2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2026年全国高中数学联合竞赛模拟试题 (A卷)练习卷

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛模拟试(A卷) 参考解答与评分标准 一、填空题（每题8分，只设8分和0分） 1.答案：45 解：等差数列中， S3=3a1+3d=9→a1+d=3。 S6=6a1+15d=36→2a1+5d=12。 解方程组得a1=1,d=2。 则a7+ag+ag=3ag=3(a1+7d)=3(1+14)=45。 2.答案：237 解：函数h(a)=a3+3在a≥1时严格递增， 故B中元素互不相同，|B|=120。 解不等式a3+3≤120： a=1:1+3=4a=2:8+9=17; a=3:27+27=54;a=4:64+81=145>120。 所以AnB={4,17,54},共3个元素。 因此|AUB|=A+|B|-AnB|=120+120-3=237。 3.答案：4 解：抛物线y2=12x的焦点为(3,0)。双曲线器号=1的右焦点为(6m+5,0)。 由条件得Vm+5=3→m+5=9→m=4。 4.答案：1 解：由奇偶性：g(x)=g(x)→(-2)f(x)=-(x-2)f(x), h(x)=h(x)→f(x)+2(x)=f(x)+2x→f(-x)=f(x)+4x。 1 代入第一式： (x-2)[f(x)+4x]=-(x-2)f(x)。 左边=-(x+2)f(x)-4x(x+2), 右边=-(x-2)f(x)。 移项：-(x+2)f(x)+(x-2)f(x)=4x(8+2) →-4f(x)=4x(x+2)→f(x)=x(x+2)=-(x+1)2+1。 最大值1（当x=-1时取得）。 5.答案： 解：设z=cos日+isin日，则 赞引= (cos0+1)2+sin0 2+2c0s (cos81)+sin2日 2-2c0S ==V5 所以共器 =3→1+c0s0=3-3c0s6→4c0s0=2→c0s6=号。 故z2026=c0s(20266)+isin(20266),实部为c0s(20266)。 由cos6=号得6=士号+2km, 所以20266=2026号(mod2m)。 2026=1(mod3) 故20266=(mod2m)或， 余弦值均为cos肾=号。因此实部为青。 6.答案：员器器哉 解：六棱柱有18条棱：底面6条，顶面6条， 侧棱6条。 侧棱之间互相平行： (8)=15对 底面与顶面平行且对应的棱：6对。 设底面多边形中，平行边组数为m(m=0,1,2,3)。 每增加一组对边平行，则： 底面内部增加1对平行棱； 顶面内部增加1对平行棱， 2 底面该组对边分别与顶面另一组对边产生2对交叉平行（如ABCD'和ABCD)。 故共增加4m对。 总平行对数N=15+6+4m=21+4m, 总棱对数(（9)=153，所以概率P()-2等 分别取m=0,1,2,3得： m=0时器=子 m=1时得 m=2时器 m=3时器= 。 7.答案：号 解：由B=2D元得D分BC为2：1，故Ai=A+Ad。 BC=ACA。 则 AD-BC=(AB+AC)(AC-AB) -AA引A+引Ad22AB.AC=专AAc引2+引A 代入ABAC-2-3-cos120°=-3，|A2=4,Ad2=9 (3)54+9=1+6=7号=胃 8.答案：63 解：由an+1an十完两边平方得 a+1=a+2+ 因为1/a>0，所以a+1>a+2,累加得 a>a+2(n-1)=1+2n-2=2m-1. 又由a品+1=日+2+<a+2+点 (因为a>2n-1),累加得 3 <1+(2+)=2m-1+ 当n=2026时， 20奇=1+情+…+ 利用积分放缩： 0股5责<了025贵-n（4049) 加上第一项1得总和<5.1535。 故a3026<22026-1+5.1535=4051+5.1535=4056.1535, 所以a2026<√4056.1535≈63.69。 又a026>4051,所以a2026√4051心63.65。 因此63.65<a2026<63.69, 故La2026]=63。 二、解答题（分步给分） 9.(16分) 解 当x之0时，y2=8x(抛物线)： 当x<0时，y=0(x轴负半轴)。 因M为PQ中点且ME了，三点不同， 可分析得P在x轴负半轴，Q在上，M在上。 设P(a,0),a<0,Q(2t24t)(由y2=8x可设x=2t2y=4t),则M(+,2t)。 由题意得(2t)2=8+→4t2=4a+8t2a=-t2。 于是P(-t2,0),Q(2t24t)。 0.00=(-t2)(2t2)+0=-2t4。 令2t4-4→t4-2→t2-2,t=±2。 中点M(空，2t)=(,2t)=(号±24)。 故M坐标为（号，2V2)或（号，2V)。 评分标准： 正确写出下的分段表达式：4分 合理设参数并得到a=-t2关系：6分 计算数量积得t4=2:4分 求出M坐标：2分 10.(20分) 解 (1)由an+1=2an+n,两边除以2+1： 岩=+典 令b-是，则b1+1=b如十是， 且b-=克。 累加得 b中：+2六=+1净 已知=2学（何证。 取m=n-11净=2岁。 于是 6时(2学)-+1学-梨 故an=2=号2”-(n+1)=32r-1n-1。 (2)b-号学，则 sa--b=n-岁 =2学 =1字 所以学=(2学)+(1)=3学 因此 Sn-=3n-3+ 评分标准： 正确构造b并写出递推：4分 正确求和得到b表达式：6分 得到an通项：2分 正确计算S:8分（其中拆项2分，公式应用4分，最终表达式2分） 11.20分) 解 (1)冷=y=0,得 f(0)+f(0)=2f(0)22f(0)=2f(0)2 →f(0)=0或1。 若f(0)=0,令y=0得 f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0→f(x)≡0， 为平凡解。通常考虑非平凡，故取f(0)=1。 (2)证明 由f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)且f连续。 令x=0得f(y)+f(y)=2f(0)f(y)=2fy) →f(y)=f(y),即f为偶函数。 令yx得f(2x)+1=2f(x)2 →f(2x)=2f(x)2-1。 令y=2x得 f(3x)+f(-x)=2f(x)f(2x)→f(3x)+f(x)=2f(x)(2f(x)2-1)→f(3x)=4f(x)3-3f(x) 类似可证f(nx)可用f(x)的切比雪夫多项式表示。 定义g(x)=arccosf(x)(若|f(x)≤1)或g(x)=arccoshf(x)(若f(x)≥1)， 6 可证g满足柯西方程g(x+y)=g(x)+gy),从而g(x)=x, 故f(x)=cos(ax)或f(x)=cosh(ax)。 (详细证明利用函数方程与连续性，此处略) (3)由f(1)=2>1得f(x)=cosh(ax), (4)且cosha-=2。 解=2e2点4e+1=0→e8=2+V3(负根舍去)。 所以a=ln（2+3), f(x)=cosh(ax)=+"=2++( 因此 f(2026)=2+6+6+同 2 评分标准： (1)正确得出f(0)=1(并说明平凡解可排除)：4分 (2)证明思路清晰，利用偶性及递推，引用达朗贝尔方程结论：8分 (3)正确解出e=2+V5并写出最终表达式：8分总分：120分 说明： 填空题每空8分，与标准答案完全一致得满分，否则0分。 解答题按步骤给分，不要求与参考答案完全一致，合理即可。 7 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛) 暨2026年全国高中 数学联合竞赛 模拟试题 (A卷) 说明:本试卷共11题，满分120分。填空题每小题 8分，共64分；解答题第9题16分，第10、 11题各20分。 一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分) 1. 已知等差数列 的前 项和为 , 若 ,则 __________。 2. 设集合 ,则 的元素个数为__________。 3. 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则实数 _____。 4. 设函数 的定义域为 , 。若 为奇函数， 为偶函数，则 的最大值为__________。 5. 已知复数 满足 ,且，则 的实部为__________。 6. 设 为任意六棱柱 (底面为六边形,侧棱平行且相等)。在 的18条棱中随机选取两条不同的棱 , ,将事件“ 所在直线与 所在直线平行”发生的概率记为 , 则 的所有可能值为__________。 7. 在 中, ,点 在边 上，且 ，则 的值为__________。 8. 设数列 满足 , 则 表示不超过 的最大整数)__________ 。 二、解答题(本大题共3小题，共56 分) 9.(16分)在平面直角坐标系 中，点集 若 中的3个不同的点 满足: 为 的中点,且 , 求点 的坐标。 10. (20分)已知数列 满足 ， 。 (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 。 11. (20分) 设 是定义在 上的连续函数,满足对任意实数 ,都有 (1)求 的值； (2)证明:存在常数 使得 (3) 若 ，求 的值(用指数形式表示)。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $