精品解析：北京市回民学校2025—2026学年第二学期期中练习（4月）七年级数学

北京市回民学校2025—2026学年度第二学期期中练习（4月）初一数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共四道大题，26道小题．满分100+10分．考试时间100分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称，班级名称，姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 若是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列式子中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 9的平方根是_________． 10. 的与4的差不小于2，用不等式表示为___________． 11. 介于与之间的整数是________． 12. 若点在轴上，则点坐标为______． 13. 如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是__． 14. 如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示金水桥的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是___________． 15. 一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____． 16. 如图，已知点则点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共60分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 19. 解下列方程组： （1） （2） 20. 按要求补全下面的证明． 如图，已知，平分，，， 求证：． 证明：∵， （_____）， 平分， _____（_____）． ， _____， ， _____ ．（_____）． 21. 如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 22. 截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） （1）求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ （2）为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． （1）画出，则的面积为________； （2）在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，写出点，的坐标为(______，_______)，(_______，______)； （3）为内部一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则______，________． 24. 如图，，作的平分线，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，作的角平分线交于点， （1）如图1，当点与点重合时， ①在图1中完成图形； ②直接写出的度数； （2）如图2，当点在线段上时，，求的度数； （3）当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 四、选做题（本大题共2个小题，共10分） 25. 规定：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，，． （1）满足的所有整数的个数为_______； （2）若，则满足条件的实数的值为________． 26. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就叫做点的“交变点”．例如：点的“交变点”是点． （1）若点的“交变点”为点，则点的坐标为______； （2）已知点，，且点是点的“交变点”，求、的值； （3）在长方形中，点，，，．已知点、，当线段上存在一点的“交变点”位于长方形的内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市回民学校2025—2026学年度第二学期期中练习（4月）初一数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共四道大题，26道小题．满分100+10分．考试时间100分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称，班级名称，姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：是无理数； ，，0是有理数； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“大于向右、小于向左，有等号实心、无等号空心”的规则判断即可． 【详解】解：选项：，正确； 选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，错误． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用算术平方根的性质和立方根的性质依次分析即可． 【详解】A选项正确； B选项的计算结果为4，所以错误； C选项，所以错误； D选项的计算结果为2，所以错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的性质和立方根的性质，解题关键是牢记概念． 5. 若是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值． 6. 已知，则下列式子中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式性质的应用，注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：根据不等式的三个基本性质逐项分析判断如下： A、由条件可知，正确，故本选项不符合题意； B、由条件可知，正确，故本选项不符合题意； C、由条件可知，正确，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角求出，再根据两直线平行同位角相等得到的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． 8. 某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，需由图形中的数量关系建立等式列方程组，结合无盖长方体纸盒的展开图结构分析并结合是解决本题的关键． 首先可由得到，结合，可由列第一个方程，再根据正方形的另外一条边由两个和两个组成即可列第二个方程． 【详解】解：因为，，， 所以， 又因为， 可得； 又因为该无盖长方体纸盒的底面由组成， 所需两个和两个组成，为正方形的另外一条边长， 所以， 所以可以列方程组为． 故选：D ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 10. 的与4的差不小于2，用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【详解】解：的与4的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为． 11. 介于与之间的整数是________． 【答案】3，4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴介于与之间的整数是3，4， 故答案为：3，4． 12. 若点在轴上，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列方程求出的值，再代入横坐标表达式得到点的坐标． 【详解】解：点在轴上， ， ， ， 点坐标为． 13. 如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是__． 【答案】40°． 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠4＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图，∵直线a∥b， ∴∠4＝∠1＝75°， 由三角形的外角性质得，∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°． 故答案为40°． 【点睛】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 14. 如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示金水桥的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，根据题意建立平面直角坐标系，即可解答． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示乾清门的点的坐标是． 故答案为： 15. 一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作，则．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，已知点则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，从开始，点A的坐标依次在四个象限循环，然后求出点所在象限以及转动圈数即可． 【详解】解：由图象得，从开始，点A的坐标依次在四个象限循环， ∵， ∴点在第一象限，在转动的第507圈上， 又∵第一象限内点A的横纵坐标的绝对值相等， ∴的坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，共60分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根，再做加减运算即可； （2）先分别化简绝对值、算术平方根、立方根，再进行运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将的系数化为，再开平方，得到两个互为相反数的解； （2）先移项，再开立方，然后求解． 【小问1详解】 解：， ， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得． 19. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用代入消元法解方程组； （2）用加减消元法解方程组． 【小问1详解】 解：， 将代入可得， 解得，代入可得， 故这个方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 将可得， 解得，代入可得， 故这个方程组的解为． 20. 按要求补全下面的证明． 如图，已知，平分，，， 求证：． 证明：∵， （_____）， 平分， _____（_____）． ， _____， ， _____ ．（_____）． 【答案】两直线平行、同位角相等；；角平分线的定义；30；2；同旁内角互补、两直线平行． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 根据平行线的判定与性质、角平分的定义逐步分析即可解答． 【详解】解：证明：∵， （两直线平行、同位角相等）， 平分， （角平分线的定义）． ， ， ， ．（同旁内角互补、两直线平行）． 故答案为：两直线平行、同位角相等；；角平分线的定义；30；2；同旁内角互补、两直线平行． 21. 如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再根据平行的性质和等量代换证明，再根据证明，即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 22. 截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） （1）求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ （2）为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】（1）购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对 （2）购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对，此时商家获利元 【解析】 【分析】（1）先设两种灯笼的数量为未知数，再根据“总对数为”和“总进价为元”列二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据“总售价”列二元一次方程，再结合“正整数解”的限制条件，通过枚举法求解出购买灯笼的数量，然后计算商家利润． 【小问1详解】 解：设商家购进型号的灯笼对，则购进型号的灯笼对， 根据题意可得， 解得， 故购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对． 【小问2详解】 解：设单位购进型号的灯笼对，购进型号的灯笼对， 根据题意可知，，即， 两种型号都买， 、均为正整数， 当，， 当，符合题意， 当，， 当，， 当，， 故购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对， 此时商家获利 元． 23. 在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． （1）画出，则的面积为________； （2）在中，点C经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，画出平移后的，写出点，的坐标为(______，_______)，(_______，______)； （3）为内部一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则______，________． 【答案】（1）即为所求； 12 （2）即为所求；，6； 5，0； （3）3，1 【解析】 【分析】（1）根据题意画出，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据平移的性质画出，并写出点，的坐标即可； （3）根据图形平移的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：的面积； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点， ∴，， 解得，． 24. 如图，，作的平分线，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，作的角平分线交于点， （1）如图1，当点与点重合时， ①在图1中完成图形； ②直接写出的度数； （2）如图2，当点在线段上时，，求的度数； （3）当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1） ①如图1所示， ②； （2）； （3）的度数为或或． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质三角形内角和定理以及三角形的外角性质． （1）①根据题意画出图形即可；②利用角平分线的定义结合平行线的性质求得，推出，再利用等腰三角形的性质求解即可； （2）利用平行线的性质求得，利用三角形的外角性质求得，利用角平分线的定义求得，再利用三角形内角和定理求解即可； （3）分三种情况讨论，同理，求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； 当点在射线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； 当点在射线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 四、选做题（本大题共2个小题，共10分） 25. 规定：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，，． （1）满足的所有整数的个数为_______； （2）若，则满足条件的实数的值为________． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）先根据新定义，由列出不等式，再通过平方求出的取值范围，最后找出范围内的所有整数并统计个数； （2）先根据新定义，将转化为关于的不等式组，求出的取值范围，再结合为非负整数的条件，在范围内枚举所有符合要求的值． 【小问1详解】 解：根据题意可得，，即， 则，即， 故满足条件的整数为，，，，，，，，共个． 【小问2详解】 解：根据题意可得，， 整理得， 解得， 由为非负整数， 则满足题意的为，，． 26. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就叫做点的“交变点”．例如：点的“交变点”是点． （1）若点的“交变点”为点，则点的坐标为______； （2）已知点，，且点是点的“交变点”，求、的值； （3）在长方形中，点，，，．已知点、，当线段上存在一点的“交变点”位于长方形的内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）、的值分别为、 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，解不等式组，理解“交变点”的定义是解题的关键． （1）由“交变点”的定义求解； （2）由“交变点”的定义列出方程组求解； （3）由“交变点”的定义列出不等式组求解． 【小问1详解】 解：∵点的“交变点”为点，且 ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点，，且点是点的“交变点”， ∴， 解得：， ∴、的值分别为、． 【小问3详解】 解：如图， 由题意，得 或， 解得： 或 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $