精品解析：湖北武汉市武珞路中学2025—2026学年度七年级下学期期中素养调研数学试卷

2025—2026学年度七年级下学期期中素养调研数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 4. 若将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点Q．则点Q坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 6. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是二元一次方程的一个解，则（ ） A. B. C. D. 9. 介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 19 10. 如图，，，三角形经过某种变换，第一次得到三角形，第二次得到三角形，第三次得到三角形，第四次得到三角形，第五次得到三角形…，三角形内部的点随之发生相同的变换，以此类推，第25次变换后，点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数是_____． 12. 若，则x的值为______． 13. 比较大小： __________填“”“”或“” 14. 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，已知AD＝6，EF＝8，CG＝3，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，某工程队从点A出发，沿北偏西a方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向，从点B沿北偏东方向继续铺设段，到达点D又改变方向，沿着与平行的方向铺设段，则的大小为______．（用含a的式子表示） 16. 在平面直角坐标系中，对任意一点，点的值的定义如下：；比如点，，点，．如图，正方形，，，点C、D在y轴右侧，点为正方形边上的点，现有一个实数a，，当时，这样的点有______个． 三、解答题（本大题共8题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用指定的方法解下列方程组． （1）（代入法）； （2）（加减法）． 19. 完成下面的推理：如图，点分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 证明：， ______（_________）， ______（________）， ． 20. 已知正数b的两个平方根是，． （1）求a，b的值； （2）若的整数部分为m，小数部分为n，求m，n的值． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知A、B、C点都是格点，且．将线段沿某一方向平移得到线段（点A与C对应，点B与D对应），请仅用无刻度的直尺在给定网格作图． （1）在图中画出平面直角坐标系和线段． （2）D的坐标为______，平移过程中扫过的面积为______． （3）平移线段，若它的两个端点都落在坐标轴上，则A点对应点坐标是______． （4）点E为x轴上的点，三角形的面积等于7.5，画出E点位置． 22. 按照国际标准，A系列纸为长宽之比等于的长方形．某中学有一块面积为平方米长方形空地，它的长宽比恰好与A系列纸相同，为美化校园环境，学校计划在该空地正中间沿着边的方向修建面积为50平方米的花圃草坪，四周留至少1米宽的走道． （1）求学校这块空地的长与宽． （2）如图1，若修建的花圃草坪区域为正方形，学校的计划能否实现？试通过计算说明． （3）如图2，学校为了实现计划，改为修建长方形花圃草坪，当花圃草坪区域的长边与短边之比最小时，这块空地左右走道的宽是______米（直接写出答案）． 23. 在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． （1）如图1，当时，求的大小． （2）如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． （3）若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 24. 已知，在平面直角坐标系中，，，，，线段与轴交于点． （1）直接写出点，点坐标______； （2），，求三角形的面积（用含的式子表示）． （3）三角形的面积等于． （）点在射线上，求点的坐标． （）在满足条件的点中取两个点，，，连接，，三角形的面积等于，，满足的数量关系为______．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度七年级下学期期中素养调研数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察可知，只有选项B可以看作由“基本图案”经过平移得到，其它选项的图案都不能看作由“基本图案”经过平移得到. 2. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点的坐标为，横坐标，纵坐标， 又∵平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限. 3. 下列各数为无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义判断，无限不循环小数是无理数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A、，3是整数，属于有理数，不符合要求； B、是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； C、是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D、是分数，属于有理数，不符合要求． 4. 若将点向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点Q．则点Q坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照平移规则：左右平移只改变点的横坐标，右加左减，上下平移只改变点的纵坐标，下减上加，进行计算即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：∵将点向右平移个单位，需给横坐标加，再向下平移个单位，需给纵坐标减， ∴点的坐标为，即． 5. 如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键是掌握垂线段最短的定理．根据题意，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短， 故选：A． 6. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：、，  （内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； 、，  （内错角相等，两直线平行），不能判定，故本选项符合题意； 、 ，  （内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； 、 ，  （同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． 7. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原算式错误； B、，原算式错误； C、，正确 D、，原算式错误. 8. 若是二元一次方程的一个解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 9. 介于两个相邻的整数之间，那么这两个整数的和为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算相邻整数的立方，确定的取值范围，得到两个相邻整数后计算它们的和即可． 【详解】解：∵，， 又∵ ， ∴， 即， ∴介于的两个相邻整数是和， ∴两个整数的和为． 10. 如图，，，三角形经过某种变换，第一次得到三角形，第二次得到三角形，第三次得到三角形，第四次得到三角形，第五次得到三角形…，三角形内部的点随之发生相同的变换，以此类推，第25次变换后，点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，点每次变换一个周期，由第25次变换后是第个周期第一个点，进一步得到第个周期第个点为，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，点： 第一次变换（向下平移个单位）后：， 第二次变换（向右平移个单位）后：， 第三次变换（向上平移个单位）后：， 第四次变换（向右平移个单位）后：， 第五次变换（向下平移个单位）后：， 第六次变换（向右平移个单位）后：， ， ∴点每次变换一个周期， ∵， ∴第25次变换后是第个周期第一个点， 第一个周期第个点为： ， 第二个周期第个点为： ， ， ∴第个周期第个点为， 当时，点， ∴第25次变换后，点M的坐标是． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根、相反数，先计算 的值，再求其相反数． 【详解】解： ， ， 的相反数是 ， 的相反数是． 故答案为： 12. 若，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 移项，得 开平方，得 . 13. 比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 14. 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，已知AD＝6，EF＝8，CG＝3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】39 【解析】 【分析】根据平移的性质可得△DEF≌△ABC，S△DEF＝S△ABC，则阴影部分的面积＝梯形BEFG的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵Rt△ABC沿AB的方向平移AD距离得△DEF， ∴△DEF≌△ABC， ∴EF=BC=8，S△DEF=S△ABC，BE=AD=6， ∴S△ABC−S△DBG=S△DEF−S△DBG， ∴S四边形ACGD=S梯形BEFG， ∵CG=3， ∴BG=BC−CG=8−3=5， ∴S梯形BEFG=（BG＋EF）•BE=（5＋8）×6=39． ∴S四边形ACGD=S梯形BEFG=39 故答案为：39． 【点睛】本题考查了平移的基本性质和梯形的面积公式．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等． 15. 如图，某工程队从点A出发，沿北偏西a方向铺设管道，由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向，从点B沿北偏东方向继续铺设段，到达点D又改变方向，沿着与平行的方向铺设段，则的大小为______．（用含a的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据方向角的定义及平行线的性质，求出的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，设点处的正北方向为射线，点处的正北方向为射线， 由题意可知，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，对任意一点，点的值的定义如下：；比如点，，点，．如图，正方形，，，点C、D在y轴右侧，点为正方形边上的点，现有一个实数a，，当时，这样的点有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，结合定义分情况讨论点的个数即可． 【详解】解：在正方形中，，，则，， 即，， 当点在上，， 当，即，，不符合题意； 当，即，，由于，当时满足条件，故存在1个点符合题意； 当点在上，， 当，即，，由于，当时满足条件，故存在2个点符合题意； 当，即或，，故不符合题意； 当点在上，， 当，即，，故不符合题意； 当，即，，由于，当时满足条件，故存在1个点符合题意； 当点在上，， 则，，由于，当时满足条件，故存在2个点符合题意； 综上所述，共有6个． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系与几何综合，不等式的性质，能够结合不同参数的取值范围进行讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 用指定的方法解下列方程组． （1）（代入法）； （2）（加减法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程组运用代入消元法解答即可； （2）方程组运用加减消元法解答即可． 【小问1详解】 解：， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得：， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：； 把代入①得，， 解得：， 所以，方程组的解为． 19. 完成下面的推理：如图，点分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 证明：， ______（_________）， ______（________）， ． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】利用平行线的性质证明即可求证． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， （两直线平行，同位角相等）， ， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等． 20. 已知正数b的两个平方根是，． （1）求a，b的值； （2）若的整数部分为m，小数部分为n，求m，n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）夹逼法求出即可. 【小问1详解】 解：由题意，， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，即， ∴. 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知A、B、C点都是格点，且．将线段沿某一方向平移得到线段（点A与C对应，点B与D对应），请仅用无刻度的直尺在给定网格作图． （1）在图中画出平面直角坐标系和线段． （2）D的坐标为______，平移过程中扫过的面积为______． （3）平移线段，若它的两个端点都落在坐标轴上，则A点对应点坐标是______． （4）点E为x轴上的点，三角形的面积等于7.5，画出E点位置． 【答案】（1） 解：由题意，建立直角坐标系，线段如图所示； （2）；10 （3） （4） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标确定原点的位置，进而画出坐标系，根据平移规则，画出线段即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标，分割法求出四边形的面积即可； （3）根据要求进行平移，确定点的坐标即可； （4）先在轴上确定一点，使的面积为7.5，根据平移思想，画出，交轴于点即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知：， 扫过的面积为； 【小问3详解】 解：如图，当平移到时，符合题意，此时点的对应点坐标为； 【小问4详解】 解：由作图可知：. 22. 按照国际标准，A系列纸为长宽之比等于的长方形．某中学有一块面积为平方米长方形空地，它的长宽比恰好与A系列纸相同，为美化校园环境，学校计划在该空地正中间沿着边的方向修建面积为50平方米的花圃草坪，四周留至少1米宽的走道． （1）求学校这块空地的长与宽． （2）如图1，若修建的花圃草坪区域为正方形，学校的计划能否实现？试通过计算说明． （3）如图2，学校为了实现计划，改为修建长方形花圃草坪，当花圃草坪区域的长边与短边之比最小时，这块空地左右走道的宽是______米（直接写出答案）． 【答案】（1）8米，米 （2） 解：不能实现，理由如下： 设正方形的边长为a米，根据题意，得 ， 解得（米）， 因为空地的宽为8米，要在宽方向上留出至少1米宽的走道， 则花圃的边长为（米）， 由，且， 所以， 花圃的边长超过了空地宽方向上允许的最大长度，无法满足走道宽度的要求， 所以学校计划不能实现； （3） 【解析】 【分析】（1）设空地的宽为x米，则长为米，根据面积相等列出方程，求出解； （2）设正方形的边长为a米，根据面积相等求出正方形的边长为米，再根据花圃的边长超过了空地宽方向上允许的最大长度，无法满足走道宽度的要求，即可得出答案； （3）设左右走道的宽为a米，上下走道的宽为b米，其中，根据面积相等可得，再根据长与宽的比最小，即最大，然后令可得答案． 【小问1详解】 解：设空地的宽为x米，则长为米，根据题意，得 ， 则， 解得，（负值舍去） 所以宽为8米，长为米； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设左右走道的宽为a米，上下走道的宽为b米，其中，根据题意，得 ， 可得． ∵长与宽的比最小，即最大， ∴当时，， 解得． 所以左右的走道的宽为米． 23. 在数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（A、B、C逆时针方向排列），其中，，为主题展开数学活动，B点始终在线段上． （1）如图1，当时，求的大小． （2）如图2，三角尺绕着点B旋转，当C点在下方，A点在两平行线之间时，延长线交线段于点D，与的平分线交于点O，请你探究是否为定值，并说明理由． （3）若直角三角尺的C点在线段上，边交线段于点E，将三角形沿翻折，C落在点F处，，点G为射线上一动点，连接，的平分线所在直线交线段于点K，求与的数量关系_______．（直接写答案） 【答案】（1） （2） 解：是定值，理由如下： 设交于点，交于点， ∵与的平分线交于点O， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵， 故是定值； （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，根据角的和差关系，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的大小即可； （2）设交于点，交于点，设，根据平行线的性质和三角形的内角和为180度，推出即可； （3）根据折叠的性质，角的和差关系和倍数关系以及平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，分点在上和的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵折叠， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵的平分线所在直线交线段于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图，设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上：． 24. 已知，在平面直角坐标系中，，，，，线段与轴交于点． （1）直接写出点，点坐标______； （2），，求三角形的面积（用含的式子表示）． （3）三角形的面积等于． （）点在射线上，求点的坐标． （）在满足条件的点中取两个点，，，连接，，三角形的面积等于，，满足的数量关系为______．（直接写出答案） 【答案】（1）， （2） （3）（），（），，． 【解析】 【分析】（）利用二次根式有意义的条件求出的值即可求解； （）如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过点作轴，轴的平行线，交点如图所示，分当时，当时，利用割补法列式即可求解； （3）（）如图，连接，过作轴于，过作轴于，证明在线段上，，可得，结合，可得，再进一步求解即可； （）如图，取格点，过，分别作的平行线，当时，可得，点在直线上，点在直线上，且直线与直线，与直线之间的距离相等，记与直线的交点为，而三角形的面积等于，可得，再进一步分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：如图，过作轴的平行线，过作轴的平行线，过点作轴，轴的平行线，交点如图所示， 当时， ∵，，，， ∴，，，，，， ∴ ； 当时，如图， 同理，，，， ∴ ， 综上：． 【小问3详解】 解：（）如图，连接，过作轴于，过作轴于， ∴， ∴在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （）如图，取格点，过，分别作的平行线，当时， ∵， ∴点在直线上，点在直线上，且直线与直线，与直线之间的距离相等， 记与直线的交点为，而三角形的面积等于， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，如图， 同理可得：， ∴， 当时，如图， 同理可得：， 当都在直线上时，如图， 由时， ∴， 结合平移的性质可得：， ∴， 综上：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $