∴OF＝|4﹣8t|， ∴D（2t﹣4，2）， ∵直线AC的解析式为：y＝x+4， ∴E（2t﹣4，t）， ∵△EFC为直角三角形， ①当∠EFC＝90°，则△DEF∽△OFC， ∴，即＝， 解得：t＝， ②当∠FEC＝90°， ∴∠AEF＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE＝AF， ∴t＝0，（舍去）， ③当∠ACF＝90°， 则AC3+CF2＝AF2，即（32+24）+[22+（3t﹣4）2]＝（8t）2， 解得：t＝， 2）当点E位于BC边时，直角△EFC不存在， 综上，存在某一时刻t，此时或； （3）∵B（8，0），2）， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+2， 当D在y轴的左侧时，S＝（t+2）•（4﹣2t）＝﹣t2+4 （0＜t＜5）， 当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD＝2t﹣8，DE＝﹣4t+10， S＝（DE+OC）•OD＝6+20t﹣24 （2＜t＜）． 鸿鹄志 鸿鹄志 7．(1) (2)1 (3) （1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点D作轴，交于E， 设，则， ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， ∴点F的横坐标的最大值为． 8．(1) (2)当时，面积有最大值，为 (3)、或 （1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得，解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示： ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示： ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； （3）解：由（1）知，当时，，解得或， ， 当在上方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或（舍去）； 当在下方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或． 9．（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或 解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得 ，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）令x=0，则y=2，即C（0，2）， ∵，，AB2=25， ∴， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°， ∴∠ACO=∠CBA， 在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图， 则CE=OE=2， ∴∠OCE=45°， ∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ， ∴CE∥PQ， ∵C（0，2），E（2，0）， ∴直线CE的解析式为y=-x+2， 设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1， ∴直线PQ的解析式为y=-x-1， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（6，-7）； （3）设直线AP交y轴于点G，如图， ∵PH∥y轴， ∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF， ∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形， ∵C（0，2），B（4，0）， ∴直线BC的解析式为， 设G（0，m），∵A（-1，0）， ∴直线AF的解析式为y=mx+m， 解方程组，得， ∴点F的坐标是， ∴， 当CG=CF时，，解得：（舍去负值）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，）， ∴PH=2-=1.5； 当GF=GC时，，解得或m=2（舍去）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 综上，PH=或1.5或． 10．(1) (2) (3)存在，的横坐标为或或或 （1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ∵抛物线的解析式为，， 当时，得， ∴， ∴轴，即轴， 过点作于点，过点作轴于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，轴， ∴， 在中，， ， ∴ ， ∴当时，的最小值为； （3）∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则 ， ， ∵、、、构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，，（舍去），（舍去）， 此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 11．(1) (2) (3) （1）解：∵抛物线的顶点为，且经过点， ∴ 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴； （3）解：设， 设直线的解析式为：， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 设， 由，得，即：， ∴， ∴ = ∵线段的中点是， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即时，是定值， ∴． 12．(1) (2) (3)或 （1）解：∵点A的坐标为，且，C为抛物线与y轴的交点， ∴，则， 将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P作于H，过B作于， ∵，， ∴，则， ∴，当B、P、H共线且时取等号，此时H与重合，最小值为的长， 令得，，则， ∴， 在中，，，， ∴， 即的最小值为； （3）解：在上截取，连接， 则， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴， ∴， 设， 当点M在x轴的上方时，如图，过M作轴于点N， 则，， 由得， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当点M在x轴的下方时，如图，过M作轴于点N， 则，， 由得， 解得或， ∴， ∴， 综上，满足条件的点M的坐标为或． 13．(1) (2)或 (3)或或 （1）解：把代入，得：， ． 把代入得：， ，                         将、代入得：， 解得，． 抛物线的解析式为； （2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G， 抛物线的解析式为，令，得， 解得：或， ， 设点，则， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 得， ∴， 解得， ∴点D坐标为或时，； （3）解：存在，理由： 由题意得，点， 由点A、B、C、D的坐标得，，， ， ， 在中，则，， 当点P在y轴时， ∵以A、C、P为顶点的三角形与相似， 当时， 则， 则， ， ， 则点； 当时， 此时，点P、O重合， ， ， ， 故点； 当点在x轴上时， 只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似， 则， 则点， 综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似． 14．(1) (2)为定值，证明见解析 (3)或 （1）解：如图，由题意得： 解得：或 而抛物线的对称轴为： 代入一次函数解析式，此时 抛物线的顶点 （2）解：如图，抛物线的顶点P平移到，而 设为： 则 所以 所以为： 由在上，设 平移后的抛物线为： 则 设 则两点坐标为：的解， 整理方程组得： 又 为定值. （3）解： ，， 如图，由点P在点Q的下方，则 由抛物线可得： 过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为： 由（2）同理可得： 即 平移后的抛物线的顶点为 解析式为： 整理得： 解得：或 15．(1)，； (2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为 （1）解：∵， ∴顶点为， 令，， 解得或， ∴； （2）解：①的大小不变，理由如下： 在上取点，使得，连接，    ∵， ∴抛物线对称轴为，即， ∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，，， ∴，   ∴是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，即的大小不变； ②设，则， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴当时，有最大值为． 16．(1) (2)， (3)是定值，该定值为，理由见解析 （1）解：抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）①当点D在直线的上方时，如下图所示： ∵， ∴轴， ∵点A与点B对应函数值都是3，即轴， ∴此时点A与点D重合，即； ②当点D在直线的下方时，设与x轴交于点M，如下图所示： ∵， ∴， ∵垂直x轴于点C，， ∴，，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 设直线的解析式是：， 将点B、M代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是： 将直线的解析式与抛物线解析式联立得：， 解得：，或(舍去)， ∴； 综上所述：点D的坐标是：，； （3）是定值，该定值为，理由如下． 令， 解得，即抛物线与x轴的交点是：和， 设点P的坐标是，则， 设直线的解析式是：， 将点A、P代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是：， 令， 解得：，即， ∴， 设直线的解析式是：， 将点B、P代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是：， 令， 解得：，即， ∴，， ∴． ∴是定值，该定值为． 17．(1) (2)①，；②或 （1）解：抛物线的对称轴为直线， ∴点P的横坐标为， ∵直线的表达式为， 当时，， ； （2）①由抛物线的对称性可知，， ∴是等腰直角三角形，    设抛物线的对称轴与x轴交于点E，则轴， ， ,, 把代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得或， 当时，， ； ②由题意可知，， 当为直角三角形时，分三种情况： 当为直角时，，即，解得； 当为直角时，，即解得； 当为直角时，，即，解得或， ∴当为锐角三角形时，t的取值范围为或． 18．(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）； (2) (3) （1）当时，． 解方程，得，． ∵点A在点B的左侧，且， ∴，． 当时，． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）方法一：如图1，连接AE． ∵， ∴，． ∴，，． ∵点A，点B关于对称轴对称， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴解方程，得． 方法二：如图2，过点D作交BC于点H． 由方法一，得，． ∴． ∵， ∴， ． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． ∵， ∴解方程，得． （3）． 设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． ∵， ∴． ， ， ∴． 解得， 又， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $