2026年中考数学二轮复习专项训练 二次函数提升：特殊四边形存在性问题

二次函数提升：特殊四边形存在性问题专项训练-2026年中考数学二轮复习 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 2．如图所示，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点在抛物线之间的动点，连接，，，求的最大面积． (3)若点为抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 3．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，为轴上方抛物线上的动点（不与点重合），设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上，若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)过点作轴的平行线与直线交于点，线段的长记为． ①直接写出关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 5．如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数，）与y轴交于点A，且点A的坐标为，过点A作垂直于y轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作于点Q，M是直线l上的一点，其横坐标为．以，为边作矩形． (1)当点Q与点M重合时，求m的值； (2)当矩形为正方形时，求m的值； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 8．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 9．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上，点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，并判断四边形能否为平行四边形，并说明理由； (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点与．已知点P是该抛物线上一动点（不与点B重合）． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)将抛物线上P，B两点之间的部分（包括端点）记作图像W，当图像W上最高点与最低点的纵坐标的差是5时，求点P的坐标； (3)若动点P的横坐标是n，另有坐标系中一动点Q，其坐标是．如图2，在坐标系中构造一个各边均与坐标轴垂直或平行的矩形，使为矩形的对角线．当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大，直接写出n的取值范围． 11．如图所示，已知二次函数与轴分别交于两点，交轴于点，点为抛物线顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交线段于点，过点作交轴于点，当最大值时，求点的坐标以及的最大值． (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线与轴的交点，点在直线上，点为平面内一点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在直接写出所有符合条件的点的坐标，并选其中一个点的坐标写出求解过程；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、C，交y轴于点B．其中． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作轴交于点D，点M是对称轴上的一个动点，点N是y轴上的一个动点，求出当取最大值时，点P的坐标，及此时的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，当取最小值时，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，H为y轴上一点，Q为x轴上一点，当点K在新抛物线的对称轴上时，是否存在这样的点K，使得以D，K，H，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出符合条件的K的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． (1)求抛物线的解析式． (2)若为抛物线上一点，且在对称轴的右侧，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点向轴作垂线，交轴于点，当时，求点的横坐标． (3)为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，点，在轴上，且点在点的上方． ①当正方形在轴右侧的顶点落在抛物线上时，求的值； ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)；； (3)；；； 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （2）过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 2．(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）把点，，的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式整理成顶点坐标式，即可得到点的坐标； （2）过点作，设点的坐标是，可得：，因为，可得，所以的最大面积是； （3）根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质，分四种情况求解．情况一、当是平行四边形的边且点在轴上方时；情况二、当是平行四边形的对角线时；情况三、当是平行四边形的对角线点在第四象限；情况四、当是平行四边形的对角线且点在第三象限时． 【详解】（1）解：把点，，的坐标代入抛物线的解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 配方得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，过点作， 点在抛物线上， 设点的坐标是， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， 的最大面积是； （3）解：如下图所示，当是平行四边形的边时， 则有轴， 点的纵坐标是， 解方程， 可得：，(不符合题意，舍去)， 点的坐标是， ， ， 点的横坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当是平行四边形的对角线时， 可知， 点的横坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当是平行四边形的对角线时，过点作轴， 平行四边形的对角线互相平分， 点与点到轴的距离相等， 点的纵坐标是， 解方程， 可得：，(不符合题意，舍去)， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当点在点左侧，是平行四边形的对角线时，过点作轴， ∴点的纵坐标是， 解方程， 可得：(不符合题意，舍去)，， 则点的坐标是， 在和中，， ， ， 点的横坐标是， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数、一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．(1)， (2) (3)最大值4，点的坐标为 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；设直线，代入即可求解； （2）由题意得，设点坐标为，则，求解即可； （3）设点，则点的坐标为，得，即可求解. 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， ； 设直线．将点，代入可得． ， ； （2）如图1，将沿翻折，得到四边形． ，，四边形为菱形， ， 点在直线上， 可设点坐标为． ， ，解得或（舍去）， 点； （3）如图2， 点在抛物线上， 可设点， 点的坐标为， ， ， 抛物线开口向下， 当时，线段有最大值，最大值为4，此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质的应用，菱形的性质，一次函数的性质，翻折等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求最值是解题的关键． 4．(1) (2) (3)①；②当时，点有个；当时，点有个；当时，点有个 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分解答即可求解； （）①利用待定系数法求出直线的解析式，可得，再分和两种情况解答即可求解；②画出与的函数图象，结合函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵四边形是平行四边形，，在轴上，， ∴点的横坐标为， 当时，， ， 设点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：①如图， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， ，轴， 当时，； 当时，； 综上，； ②与的函数图象如图所示， 由图可知，， 当时，当时，的最大值是， 由图象可得，当时，对的每个取值，点有个； 当时，点有个； 当时，对的每个取值，点有个． 5．(1) (2) (3)点的坐标为 (4)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． （2）由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． （3）在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； （4）设直线的解析式为：，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 6．(1) (2) (3)点G的坐标为或或 【分析】本题考查求二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数与一次函数的性质，一元二次方程，二元一次方程组，菱形的性质，勾股定理中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）由抛物线经过点和，得到二元一次方程组，求解即可； （2）先求出，设点，求出直线的解析式为得到，分别求出，，列方程求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，分类讨论：①当为对角线时，②当为边，为边时，③当为边，为对角线时，有，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 令，得， ∴解得或， 即． 设点，其中 ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得 ， ∴， 即． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得或2或， ∵， ∴， 当时，， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， ∴直线的解析式为， ∵F在直线上， ∴设， ①当为对角线时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴F、G关于y轴对称， ∴点F的纵坐标为， 解得， 即， ∴； ②当为边，为边时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 则， ∴． 当时，， ∴， 则， ∴． 如图所示 ∴点G的坐标为或； ③当为边，为对角线时，有，如图 此时点F与点B，E重合，不符合题意， 或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示 综上所述，点G的坐标为或或． 7．(1) (2)m的值为或1或或 (3)或 【分析】（1）根据点A的坐标即可求出b的值，若点Q与点M重合，则横坐标相等，列出方程，解方程即可求出m 的值； （2）当矩形为正方形时，邻边相等，分情况列出关于m的方程，即可求出m的值； （3）当点P在直线l下方时，分点M在点Q的右侧和点Q在点M的右侧两种情况，当点P在直线l上方时，也根据点Q与点M的位置关系分两种情况，根据函数的增减性分别求出m 的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入中， 解得：， ∴， 由题意知，、， 当Q、M重合时， 解得：； （2）解：结合（1）可知，点， 当矩形为正方形时，， 则或 解得：或或或； （3）解：对于抛物线， 当时，可有，解得， 即该抛物线与直线l的另一交点坐标为， 当点P在直线l的下方，点M在点Q右侧时， 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随x的增大而增大，如图1， 此时， 解得； 当点P在直线l的下方，点Q在点M右边时，如图2， 存在两段，不合题意； 当点P在l上方时，如图3， 此时，抛物线在了矩形外面，不合题意； 如图4，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随x的增大而增大时， 可有， 解得． 综上所述，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随x的增大而增大时，或． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，矩形的性质，正方形判定和性质，解一元二次方程，解不等式等是解题的关键． 8．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 9．(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，即，然后证明，即可得出结论； （3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：四边形不能为平行四边形，理由如下： 如图1，作交抛物线于点，垂足为点，连接，． ∵点在上， ∴，． 连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ∴． ∵点， ∴． ∵轴，轴， ∴，而， ∴四边形不可能是平行四边形； （3）解：如图2，由题意得，连接，在上方作，使得，． ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． ∵， ∴， 即的最小值为． 10．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查二次函数的解析式求解、性质应用及与矩形结合的综合问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、对称轴性质，结合动点坐标和矩形特征分析函数增减性． （1）待定系数法求解析式，即可求解，再通过配方法求顶点坐标； （2）设点P坐标，结合抛物线解析式，分情况讨论图像W的最高点和最低点，根据纵坐标差为5列方程求解； （3）根据在直线上，分别画出图形，根据当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大，求得的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点与点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， 顶点坐标为； （2）解：设点， 当时，， 解得：（舍去）， ， 当时，， 解得：（舍去）， ， 综上，点的坐标为或； （3）解：∵ ∴点在直线上， 当的纵坐标相等时， 解得： 当时，如图所示，满足在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大， 当时，如图，不满足题意， 当时，如图，不满足题意， 当时，如图，不满足题意， 综上所述，n的取值范围． 11．(1) (2)，的最大值为12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式，设出P的坐标，表示出E的坐标，表示出的长度，求出直线的解析式，求出的坐标，表示出的长度，从而可表示出，根据二次函数的性质即可求其最大值及此时P的坐标； （3）设点沿射线方向移动到点，且，证明B是中点，从而求出Q的坐标，从而得到平移的方法，根据此平移的方法可求出二次函数，进而可求出M的坐标，再求出直线的解析式．然后分为菱形和为菱形两种情况讨论，利用菱形的几何性质和中点坐标公式，即可求出N的坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由二次函数得， 设直线的解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线为， 设点为， ∵点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，抛物线对称轴为直线， ∴； ∵轴，点在直线上， ， ， ， ∴设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为为12， 此时，即； （3）解：如图1，设点沿射线方向移动到，， ∵，， ∴，， ， ∴是中点， ∴ ∴点向下平移8个单位，向左平移2个单位， 故抛物线的顶点也向下平移8个单位，向左平移2个单位， ∵旧抛物线， ∴新抛物线为， ∴， 设直线解析式为，代入得， ∴直线解析式为， ①当四边形为菱形时，如图2，连接，交与点，连接， ∵、是菱形的对角线， ∴垂直平分，即点为的中点， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵ ∴， ∴G、O、P、N四点共线， ∴设直线解析式为， 将代入，得，即， ∴直线解析式为， 与：联立解得， ∴， ∵为中点， ∴点横坐标为， ∴点坐标为． ②当四边形为菱形时， 设， 由得， ∴， ∴或，． （i）当点坐标为时，如图3，连接， ∵为的中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为， ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， 故坐标为； （ii）当点坐标为时，如图4，连接， ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为； ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、两点间距离公式的应用、中点坐标公式的应用、菱形的性质等，熟练掌握以上知识点，运用分类讨论的方法是解题的关键． 12．(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）根据已知条件求出A，C的坐标，再利用待定系数法求得抛物线的解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据已知条件设，，得到线段的表达式，延长交x轴于点Q，将进行转化，从而得到，当时有最大值，从而求出点P的坐标，过点P作y轴的对称点，点为A关于抛物线对称轴的对称点，当，N，M，四点共线时，所求结果有最小值，即求的长度即可； （3）先根据题意得出点D坐标和新抛物线的对称轴，根据题意，分两种情况讨论：①当时，②当时，针对不同情况作对应辅助线，利用相似三角形的性质得到对应线段成比例关系，再设出相关点坐标结合图象列出方程并求解未知数，即可得到K的点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 将点A，C代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为． （2）解：设直线的解析式为， 将点B，C代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，D在直线上， ∴设，， ∴， 如图，延长交x轴于点Q， ∴，则， ∴，， ∴， 当时，有最大值， ∴， 过点P作y轴的对称点，点为A关于抛物线对称轴的对称点， ∴当，N，M，四点共线时， ． （3）解：由题意知，原抛物线y的对称轴为，， ∵抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的对称轴为， 根据题意，分以下情况讨论： ①当时， 如图，作轴，过点D分别作，轴， 设， ∴，， 易证得：， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设， ∴有，解得， ∴； ②当时， 如图，过点D作轴， 设， 易证得， ∴，， ∴， ∴， ∴有，解得或3， 设， ∵在第二象限，即， ∴， 当时，， 同理，设， ∵在第三象限，即， ∴， 当时，， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的解析式求解，二次函数与一元二次方程的应用，矩形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点． 13．(1) (2)或 (3)①或；②或或 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、正方形的性质等知识，正确求出二次函数解析式并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设点，则，根据抛物线的对称性得到点，则，利用已知得到，进而解方程可求解； （3）①设点，根据题意和中点坐标公式可得点，点，求出当点落在抛物线上时和当点落在抛物线上时的值即可解答；②分当正方形与抛物线的交点在边和上时；当正方形与抛物线的交点在边和上时；正方形与抛物线的交点均在边上；当正方形与抛物线的交点在边和上时；正方形与抛物线的交点在边和上，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入得 ， 解得， 抛物线L的解析式为； （2）设点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 根据题意得，点与点关于对称轴直线对称， 点， 点在对称轴的右侧， ， ， ， ， 或， 整理得或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 点的横坐标为或； （3）①点在抛物线上， 点， 四边形为正方形，点，在轴上，点为正方形的中心，， 点，点， 当点落在抛物线上时，， 解得（舍去）或， 当点落在抛物线上时，， 解得（舍去）或m， 综上所述，的值为或； ②根据题意，抛物线与正方形的边必有一个交点，分以下几种情况： 当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， 由①得当抛物线过点时，， ，此时点在点的下方， 交点的纵坐标之差为， ， 解得； 当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ，此时点在点的下方． 交点的纵坐标之差为， ， 解得或（舍去）， 当点与点重合时，， 解得（舍去）或， 当时，正方形与抛物线的交点均在边上，不符合题意， 当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ，此时点在点的上方，点在点的下方， 交点的纵坐标之差为， ， 解得m或m（舍去）， 当时，正方形与抛物线的交点在边和上，此时交点纵坐标的差为，不可能为； 综上所述，的值为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $