2026 年九年级数学中考复习——圆的综合专项训练

**基本信息** 聚焦圆的切线证明与计算，通过20道综合题系统整合辅助线构造、定理应用及几何推理，突出以题载法的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|20题|连半径证垂直、构造全等/相似转化角关系|圆的性质→切线判定定理→几何直观与推理能力| |长度计算|20题|勾股定理、相似比、解直角三角形|切线性质→线段关系→运算能力与模型意识|

圆的综合专项训练 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O,与BC交于点M,与AB的另一个 交点为E,过M作MN⊥AB,垂足为N. M E D N (1)求证：MN是⊙O的切线： 2)若O0的直径为10，cosB=4 ,求ED的长. 2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D,过点C的切线与AB的延长线 交于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F. D (I)求证：CD=CF: (2)若点F为OB的中点，AB=4,求BE的长. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边BC上的点，以BD为直径作⊙O交AB于点E,CE与⊙O相切于 点E 0 6 (I)求证：AC=CE: (2)若anB= 24C=2.求CD的长. 试卷第1页，共3页 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC,点P在AC延长线上，∠PBC=∠BDC. B D (1)求证：PB是⊙0的切线. (2若D=25,CP=1 1的长 A,B 5.如图， AB⊙ 的直径：点D在直径MB上(D与B不重合)，CD1M且CD=AB, CB ⊙0 是 ；连接；与 交 于点F:在CD上取一点E;使EF与⊙O相切. D C B (I)求证：EF=EC: (2)若D是OA的中点，AB=8,求BF的长. 6.如图，在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心，OC为半径画圆，⊙O与边AB相切于点D,AC=AD C D (I)求证：AC是⊙O的切线： (2)若AB=10,tanB 3,求⊙0的半径. 试卷第2页，共3页 7.如图，在△ABC中，点O在BC上，以O为圆心，OC长为半径作圆，恰好与AB相切于点D,且∠A=2∠BCD. C D B (I)求证：AC为⊙0的切线： (2)若cosA=-3 ’4AC=6,求⊙0的半径. 8.如图，以△ABC的边AB为直径作半圆⊙O,交AC于点P,连接BP,∠A=∠C,且PD⊥BC,垂足为点D. D (I)求证：PD是⊙O的切线： (2若BD=3,PD=V5 0的半径. 9.如图，在Rt△ABC中，DB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E,O为AC上一点，经过点A,E的OO分别交 AB,AC 于点D,F,连接OD交E于点M, B C (I)求证：直线BC是⊙O的切线： 试卷第3页，共3页 2gC5=2snC-,求O0的半径和nM的长. 10.如图，△ABC内接于⊙O,∠ACB=45°，连接OA,过B作⊙O的切线交AC的延长线于点D. B (I)求证：∠D=∠OAD: ②若ac-4N,tanD=3 =4,求⊙0半径的长. 11.如图，△ABC是以C为顶点的等腰三角形，以AB为直径作⊙O,交BC于点D.延长BC至点E,使得 BC=CE,连接AE. 1 (1)求证：AE是⊙O的切线： (2)若AB=5,anB=4 求DE的长。 12.如图：四边形1CD内接于00，B为O0的直径，点C是DB的中点，过点C的直线分别交4B、D的延 长线于点F、E,且∠ABC+∠DCE=90°. 试卷第4页，共3页 ⊙ (1)求证：CE为⊙0的切线： ②若cE=4,anF=3, =4,求△CBF的面积. 13.如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的直线交CB的延长线于点D,且CD⊥DE, ∠ABC=2∠A」 B E (I)求证：DE是⊙O的切线： 2)若©0半径为5，AB=5BD ⊙O 的长. 14.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F,过点 C作⊙O的切线交FD于点E. B (I)求证：CE=EF: ②如果os1=子，BF=。 3 2,求o0的半径. 试卷第5页，共3页 15.如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为直径的⊙O与AB,AC分别相交于点E,点F,连接EF,过点F 作OO的切线FM交BC于点M. B (I)求证：∠AEF=∠MFC; (2)若M为CD中点，CF=2,AE=8,求AD的长. 16.如图，在△1BC中，B=1C,以4B为直径的o0交BC于点D,过点D作DE上1C,重足为点E,延长 OBC 中， CA交OO于点F,连接BF. O DE⊙O (1)求证： 是的切线： 2连接0E,若BF=25,FC=10,求0E的长. 17.如图，以△ABC的BC边上的一点O为圆心的圆，经过A,B两点，且与BC边交于点E,D为BE的下半圆 弧的中点，连接AD交BC于F,AC=FC. D (1)求证：AC是⊙O的切线： (2)已知圆的半径R=10,BF=12,求sin∠C的值. 试卷第6页，共3页 18.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AO=2,∠ACB=60°，点D在AO的延长线上，AD交⊙O于点E,交 BC于点F,AB=BD=DF,连接CE. E F (I)求证：DB是⊙O的切线； (2)求OF的长. 19.如图，AC是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，PA与⊙O相切于点A,OP⊥AB,垂足为M,射线PD经过点 B,连接BC. M B D (1)求证：PB是⊙O的切线： ②)若BC=2an∠CBD= 2,求⊙0的半径. 20.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB边为直径作⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E,ED,AB 的延长线交于点F O E B (I)求证：EF是⊙O的切线： 试卷第7页，共3页 (②若BF4,且mF-,求O0的半径与线段G的长. 试卷第8页，共3页 《圆的综合专项训练》参考答案 1.(1)见解析 4 (2)5 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，正确画出辅助线，熟练掌握切线的判定 定理和解直角三角形的方法和步骤，是解题的关键. (1)连接OM,易得∠OCM=∠OMC,根据直角三角形斜边中线的性质得出 D-=4B=D,进而得出∠OMC=∠DBC,则OM/BD:得出OM1MN,即可求证 MN是⊙O的切线； (2)连接DM,CE,易得∠CED=90°，∠DMC=90°，由(1)知：BD=CD=10,则 M为BC的中点，根据cOsB= 5,求出BM'可得BC的长，然后在Rt△CEB中，解直角三 角形求出BE,最后根据ED=BE-BD即可求解. 【详解】(1)证明：连接OM,如图1， D N 图1 .OC=OM, ∴.∠OCM=∠OMC, 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， CD=14B-BD 2 .∠DCB=LDBC, .∠OMC=∠DBC, .OM∥BD, .MN⊥BD, ∴.OM⊥MN, OM过O, 答案第1页，共2页 .MN是⊙O的切线： (2)解：连接DM,CE, D N B 图2 ,CD是⊙O的直径， ∴.∠CED=90°，∠DMC=90° 即DM⊥BC,CE⊥AB, 由(1)知：BD=CD=10, ∴.M为BC的中点， o9- .'BM=BD.cos B=8, ∴.BC=2BM=16, 在Rt△CEB中，BE=BC.co=64 -10=14 ·ED=BE-BD=64 · 2.(1)证明见解析 (2)BE=2 【分析】(1)连接OC,利用切线性质得OC⊥DC,结合AD⊥DC,推出AD∥OC,得 到∠DAC=∠OCA.由OA=OC得∠OAC=∠OCA,故∠DAC=∠OAC,即AC平分 ∠DAB.结合CD⊥AD、CF⊥AB及公共边AC,用AAS证明△ADC≌△AFC,得结论： (2)由AB=4得半径OC=OB=2,F是OB中点，故OF=1,AF=3,由全等得AD=3. 由ADoc,0cE0ne4”然立0-8份-子版B6代入s-2 2+x2 AE=4+x,解方程4+x3,得x=2,即BE=2: 【详解】(1)证明：如图，连接OC, 答案第2页，共2页 >E直线 为 的切线， B DC⊙O .OC⊥DC, :AD与切线DC垂直， :.AD⊥DC, ∠ADC=∠OCE=90°， .AD∥OC, ∴.∠DAC=∠OCA, ..OA=OC, ∠OAC=∠OCA, DDAC -DOAC, CF⊥AB, .∠CFA=90°， ∴.∠ADC=∠AFC=90°， 在△ADC和△AFC中， I∠ADC=∠AFC ∠DAC=∠FAC AC=AC :∴.△ADC≌△AFC(AAS) :.CD=CF; (2)AB=4, .A0=OB=C0=2, F为OB的中点， :0r=0B=1 AF=AO+OF=2+1=3, :△ADC≌△AFC, .AD=AF=3, 答案第3页，共2页 AD‖OC .△CEOr△DEA, ,E0C0_2 EA DA 3' 设BE=x,则OE=OB+BE=2+x,AE=AB+BE=4+x, 2+x-2 4+x3, 解得x=2, 即BE=2. 3.(1)见解析 (2)CD=1 【分析】(1)连接OE,根据切线的性质得出直角，根据等边对等角以及直角三角形的性 质得出∠A=∠CEA,根据等角对等边即可得出结论： (2)连接DE，,根据直径定理得出直角，根据直角三角形的性质得出∠CED=∠OEB,证 CD CE 明。CDE∽ACEB,得出CECB,利用锐角三角函数求出相关线段的长度，最后代入可求 解。 【详解】(1)证明：如图，连接OE, C CE与⊙O相切于点E, ∴.OE⊥CE ∴.∠0EC=90°， ∴.∠CEA+∠OEB=90° .OE =OB, .∠OEB=∠B, .∠ACB=90°， .∠A+∠B=90, ∴.∠A=∠CEA, .AC=CE 答案第4页，共2页 (2)解：连接DE, D B BD为⊙O的直径， ∴.∠BED=90°」 ∠CEO=∠CED+∠OED=90°，∠BED=∠OED+∠OEB=90° .∠CED=∠OEB, :LOEB=∠B, .∠CED=∠B, :∠DCE=∠ECB, ∴.△CDE∽aCEB, CD CE CE CB' 在Rt△ACB中，∠ACB=90°， .tan B= AC 1 BC2, 由(1)得CE=CA=2, .BC=2AC=4, 9 解得CD=1 4.(1)见解析 月 【分析】(1)连接OB,先证明∠1=∠8，结合∠ABC=∠8+∠OBC=90°，可得 ∠OBF=90°，从而可得结论： (2)证明∠=∠6，得D1=DC=25,得4C=4, △BCP∽△ABP ,证明 ,再利用相似三 角形的性质可得答案， 【详解】(1)证明：连接OB, 答案第5页，共2页 B 8 2 D .OA=OB ∠7=∠8 ∠1=∠2，∠2=∠7， .∠1=∠8 :AC是⊙O的直径， .∠ABC=∠8+∠OBC=90°. :.∠1+∠OBC=90° .∠OBP=90°. OB为半径， .PB是⊙O的切线. (2)解：如图： 是 的直径， D ·AC⊙O ∴.∠ABC=∠ADC=90° :BD平分∠ABC, 4=248c=45 .∠3=∠4，∠5=∠6， .∠3=∠6=45° :AD=CD=22 .AC=AD2+CD2=4 ∠P=∠P,∠I=∠BAP, .△BCP∽△ABP 答案第6页，共2页 CP BP .BP AP 1 BP BP5· :.BP=5 负值舍去. 【点晴】本题考查的是圆与三角形综合.熟练掌握圆切线的判定和性质，相似三角形的判 定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形性质，作出合适的辅助线是解本题的关键。 5.(1)见解析 24 2)5 【分析】(1)连接OF，,根据垂直定义可得∠CDB=90°，从而可得∠B+∠C=90°，然后 利用等腰三角形的性质可得LB=∠OFB,由切线的性质得∠OFB+∠EFC=90°，继而得到 ∠C=∠EFC,即可解答； (2)连接AF,根据已知可得OD=AD=2,BD=6,从而在RtABDC中，利用勾股定理 求出BC=I0,然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠AFB=90°，从而可证 △BDC∽△BFA,进而利用相似三角形的性质可求出BF的长. 【详解】(1)证明：连接OF, D B F .CD⊥AB ∴.∠CDB=90°， ∴.∠B+∠C=90°， :OF是⊙O的半径，EF是⊙O的切线， ∴.∠OFE=90°， .∴.∠OFB+∠EFC=90° ..OB=OF, .∠B=∠OFB, ∴.∠C=∠EFC, .EF =EC. (2)解：连接AF, 答案第7页，共2页 D C .AB=8 ∴.OA=OB= AB=4 :D是OA的中点， :.OD=AD=-0A=2 2 ..BD=OB+OD=6, 在Rta△BDC中，AB=CD=8, .BC=BD2+CD2 =10 AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°， :∠AFB=∠BDC=90°， ∠B=∠B, .△BDCn△BFA, DB BC :BF BA, 610 .BF 8, ·BF=24 5· 6.(1)见解析 e 【分析】()连接OD,证明△1OC≌a1OD(SS)得到∠AC0=∠AD0,由切线的性质可 得∠AD0=90°=∠AC0,由此即可证明AC是⊙0的切线： (2)设⊙O的半径为4r,解Rt△ODB求出BD=3r,OB=5r,则BC=OC+OB=9r,再 答案第8页，共2页 解R1△BC求出4C-12r·由勾股定理得，9'+12'=10，解得r号，则o0的￥ 8 径为 【详解】(1)证明：连接OD, OC=OD AD=AC 在 和 中， △AOC△AOD A0=A0 .∴AAOC≌AOD(SSS ∴.∠ACO=∠ADO, 又AD是⊙O的切线，点D是切点， ∴OD⊥AD,即∠ADO=90°=∠ACO, :OC是半径， AC是⊙O的切线： (2)解：设⊙0的半径为4r, 0D_4 在R△ODB中，anB=BD3, :.BD-3OD-, 4 .OB=BD:+OD=5r ∴.BC=OC+OB=9r, 在R△ABC中，anB=4C=4 BC3· :4C=4BC=12r, 3 答案第9页，共2页 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB, .(9r）+122=102 解得=3 (负值舍去)， ⊙0的半径为3 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形， 勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键. 7.(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的性质和判定定理、解直角三角形、相似三角形的性质与判定， 熟练掌握相关知识点是解题的关键， (1)连接OD,根据切线的性质定理得到∠ODB=90°，∠B+∠BOD=90°，由OC=OD 推出∠BOD=2∠BCD,进而得出∠A=∠BOD,∠B+∠A=90°，再利用切线的判定定理即 可证明： (2)在Rt△ABC中利用余弦的定义求出AB的长，利用勾股定理求出BC的长，通过证明 AC AB △ABC△OBD得到ODOB,设O0的半径为，代入数据解出r的值即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, 与相切， B ,AB⊙O ∠ODB=90°，∠B+∠BOD=90°， .OC=OD ∴.∠OCD=∠ODC, .∠BOD=2∠BCD, .∠A=2∠BCD ∴.∠A=∠BOD, .∠B+∠A=90°， 答案第10页，共2页 .∠ACB=90°， ∴半径OC⊥AC于点C, .AC为⊙O的切线。 (2)解：由(1)知∠ACB=90°， :在Ri△ABC中，cosA=4C=3 AB 5 4c-6=0 .BC=VAB2-AC2=V102-62=8 :∠A=∠BOD,∠B=∠B, .∴.△ABCC∽△OBD ÷4CB OD OB' 610 设⊙0的半径为，则有，8-， 解得：r=3, ⊙0的半径为3. 8.(1)见解析 (2)2 【分析】(I)连接半径OP,由∠A=∠C判定△ABC为等腰三角形；结合PD⊥BC,利用 同弧所对圆心角是圆周角2倍的性质，证得OP‖BC;进而由PD⊥BC推出OP⊥PD,根 PD⊙O 据切线判定定理（半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线），证明是的切线： (2)先在Rt△PBD中，利用勾股定理求出BP的长度；再根据AB是半圆直径，由直径所 对的圆周角为直角，得到∠APB=90°，结合∠ABP=∠CBP,证明△ABP∽△PBD;然后根 据相似三角形的对应边成比例，列出比例式求出AB的长度，最后由半径为直径的一半， 算出⊙0的半径为2. 【详解】(1)解：证明：如图，连接OP, 答案第11页，共2页 D O ∠A=∠C .AB=CB, ∴.△ABC为等腰三角形， .PD⊥BC ∴.∠ABP=∠CBP, .∠ABC=2∠ABP, AP=ip ∴.∠AOP=2∠ABP .∠AOP=∠ABC, .OPI BC :PD⊥BC, .OP⊥PD, .OP是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线： (2)解：：PD⊥BC, ∴.∠PDB=90°， BD=3 PD=3 BP=32+3=25, AB是⊙O的直径， ∴.∠APB=90°， .∠PDB=∠APB, 又，∠ABP=∠CBP, .△ABPP△PBD, 答案第12页，共2页 B即 PB BD' AB2√3 .2W3=3, .AB=4, :A0=)AB=2, 2 .⊙0的半径为2. 9.(1)见解析 18 (2)3,11 【分析】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用以及相似三角形的性质与判定： (1)连接OE,根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠0C=90° 即可； (2)连接EF,根据三角函数求出AB和半径的长度，证明△AMD∽△EMO,根据相似三 角形的性质即可求解. 【详解】(1)连接OE,则：OA=OE, M D E ∴.∠OAE=∠OEA, AE平分∠BAC, .∠BAE=∠OAE, ∴.∠BAE=∠OEA, .OE AB ∴.∠OEC=∠B=90°，即OE⊥BC, 又.OE是半径， ∴.直线BC是⊙O的切线： 答案第13页，共2页 (2)连接DF,OE M D F 3 E C .…CF=2sinC=5 OE 3 .OF+CF5, .OE=OF, .OE=OF=3,即半径为3， :AF是直径， .AF=6,∠ADF=90°=∠B .DF∥BC .∠AFD=∠C sin∠AFD=AD_3 AF 5 AD=气AF=8 5 OE⊥BC, DB=90° OE∥AB .△AMD∽AEMO 18 DM AD5_6 :.OM=E0=3=5 又OD=3 DM=6OD=18 11 11 10.(1)见解析 (2)20 【分析】(1)连接OB,根据圆周角定理可得∠AOB=90°，然后利用平行线的性质即可 解答； (2)过点B作BH⊥AD于点H,直角三角形的性质以及勾股定理，得BH=HC=4,再 证明∠MBH=∠OAM=∠D即可， 答案第14页，共2页 【详解】(1)证明：连接OB, :BD是⊙O的切线， ·.∠0BD=90°， ∠ACB=45°， .∠AOB=∠OBD=90°， OA∥BD, ∴.∠D=∠OAD (2)解：过点B作BH 1 AD于点H, H B D:.∠AHB=∠DHB=90° :∠ACB=45°BC=4N2 ..∠ACB=∠HBC .BH=HC BH2+HC2=BC2 .BH=HC=4, '∠HBM+∠BMH=90°， ∠OAM+∠AMO=90°，∠BMH=∠AMO, .∴∠MBH=∠OAM=∠D, tanD=3 4’ 3 ∴.tan∠MBH= 4 .MH=3,BM=5, 答案第15页，共2页 设⊙0的半径为x, .OM=x-5, tan∠OAM= OM x-5 OA x =tanD=3 解得x=20 ∴.⊙0半径的长20 【点晴】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角函数，掌握切线的判定方法和性质，圆 周角定理正确解答的关键. 11.(1)见解析 6 2)3 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形： (I)等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出∠BAE=90°，即可得证： (2)连接AD，,圆周角定理得到∠BDA=9O°，解直角三角形，分别求出BE,BD的长，即 可 【详解】(1)证明：△ABC是以C为顶点的等腰三角形， .BC=AC, ∴.∠CBA=∠CAB. BC=CE, ∴.AC=CE .∠E=∠CAE, 又 ∠CBA+∠BAE+∠E=∠CBA+∠CAB+∠CAE+∠E=2(∠CAB+∠CAE)=2∠BAE=180° ∴.∠BAE=90°， .AB⊥AE, 又AB为直径， .AE是⊙O的切线； (2)连接AD, 答案第16页，共2页 AB为直径， .∠BDA=90°， :∠BAE=90°， tanB=AE、AD4 ABBD3· :AE=4AB=20 3 ·BE=VAE2+AB-2 设AD=4x,BD=3x, 则：AB=5x=5, x=1, .BD=3, ·.DE=BE-BD=16 3· 12.(1)证明见解析； .20 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，正确地作 出辅助线是解题的关键。 1)根据已知条件得到∠ABC=∠CDE,求得∠CED=90°，根据圆周角定理得到 ∠ADB=90°，求得∠CED=∠ADB,根据平行线的性质得到OC⊥CE,根据切线的判定定 理即可得到结论： (2)过C作CH⊥AB于H,设OC=OA=OB=3x,CF=4x,根据勾股定理得到 OF CF OF=√OC2+CF2=5x,根据平行线分线段成比例定理得到OACE,得到OC=5, cr-9,or草F 3，根据三角形的面积公式即可得到结论. 答案第17页，共2页 【详解】(1)证明：且∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE=180°， ∴.∠ABC=∠CDE, ∠ABC+∠DCE=90°， .∠DCE+∠CDE=90°， ∠CED=90°， :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠CED=∠ADB, BD∥CE, “点C是DB的中点， ∴OC⊥BD, .OC⊥CE, :OC是⊙0的半径， ∴.CE为⊙O的切线； (2)过C作CH⊥AB于H, 公 在Rt△OCr中，由anF= 设OC=OA=OB=3x,CF=4x, EF=4+4x, .0F=V0C2+CF2=5x :.BF=OF-OB=2x, :∠ADB=90°， AD⊥BD, :OC⊥BD .OC∥AE, 答案第18页，共2页 OF CF .OA CE, 5x=4x .3x4 3 3,0=2 0C=5,CF=2 3,BF=10 3 1 S.OCF =OC.CF=OF.CH 2 2 5x20 5=4 :.CH= aCBF的面积F-CH=)x10 23 4-20 3· 13.(1)证明见解析 (2)4 【分析】(1)连接OE,利用三角形的外角性质结合等边对等角求得∠BOE=2∠A,可得 DC∥OE,再利用切线的判定定理即可得证； BE BD (2)连接BE,根据切线性质，可得∠A=∠BED,进而得出ABBE,结合已知即可求 出BE的长，在RIAAEB中用勾股定理即可求得AE. 【详解】(1)解：连接OE,如图， B ◇D OA=OE, ∴.∠A=∠OEA, ∴.∠BOE=2∠A, :∠ABC=2∠A, ∴.∠ABC=∠BOE, 答案第19页，共2页 .OE∥DC, .CD⊥DE, .OE⊥DE, OE是⊙0的半径， ∴.DE是⊙O的切线； (2)解：连接BE, B D 是 的直径， AB⊙O ∴.∠AEB=90 DE是⊙O的切线， ∠0ED=90°， ∴.∠BED=90°-∠OEB=90°-∠ABE=∠A, .sin∠A=sin∠BED, .BEBD ABBE,即：BE2=ABBD, ·AB=2OB=2N5AB=5BD ∴BE2=25x25=4 .BE=2」 :在R△MEB中，4AE=VAB2-BE2=V25-22=4 14.(1)见解析 (2)AB=80 =13 【分析】(1)根据切线的性质得：∠1+∠2=90°，根据等边对等角得：∠A=∠1，可知 ∠2=∠F,所以CE=EF; 答案第20页，共2页 (2)根据cosA=3 ,设AD=3k,则AF=5k,可得FD=4k,表示DB=k,AB=4k, 证明AFAD∽△BGD' 列比例式得：光品，即DG- 4k,根据直角三角形的性质得 ∠3=∠4，则得k的值，从而代入AB=4=80 13 【详解】(1)证明：如图，连接OC, D B CE切⊙O于点E, .OC LCE, .∠0CE=90°， .∠1+∠2=90°， FD⊥AB, .∠ADF=90°， ∴.∠A+∠F=90° 又，OC=OA, .∠A=∠1， .∠2=∠F. ∴.CE=EF (2)解：：FD1AB' COSA=4D 3 AF 5 设AD=3k,则AF=5k, FD=VAF2-AD=4k ,D为OB的中点， :.OD=DB=70B 答案第21页，共2页 又.AO=OB .AO=OB =2DB, ∴.AD=AO+OD=3DB=3k, ∴.DB=k,AB=4k, 连接CB交FD于点G, D :AB为OO直径， .∠ACB=∠FCB=90°， ∴.∠FCB=∠FDB, .∠CGF=∠DGB, .∠F=∠B, ,∠FDA=∠GDB-90°， ∴.△FAD∽△BGD, AD FD :DG DB' 3k 4k 即DG=k, 解得：DG-子， 4 可得：FG=4k-子k=不 4 .∠FCB=90°， .∠4+∠F=∠2+∠3， ∠F=∠2， ∴.∠3=∠4， .CE=EF=EG」 :n-5 答案第22页，共2页 .FG=5, 13k=5 . k=20 13, ·AB=4h=80 3· 15.(1)见解析 (2,D=4V5 【分析】(1)连接DF,OF,根据等腰三角形的性质得出∠OAF=∠AFO,根据切线性 质得出∠OFM=90°，根据直径所对的圆周角为直角，得出∠AFD=90°，从而得出 ∠ADF=∠MFC,根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠AEF=∠ADF，即可证明结 论： (2)连接DE,证明△1DE≌a1DF(AAS),得出AF=AE=8,证明△ADF∽△DCF,得 DF AF 出CF=DF,求出DF=V16=4,最后根据勾股定理求出AD=4W5· 【详解】(I)证明：连接DF,OF,如图所示： :AO=OF, ∴.∠OAF=∠AFO. FM为⊙O的切线， ∴.∠OFM=90°， ∴.∠AF0+∠MFC=180°-90°=90°， AD为⊙O的直径， ∴.∠AFD=90°， ∴.∠ADF+∠OAF=90°， 答案第23页，共2页 .∠ADF=∠MFC, .AF=AF, .∠AEF=∠ADF, ∴.∠AEF=∠MFC: (2)解：连接DE,如图所示： B ,AD为⊙O的直径， ∴.∠AED=∠AFD=90°， :AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, AD=AD :△MDE≌△ADF(AAS) ∴.AF=AE=8, .∠DFC=180°-∠AFD=90°， ∴.△CDF为直角三角形， ,点M为CD中点， ÷FM=CM=DM-2CD ∴.∠CFM=∠C, 根据解析(I)可得：∠ADF=∠MFC, .∠ADF=∠C, .∠AFD=∠CFD=90° ∴.△ADF∽△DCF, DF AF CFDF’ DF2=AF.CF=8x2-16 答案第24页，共2页 .DF=16=4 AD=AF+DE2=18+4=45 16.(1)见解析 24 OD 【分析】(1)连接，利用等腰三角形性质推出 ODIAC DE⊥AC ,结合 得到 DE⊥OD,从而根据切线判定定理完成证明. (2)先利用4B为直径得到F=0,设 B=AC=x Rt△ABF ,在 中用勾股定理求出 AB的长度，进而得到OD的长度：再通过矩形性质得到DE的长度，最后在Rt△ODE中用 勾股定理计算OE. 【详解】(1)证明：连接OD, D .OD=OB. ∴.∠ODB=∠ABC, AB=AC, .∠C=∠ABC, .∠ODB=∠C, ODAC DE⊥AC于点E, ∴.∠ODE=∠DEC=90°， 是的半径，且 DE⊥OD DE是0 的切线。 答案第25页，共2页 (2)解：连接OE,延长DO交BF于点H, E :8是00的直径， ∴.∠F=90° .∠HDE=∠DEF=90°， .四边形DEFH是矩形， ∴.∠DHF=90°、 .AB=AC BF=25 FC=10 OH LBF 1 AF=10-AC=10-AB,DE=FH=BH2 BF=5, .BF2+AF2=AB2, :25+10-AB2=1B, 解得AB=6, .0D=2AB=3, 0E=V0D2+DE2=V32+(W5)=V4 :06的长为V4 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、 矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理，结合等腰三 角形与矩形的性质进行边角转化是解题的关键. 17.(1)见解析 5 2)13 【分析】本题主要考查圆的切线的判定、勾股定理、正弦函数等几何知识点及其应用问题， 答案第26页，共2页 解题的关键是作辅助线，灵活运用切线的判定是关键. (1)连接OA、OD ,证明 ∠OAD=∠ODA,∠CAD=∠AFC=∠OFD ,得到 ∠OAD+∠CAD=90°，即可证明结论： (2)根据题意得到OF=2,设AC=x,则FC=x,根据勾股定理列出等式 红+2=102+，解得x=24,根据sin∠C=0 「Oc即可得到答案. 【详解】(1)证明：连接OA、OD, .OA=OD,AC=FC .∠OAD=∠ODA,∠CAD=∠AFC=∠OFD ∴.∠OAD+∠CAD=∠ODA+∠OFD ∴.∠OAD+∠CAD=90° :OA是⊙O的半径， AC是⊙O的切线： (2)解：R=10,BF=12, .OF=BF-B0=12-10=2 设AC=x,则FC=x, .0C=x+2, :AC是⊙O的切线， ∴.Rt△AOC中，OC2=AO2+AC2, 即c+2y2=102+x2 解得x=24, .0C=24+2=26, sin∠C=40=10_5 -0C-2613 答案第27页，共2页 18.(1)见解析 24-25 【分析】(1)连接BO,利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理， 三角形内角和定理证明即可： (2)连接BE,AE是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用OF=OE-EF解答 即可、 【详解】(1)证明：如图，连接B0, D .'∠ACB=609 ∠40B=120°， ..OA=OB, :∠0AB=∠0BM=x180-∠40B=30°， 2 又AB=BD, .·.∠D=∠OAB=30° ∴∠ABD=180°-∠OAB-∠D=120°， ∴∠DB0=∠ABD-∠AB0=120°-30°=90°， ∴.OB⊥BD 又OB为⊙0的半径， .DB是⊙O的切线： (2)解：连接BE, D 是直径， ·AE .∠ABE=90°， 答案第28页，共2页 AE=2AO=4,∠OAB=30°， :.BE-AE-2, 2 AB=√AE2-BE2=√4-22=2√5 ∠DBE=∠ABD-∠ABE=120°-90°=30°， ∴∠DBE=∠D :DE=BE=2, BD=DF AB=23 :.EF=DF-DE=2√5-2 ∴.0F=0E-EF=2-2W3-2=4-2V3 19.(1)见解析； o5. 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、圆周角定理、 正切的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键. （1D如图，连接OB.先证明△1OP≌BOP(SS)可得∠PA0=∠PB0,再根据切线的性 质可得∠PB0=∠PA0=90°，即∠PBO=∠PAO=90°，进而证明结论： (2)由题意可得∠CBD+∠OBC=90°，再由圆周角定理可得∠CAB+∠OCB=90°，再根 BC 1 据等边对等角可得∠OCB=∠OBC,即∠CBD=∠CAB:再根据正切的定义可得AB-2,易 得AB=4:再根据勾股定理可得AC-25,进而完成解答. 【详解】(1)证明：如图，连接OB, 答案第29页，共2页 ◇ M D :OP⊥AB .AM =MB ..PA=PB ...OA=OB,OP=OP, ,.△AOP≌△BOP(SSS) .∠PAO=∠PBO :PA与⊙O相切， ∴OA⊥PA,∠PAO=90° .∠PB0=∠PAO=90°」 .OB⊥PB OB为⊙0的半径， PB是⊙O的切线. (2)解：∠PBO=90°， .∠DBO=90° .∠CBD+∠OBC=90° :AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90° .∠CAB+∠OCB=90° .:OB=OC .∠OCB=∠OBC .∠CBD=∠CAB :tan∠CBD= 2 ∴.tan∠CAB=- 2 答案第30页，共2页 BC 1 AB2· BC=2, 2、1 AB2· .AB=4」 ∠ABC=90°， ..AB2+BC2=AC2 .AC=AB2+BC2=25 .04-c5 ∴⊙0的半径为√5. 20.(1)见解析 (2)00的半径为6，AB=48 5 【分析】(1)连接OD，,利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质 和圆的切线的判定定理解答即可； (2)利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判 定和性质列出比例式即可求得AE的长， 【详解】(1)证明：连接OD,如图， E B 分 .AB=AC .∠ABC=∠C, .OB=OD. .∠OBD=∠ODB .∠ODB=∠C. .OD∥AC, :DE⊥AC, 答案第31页，共2页 .OD⊥DE :OD是⊙0的半径， .EF是⊙O的切线： (2)解：在Rt△ODF中， sinF=OD 3 OF 5'OB=OD' OD 3 .OD+45, ∴.0D=6」 即⊙0的半径为6. .OB=OA=OD=6 .AF=FB+OB+OA=4+6+6=16, FO=BF+OB=10 :OD⊥EF,AE⊥EF, .OD∥AE, .△FOD∽△FAE, OD FO .AE FA' 6_10 .AE16' AE=48 · 【点晴】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径 相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连 接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线. 答案第32页，共2页