精品解析：宁夏吴忠市秦宁中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

秦宁中学2025-2026学年第二学期高二期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则等于 A. B. C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 4. 曲线在点处切线为，则 等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 5. 某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 18 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在内有极小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（ ） A. 2060 B. 2038 C. 4084 D. 4108 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法 10. 关于的二项展开式，下列说法正确的有（ ） A. 展开式各项系数的和为 B. 展开式中奇数项的二项式系数和为 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为 11. 已知等比数列是递增数列，是数列的前项和，公比为，若，，则下列说法正确的是（　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 12. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 13. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合二为一”，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下5个环所需的最少移动次数为______. 14. 已知函数，若，则的零点个数为________；若有两个不同的零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）求△ABC的面积的最大值. 16. 两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；② ：③ （）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，若不过坐标原点且不平行于坐标轴． （1）求椭圆的方程； （2）记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦宁中学2025-2026学年第二学期高二期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前和公式联立方程组求解即可得出答案. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得. 故选:B. 【点睛】本题着重考查了等差数列通项公式和前和公式的运算应用,属于基础题. 2. 已知，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 【详解】由题意，根据条件概率的计算公式， 由已知， 则， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 已知数列满足，则（ ） A. 11 B. 23 C. 35 D. 47 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4. 曲线在点处切线为，则 等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数的定义结合导数的几何意义，即可得出答案. 【详解】由题意可得 而 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及导数的定义，属于基础题. 5. 某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，先计算A组是第一个演讲的方法数即得解 【详解】由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有种情况 其中A组是第一个演讲的方法数为 故A组不是第一个演讲的方法数为 故选：D 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 7. 函数在内有极小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．a=0时，3x2-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0时，3x2-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜． 考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法． 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（ ） A. 2060 B. 2038 C. 4084 D. 4108 【答案】C 【解析】 【分析】将所求数列之和，转化为杨辉三角每一行对应数之和，再结合杨辉三角每一行的和为，即可求得结果. 【详解】去除所有为1的项后，剩下的每一行的个数为， 对应个数构成一个首项为1公差为1的等差数列， 则前行数字个数之和为，当时，， 故该数列前56项和表示：杨辉三角中前12行数字之和，减去所有23个1， 再加上杨辉三角中第13行第二个数字12即可， 故所求数列的前项和为：. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查分步计数原理，其中C选项是部分平均分组再分配，列出式子即可. 【详解】4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每个同学都有3种情况，共有种，所以A错误； 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，每个冠军有4种情况，则这三个项目的冠军共有种，所以B正确； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，可以1,1,2部分平均分组再分配，种，所以C错误； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，跑步项目有4种，跳高由3种，跳远有2种，根据分步乘法原理，可得一共种，所以D正确. 故选：BD 10. 关于的二项展开式，下列说法正确的有（ ） A. 展开式各项系数的和为 B. 展开式中奇数项的二项式系数和为 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法，求系数和，利用二项式系数和公式判断选项，以及利用通项公式判断选项. 【详解】A.当时，，所以展开式各项系数的和为，故A正确； B.展开式的奇数项的二项式系数和为，故B正确； C.，当时，不是整数，所以不存在常数项，故C不正确； D.令，得，此时展开式中含项的系数是，故D正确. 故选：ABD 11. 已知等比数列是递增数列，是数列的前项和，公比为，若，，则下列说法正确的是（　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据条件求解出的值，然后根据的单调性求解出的通项公式，由此可判断AD；根据条件计算出，则BC可判断. 【详解】因为是等比数列，所以， 又因为，所以或， 又因为数列是递增数列，所以， 所以，则，所以， 所以，所以是等差数列，但公差不是，所以A正确，D错误； 因为，所以，所以， 所以且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以B正确； 由得，所以C正确. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 12. 函数在点处的切线斜率为4，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】求导，令导数等于4求解可得. 【详解】易知，根据题意有，解得. 故答案为：1 13. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合二为一”，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下5个环所需的最少移动次数为______. 【答案】16 【解析】 【分析】根据递推关系可以得到奇数项的递推关系式，判断奇数项为等比数列，写出奇数项构成的数列的通项公式，由此可得的值，即为所求. 【详解】由已知可得，当时，, 所以是以为首项，以为公比的等比数列， ∴, ∴, 故答案为：16 14. 已知函数，若，则的零点个数为________；若有两个不同的零点，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①当时，写出函数解析式直接求导可知函数有一个最大值为，所以此时的零点个数为；②对函数直接求导，对参数范围进行分类讨论，根据有两个不同的零点列出不等式求解即可. 【详解】①当时，定义域，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.所以当时，，所以当时零点个数为. ②定义域，，当时，，单调递增不会出现两个零点；当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减.所以当时，，若有两个不同的零点，则，解得. 故答案为:; 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）求△ABC的面积的最大值. 【答案】（1）（2）最大值. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求解面积的最大值，得到答案. 【详解】在的内角A，B，C的对边分别为且， 且． 整理得， 利用正弦定理得， 又由余弦定理，得， 由于，解得：． 由于，所以， 整理得：， 所以． 当且仅当时，的面积有最大值. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16. 两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；② ：③ （）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 注：请考生从给出的条件①、②、③中任选一个作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选条件对应的题号涂黑，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选①或③，, （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，利用退位相减法可求，若选③，则可直接求出，又利用基本量法可求； （2）利用分组求和法可求. 【小问1详解】 因为，，故公比即，故. 若选①，因为，故对也成立， 故，此时数列唯一确定，符合； 若选② ，则，而，此时数列不能唯一确定，舍； 若选③ ，则，故为等差数列且公差为2， 故，此时数列唯一确定，符合； 故选条件①或③，此时，数列唯一确定. 【小问2详解】 , 故. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，若不过坐标原点且不平行于坐标轴． （1）求椭圆的方程； （2）记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图所示： 设直线：， 联立，消去得， 所以， 由韦达定理有， 从而， 所以线段的中点的坐标为，即， 从而直线的斜率与的斜率的乘积为， 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标、离心率首先确定的值，即可以先得到的值，利用平方关系即可求出的值，从而得解. （2）画出图形，若要证明直线的斜率与的斜率的乘积为定值，只需证明为定值，设直线方程为，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得证. （3）由题意先根据得到，进一步利用弦长公式、点到直线的距离公式得到面积的表达式，从而利用函数的观点即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆的左右焦点分别为、， 所以， 又因为， 所以， 从而椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知， 其中， 又直线：上有点， 所以 ， 若，则有，即， 所以，此时， 如图所示： 原点到的距离为， 而 ， 所以面积的表达式为 ， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以面积的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【小问1详解】 若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为AD中点， 为等边三角形，如图2中O为BE的中点，则. 又平面平面BCDE，且平面平面，面， 所以平面BCDE，平面BCDE，所以. （2）； （3）存在，，理由如下： 如图2，假设在侧棱上存在点P，使得平面. 设，， ， . 易知四边形BCDE为菱形，且，而，则， 由（1）知，，且都在面内，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由，得. 所以侧棱上存在点P，使得平面，且. 【解析】 【分析】（1）根据已知易得，再由面面垂直的性质证平面BCDE，最后应用线面垂直的性质证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角即可； （3）设，，进而得到，证明平面得该面的法向量，通过的坐标表示列方程求参数，判断存在性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，连结OC，由已知得，又O为BE的中点，则. 由（1）知平面BCDE，面BCDE，则，， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2） ，易知. ，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，由， 得，即，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $