精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三下期04月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据Venn图结合交、并、补集的定义可得. 【详解】如图，因为，且，所以． 故选:B． 2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ） A. 11 B. 13 C. 63 D. 78 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程为一定过点，先求出，代入回归方程即可得出，进而可得的值. 【详解】依题意， 因为，所以， 因为线性回归方程为一定过点， 所以， 所以. 故选：D. 3. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知结合同角的三角函数关系化简求得，再由同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】因为， ，且，则或， 由，得， 即，解得， 则，则， 又，，故， 解得， 故选：A 5. 近年来，电动自行车以其快捷、轻便、经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放，私拉电线充电，占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A，B，C三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分组分配法求出分配方案数后，由古典概型概率公式计算出概率． 【详解】由题意知，每个人都有去三个小区的可能性，即总共有种情况， 三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员， 第一类，两个小区分别为3人、1人，总共有种情况； 第二类，两个小区分别为2人、2人，总共有种情况； 所以三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为. 故选：D 6. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量， ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C 7. 设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的定点，得出点的轨迹方程，设，根据直线与圆的位置关系进行求解. 【详解】解：直线过定点， 因为M是弦的中点， 所以， 故的轨迹方程为：， 设，即 即是直线与圆的公共点， 由直线与圆的位置关系可得，，解得， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以， 点A在双曲线上， ， 又， ，， 点B在双曲线上， ， ， ， 设内切圆圆心为I，连接，如图所示， ， ， 即， 为等边三角形，， 在由余弦定理得：， 即：， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，，所以，故D错误. 故选：AC 10. 抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（    ） A. 抛物线的方程为： B. 抛物线的准线方程为： C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D. 以M为中点的弦的直线方程为： 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，根据点差法求解直线的斜率，即可由点斜式求解直线方程. 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切,故C正确； 对于D：设M(2，2)是的中点, ，相减可得， 由于，故,又直线经过点,故直线方程为，则D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可求得函数的图象关于对称，的图象关于点成中心对称，即可判断AB；又可知，所以，即可；经计算可知，又，，即可得是等差数列，由前项和公式即可判断D. 【详解】根据题意为偶函数可得， 即可知，所以函数的图象关于对称，即A正确； 由是偶函数可得为奇函数， 所以满足，即， 因此的图象关于点成中心对称，所以B错误； 由可知，所以； 即，所以的图象关于点成中心对称， 因此，故C正确； 易知，， 由可得， 联立可得， 所以， 即，， 所以是以为首项，公差的等差数列， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 13. 已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，从而得到，令，再利用的图象与性质，即可求出结果. 【详解】因为函数的一条对称轴为， 所以，得到，又，所以， 所以， 又当时，的最小值为， 令，则， 由的图象与性质知，，得到， 故答案为：. 14. 直三棱柱中，，，，分别是棱，上一点，且，若三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】作出图形后结合题意可得三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心所处位置及半径的值，结合球外切的性质计算即可得的长. 【详解】如图所示，取、中点、，连接， 由题意可得平面且平面， ，， 在线段上取， 由，故， 故点、分别是与外接圆圆心， 又，平面、平面， 故点到三棱锥四个顶点距离相等， 点到三棱锥四个顶点距离相等， 即点、分别为三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心， 则三棱锥的外接球半径为， 三棱锥的外接球半径为， 由三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切， 故. 故答案为：4. 【点睛】关键点睛：本题关键在于作出对应图形后结合题意找到球心及半径，结合球外切的性质从而得解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 16. 已知函数． （1）求函数的极值点； （2）记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 【答案】（1） （2） 由（1）可知：，而， 所以切线的方程为， 由，或， 当时，，此时，与有公共点， 当时，设， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 即，当且仅当时取等号， 所以由，即，此时与有公共点， 综上所述：与有唯一公共点. 【解析】 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可. 【小问1详解】 ， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数的极值点为； 【小问2详解】 略. 17. 如图，在四面体中，，平面平面， （1）证明： （2）若二面角的余弦值为，求． 【答案】（1） 因为平面平面，， 平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，平面，从而． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，进而得到平面，可得； （2）建立空间直角坐标系，设出，利用向量法求出平面与平面的法向量，代入公式运算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点P作交于D， 因为平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面， 因为，， 所以， 可得， ∴，， 因为，所以，，两两垂直， 以点D为坐标原点，，，的方向分别为x、y、z轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则， 易知平面的一个法向量为， 由， 解得，所以． 18. 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2． （1）求双曲线的标准方程； （2）点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中． （ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？ （ⅱ）证明：不可能是的三等分线． 【答案】（1） （2）（ⅰ），成立； （ⅱ）证明：由（ⅰ）知， 因为, 所以，故不可能是的三等分线． 【解析】 【分析】（1）结合题意可得，解出，写出双曲线方程即可. （2）（ⅰ）根据题意，得到，求得直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得点的坐标，列出不等式关系式，求得的范围，再由（ⅰ），求得直线的斜率并化简，得到，即，（ⅱ）求得的范围，进而证得不可能是的三等分线. 【小问1详解】 因为双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2， 所以，解得， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）因为点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得， 所以，所以， 可得直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为直线与双曲线有两个交点，并设, 所以，由韦达定理得，解得， 则，所以成立， 此时只需，解得，则的取值范围为， 易知 ， 所以，即， （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【答案】（1） （2）① 1 2 … … ； ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差． I．：当时，有 即． II． 当n足够大时，有 当时， 当时， 故． 综上所述，可以认为． 【解析】 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时， 且，则可认为方差． 【小问1详解】 对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点 【小问2详解】 ①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即． ②略 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ） A. 11 B. 13 C. 63 D. 78 3. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，电动自行车以其快捷、轻便、经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放，私拉电线充电，占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A，B，C三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 7. 设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（    ） A. 抛物线的方程为： B. 抛物线的准线方程为： C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D. 以M为中点的弦的直线方程为： 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量的夹角为，则__________. 13. 已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 14. 直三棱柱中，，，，分别是棱，上一点，且，若三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，则的长为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 16. 已知函数． （1）求函数的极值点； （2）记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 17. 如图，在四面体中，，平面平面， （1）证明： （2）若二面角的余弦值为，求． 18. 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2． （1）求双曲线的标准方程； （2）点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中． （ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？ （ⅱ）证明：不可能是的三等分线． 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $