2026年河南开封市三校第二次模拟预测数学试题

**基本信息** 以人口数据、午餐配送、光合作用等真实情境为载体，通过割圆八线图渗透文化传承，融入新定义运算、对垂四边形等创新题型，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、科学记数法、概率等|结合2023年出生人口数据考查科学记数法，光合作用图像分析体现模型观念| |填空题|5/15|二次根式、中位数、规律探究等|割圆八线图结合扇形面积计算，渗透文化传承| |解答题|8/75|统计分析、函数几何综合、测量实践等|午餐配送满意度对比培养数据意识，测量旗杆问题串联相似三角形与跨学科实践|

2026年第二次模拟预测数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作 (　　) A.+60元 B.+40元 C.-40元 D.-60元 2.如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是(        ) A. 圆锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 长方体 3.2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目.2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（　　） A．902×104 B．90.2×105 C．9.02×106 D．0.902×107 4.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝52°，则∠BOE的度数为(　　) A. 128° B. 116° C. 118° D. 124° 5.定义运算：  ，例如：  ，则方程  的根的情况为（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6.如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以OA为半径的扇形AOB经过平移到达扇形A′O′B′的位置，那么图中阴影部分的面积是（      ） A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 7.计算 － 的结果等于(　　) A.3 B.x C. D. 8.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数字都是正数的概率为(　　) A. B. C. D. 9.如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线．若  ，则菱形ABCD的面积为（          ）　 A.6 B.8 C.16 D.2 10.光合作用，通常是指绿色植物(包括藻类)吸收光能，把二氧化碳和水合成富能有机物，同时释放氧气的过程．小明通过实验探究了15℃和25℃环境下大豆苗光合作用氧气释放速度v(毫克/小时)与光照强度L(千勒克斯)之间的关系，并绘制了氧气释放速度v(毫克/小时)与光照强度L(千勒克斯)之间的关系图象(如图所示)，下列说法正确的是(　　) A. 光照强度越大，大豆苗释放氧气的速度越快 B. 当L＝4时，两种温度环境下的大豆苗氧气释放速度相同 C. 当L＝8时，25℃环境下的大豆苗比15℃环境下的大豆苗3小时多释放30毫克氧气 D. 当4＜L≤10时，25℃环境下的大豆苗的氧气释放速度比15℃环境下的快 二、填空题（每题3分，共15分） 11.二次根式  在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值            ． 12.在体育考试中，某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是______． 13.按一定规律排列的代数式：5x，10x2，15x3，20x4，25x5，…，则第n个代数式是______． 14.图①是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，  ，AC⊥AO，OC交 于点D，过点D作DE⊥OB，若CD=OD=2，则图②中阴影部分的面积是______. 15.定义：在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在对垂四边形ABCD中，已知∠ABC＝∠ADB＝90°，∠A＝30°， ，点E为边AB上一动点，连接DE，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF＝3，则CD的长为______． 三、解答题（8题，共75分） 16.（10分）（1）计算： ; （2）化简： ．  17.（9分）中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程．某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送．学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）．学生会随机抽取了10位学生的评价分数： 学生A 学生B 学生C 学生D 学生E 学生F 学生G 学生H 学生I 学生J 甲公司 7 6 7 6 9 7 9 8 10 9 乙公司 6 5 8 7 8 8 8 9 8 10 学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司7.8分；乙公司7.7分． （1）为了能够更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差等中的哪些统计量？请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析； （2）你认为用餐学生对哪家公司的饭菜质量更加满意，为什么？ 18.（9分）如图，点A是反比例函数y＝ 的图象上一点，B是直线OA延长线上的一点，且OA∶AB＝1∶2，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝ 的图象于点C，连接OC，若S△OBC＝4. (1)求反比例函数的解析式； (2)P是线段AB的中点，将△OBC沿x轴向左平移 个单位长度后，点P恰好落在反比例函数y＝ 的图象上，求平移前点P的坐标． 19.（9分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AC上，将点E绕点A逆时针旋转60°得到点F． (1)在图中求作点F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)连接OF，连接EF交DC于点G，当G是DC的中点时，求tan∠OFE的值． 20.（9分）为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地5m2，每套B种器材需占地4m2，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元． （1）A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？ （2）阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？ 21.（9分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线CN∥AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．   说明：小陈同学AB，旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB＝1.6m． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE＝2.5m．   素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ＝3m，测得BQ＝3.5m，QD＝14m．   问题解决 任务1：分析测量原理 利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由． 任务2：完善测量数据 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆CD的高度． 任务3：推理计算高度 利用素材3求出旗杆CD的高度． 22.（10分）已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c(b，c为常数)． (1)当b＝4，c＝﹣1时，求抛物线的顶点M的坐标； (2)若抛物线的顶点M的坐标为(m，m)，当c的值最大时，求抛物线的解析式； (3)当c＝2b＋3时，若在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值的最大值为24，求此时b和c的值． 23.（10分）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图①，将两块全等的直角三角形纸片  和  叠放在一起，其中  E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分(△DCG)的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵ D是AB的中点， ∴DC＝DB＝DA． ∴∠B＝∠DCB．(依据：____________) 又∵△ABC≌△FDE， ∴∠FDE＝∠B． ∴∠FDE＝∠DCB． ∴____________ ∴ ∴DG⊥AC． 又∵DC＝DA， ∴G是AC的中点， ∴DG为△ACD中位线． ∴ ∴ （2）“希望”学习小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使  交AC于点H，DF交AC于点G，如图②，请解决下列两个问题： ①求证：△AHD∽△ABC； ②求出重叠部分(△DGH)的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图③，将  绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，当△DMN是以DM为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分(△DMN)的面积是______． 答案 一、选择题 1.C　 分析：“正”和“负”相对，所以，如果收入100元记作+100元，那么支出40元应记作-40元. 2.B 3.C 分析：9020000＝9.02×106． 4.B　 分析：∵直线AB，CD相交于点O，∴∠BOD＝∠1＝52°.∵∠1＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°－52°＝128°.∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝ ∠AOD＝64°，∴∠BOE＝∠DOE＋∠BOD＝116°. 5.A 分析：方程  化为  ，∵  ，∴方程有两个不相等的实数根． 6.B 分析：如答案图，连接AB和A′B′，则S阴影＝S平行四边形ABB′A′＝2×3＝6． 答案图 7.A 8.C 分析：列表如下： 　　　第一次 第二次　　　 －1 0 1 2 －1 (－1，－1) (0，－1) (1，－1) (2，－1)  0 (－1，0) (0，0) (1，0) (2，0) 1 (－1，1) (0，1) (1，1) (2，1) 2 (－1，2) (0，2) (1，2) (2，2) 共有16种不同的组合方式，记录的两次数字都是正数的情况有4种，因此记录的两个数字都是正数的概率是 ＝ . 9.A 10.C 分析：A.当L＞8时，15℃环境下大豆苗释放氧气的速度不变，故A选项错误，不符合题意；B.由题图知，当L＝4时，15℃环境下大豆苗释放氧气的速度大于25℃环境下大豆苗释放氧气的速度，故B选项错误，不符合题意；C.由题图知，当L＝8时，25℃环境下的大豆苗1小时释放氧气50毫克，15℃环境下的大豆苗1小时释放氧气40毫克，∴25℃环境下的大豆苗比15℃环境下的大豆苗3小时多释放的氧气量为50×3－40×3＝30毫克，故C选项正确，符合题意；当4＜L＜5时，25℃环境下的大豆苗的氧气释放速度比15℃环境下的慢，当L＝5时，两种温度环境下的大豆苗的氧气释放速度相同，当5＜L≤10时，25℃环境下的大豆苗的氧气释放速度比15℃环境下的快，故D选项错误，不符合题意． 二、填空题 11.5（答案不唯一） 分析：由题可知，2x－8≥0，解得x≥4，∴满足条件的x的值可以是5（答案不唯一）． 12.26 分析：把这组数据按照从小到大的顺序排列为24，24，26，26，26，30，最中间两个数的平均数是(26＋26)÷2＝26，∴中位数是26． 13. 分析：∵第1个单项式是5x＝（1×5）x1，第2个单项式是10x2＝（2×5）x2，第3个单项式是15x3＝（3×5）x3，…，∴第n个单项式是5nxn． 14. 分析：∵AC⊥AO， OD=2，OD=OA，∴ ，∵ ，在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OD=2，∴DE=1，OE= S阴影=S△CAO－S扇形ODA+S扇形OBD－S△OED= － π － 1 = . 15. 或 分析：∵∠ADB＝90°，∠A＝30°，AD＝4  ，∴∠ABD＝60°，BD＝ ＝4，AB＝AD·cos30°＝8，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠90°－∠ABD＝∠A＝30°.由折叠性质可知△CDE≌△CFE，∴CD＝CF，∠CDE＝∠CFE＝90°.如答案图①，连接DF，作△CBE的外接圆，当F在线段AB上方时，∵∠CDE+∠CBE＝180°，∴C，B，E，D四点共圆，∵∠CFE＝∠CBE＝90°，∴C，F，B，E四点共圆，∴C，F，B，E，D五点共圆，∵ ，∴∠CFD＝∠CBD＝∠FBC＝∠FDC＝30°，∴∠FCD＝120°，∴∠FBD＝60°.如简化答案图②，过点D作DK⊥BF于点K，在Rt△DBK中，∠DBK＝60°，∴BK＝BD·cos60°＝2，DK＝BD•sin60°＝2  ，∴FK＝BF－BK＝1，在Rt△DFK中，DF ，∵△FDC是顶角为120°的等腰三角形，∴CD DF ；如答案图③，连接DF，作△CBE的外接圆，当F在线段AB下方时，同理可得C，F，B，E，D五点共圆，∵ ，∴∠CFD＝∠CBD＝∠FCB＝∠FDC＝30°，∴∠FCD＝∠FBD＝120°.如简化答案图④，过点D作DL⊥FB于点L，在Rt△DBL中，∠DBL＝180°－∠FBD＝180°－120°＝60°，∴BL＝BD•cos60°＝2，DL＝BD•sin60°＝2 ，∴FL＝BF+BL＝5，在Rt△DFL中，DF ，∵△FDC是顶角为120°的等腰三角形，∴CD DF ，∴综上所述，CD的长为 或 ． 三、解答题 16.解：（1）原式＝﹣2+9+1 ＝8； （2）原式      ＝x+2． 17.解：（1）还需要了解方差， 甲公司方差  [（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（6﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（10﹣7.8）2+（9﹣7.8）2]＝1.76， 乙公司方差  [（6﹣7.7）2+（5﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（7﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（9﹣7.7）2+（8﹣7.7）2+（10﹣7.7）2]＝1.81， ∵1.76＜1.81， ∴甲公司配送饭菜的满意情况波动更小； （2）∵7.8＞7.7， ∴用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意（言之有理即可）． 18.解：(1)设点A的坐标为(a， )， ∵ ＝ ， ∴B(3a， )． ∵BC∥x轴， ∴点C的纵坐标为 ，代入y＝ 得， ＝ ， 解得x＝ ， ∴C( ， )． ∵S△OBC＝4， ∴ (3a－ )· ＝4， 解得k＝1， ∴反比例函数的解析式为y＝ ； (2)如答案图，分别过点A，P，B作x轴的垂线，垂足分别为D，E，G. ∵OA∶AB＝1∶2，P是线段AB的中点， ∴OA＝AP，OD＝DE， ∴OE＝2OD，PE＝2AD， 设点A的坐标为(m， )，则点P的坐标为(2m， )． ∵将△OBC沿x轴向左平移 个单位长度， ∴点P平移后的坐标为(2m－ ， )， ∵点P平移后落在y＝ 上， ∴令x＝2m－ ，则 ＝ ， 解得m＝1， 则点P平移前的坐标为(2×1， )，即(2，2)． 答案图 19.解：(1)如答案图，点F即为所求； (2)如上图，连接OG． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC＝AB，∠DAB＝∠DCB＝60°，AC⊥BD， ∴∠DCA＝∠ACB＝30°， ∵∠DOC＝90°，GD＝GC， ∴OG＝CG＝DG， ∴∠GOC＝∠GCO＝30°， ∵∠AEF＝60°， ∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF， 设AD＝CD＝BC＝AB＝4m，则CG＝DG＝OG＝2m， ∴CE＝EG m， ∵OA＝OC＝2 m， ∴AE＝EF＝AC－CE＝4 m m m， ∵OG GE＝2m， FG＝EF－EG m m m， ∴在Rt△OGF中，tan∠OFE ． 20.解：（1）设A种体育锻炼器材的单价是x元，B种体育锻炼器材的单价是y元， 根据题意得  ， 解得  ． 答：A种体育锻炼器材的单价是2000元，B种体育锻炼器材的单价是1800元； （2）设购买m套A种体育锻炼器材，则购买(20－m)套B种体育锻炼器材， 根据题意得50000－[2000m＋1800(20－m)]≥50000  ， 解得m  ， 设安装这20套体育锻炼器材占地的面积是w平方米，则w＝5m＋4(20－m)， 即w＝m＋80． ∵1＞0， ∴w随m的增大而增大， 又∵m  ，且m为正整数， ∴当m＝7时，w取得最大值，最大值为7＋80＝87(平方米)． 答：安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是87平方米． 21.任务1：证明：∵AB⊥MD，CD⊥MD， ∴∠ABM＝∠CDN＝90°， ∵AM∥CN， ∴∠AMB＝∠CND， ∴△ABM∽△CDN； 任务2：解：还需要测出DE的长，令DE＝a， ∵BG⊥BD，CD⊥BD， ∴∠GBE＝∠CDE＝90°， ∵∠BEG＝∠DEC， ∴△BEG∽△DEC， ∴  ，即  ， ∴  ； 任务3：解：如答案图，过点G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形， ∴GN＝BD＝3.5+14＝17.5(m)，DN＝MQ＝BG＝1.6m，GM＝BQ＝3.5m， ∴PM＝PQ－MQ＝3－1.6＝1.4(m)， ∵PQ⊥BD，CD⊥BD， ∴PQ∥CD， ∴∠PMG＝∠CNG， ∵∠PGM＝∠CGN， ∴△PGM∽△CGN， ∴  ，即  ， 解得CN＝7m， ∴CD＝CN+DN＝7+1.6＝8.6(m)． 答案图 22.解：(1)当b＝4，c＝﹣1时，抛物线为y＝﹣x2＋4x－1＝﹣(x－2)2＋3， ∴M(2，3)； (2)∵y＝﹣x2＋bx＋c＝﹣(x－ )2＋ ，∴M( ， ).  ∵点M(m，m)，∴ ＝ .　∴c＝﹣ b2＋ b＝﹣ (b－1)2＋ ， ∴当b＝1时，c的值最大，最大值为 ，此时抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋ ； (3)∵c＝2b＋3，∴y＝﹣x2＋bx＋2b＋3， 由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝ ，当 ≥3，即b≥6时，1≤x≤3在对称轴的左侧， ∵﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴左侧，y随着x的增大而增大， ∴当x＝3时，函数值y最大，最大值为﹣9＋3b＋2b＋3＝5b－6，∴5b－6＝24， ∴b＝6，c＝2b＋3＝15；当1＜ ＜3，即2＜b＜6时，对称轴在1≤x≤3之间， ∴当x＝ 时，y有最大值，为 ＋2b＋3，∴ ＋2b＋3＝24， 解得b＝6或b＝﹣14，不合题意舍去；当 ≤1，即b≤2时，1≤x≤3在对称轴的右侧， ∵﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当x＝1时，函数值最大，最大值为﹣1＋3b＋3＝24，解得b＝ (不合题意舍去)． 综上所述，b的值为6，c的值为15. 23.解：（1）等边对等角，DG∥BC 【解法提示】∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA，∴∠B＝∠DCB，(依据：等边对等角) 又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B，∴∠FDE＝∠DCB，∴DG∥BC． （2）①∵DE⊥AB， ∴∠ADH＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AHD∽△ABC； ②在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ ＝10， ∵△AHD∽△ABC， ∴∠AHD＝∠B， ， ∴ ， ∴ ， 又∵△ABC≌△FDE， ∴∠EDF＝∠B， ∴∠EDF＝∠AHD， ∴GH＝GD， ∵∠EDF＋∠GDA＝∠AHD＋∠A＝90°， ∴∠GDA＝∠A， ∴AG＝GD， ∴AG＝GH， ； （3） . 【解法提示】当DM＝DN时，如答案图①，过点D作DQ⊥MN于点Q，过点M作MP⊥DN于点P．∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，∴DC＝DA＝5，∴CQ＝AQ AC＝4，∴DQ 3．∵∠MDP＝∠B，∠MPD＝∠ACB＝90°，∴△MDP∽△ABC，∴ ，∴ ，∴DP:PM:DM＝3:4:5，设DP＝3x，PM＝4x，DM＝5x，∴NP＝DN－DP＝5x－3x＝2x．∵△DMN面积 MN·DQ  DN·MP，∴MN·3＝5x·4x，∴MN ，∵在Rt△MNP中，MN2＝MP2＋PN2，∴( )2＝(2x)2＋(4x)2，∴x2 ，∴△DMN面积 MP·DN 4x·5x＝10x2 ；当MD＝MN时，如答案图②，∠MDN＝∠MND，过点M作MH⊥DN于点H，∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，∴DA＝DC＝5，∴∠NCD＝∠A，∠MND＝∠MDN＝∠B，∴△CND∽△ABC，∴∠CDN＝∠ACB＝90°，∴MH∥CD，∵H为ND的中点，∴M为CN的中点，∴MH CD ．∵△MHN∽△ACB，∴ ，∴NH ，∴DN＝2NH ，∴△DMN面积 MH·DN ． 数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $