二次函数提升：平行四边形存在性问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

二次函数提升：平行四边形存在性问题专项训练-2026年中考数学二轮复习 1．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 2．如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，直线经过点B，C． (1)求抛物线的解析式． (2)直线（其中）与线段交于点，与抛物线交于点，连接，当线段长度最大时，求证：四边形是平行四边形． 3．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线过A，B两点． (1)求这个抛物线的解析式． (2)作垂直于x轴的直线，在第一象限交直线于点M，交这条抛物线于点N．当t取何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)在（2）的情况下，是否存在点D，使以A，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为、、，将此三角板绕原点O逆时针旋转，得到三角形． (1)一抛物线经过点、、B，求该抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上有一动点M，对称轴上有一动点N，求当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时点N的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于两点，直线与拋物线交于A、D两点，与轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，求的最大面积； (3)若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标． 7．如图，抛物线与轴交、两点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上有一动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点的坐标． 8．如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过、B两点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直于轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)在（2）的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标． 9．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）把线段沿轴向右平移，设平移后、的对应点分别为、，当落在抛物线上时，求、的坐标； （3）除（2）中的平行四边形外，在轴和抛物线上是否还分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出、的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线，y的最大值为． (1)求抛物线的表达式． (2)点Q和点P是直线上方抛物线上一动点（点Q在点P的左侧），分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M，连接．若四边形是平行四边形，试求平行四边形周长的最大值以及此时P点的坐标． 11．如图，抛物线经过平行四边形的顶点，，，抛物线与x轴另一交点为E，经过E点的直线将平行四边形分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点，为直线上方抛物线上一点，设点P横坐标为t． (1)求抛物线的解析式． (2)求F点坐标． (3)t为何值时，面积最大？ 12．如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由． 13．如图，抛物线过点，点P在抛物线上，且横坐标为m，抛物线P、Q之间的部分（包括P、Q点）图象记为M． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求图象M最高点与最低点纵坐标的差． (3)点B坐标为，以为对角线构造平行四边形，轴，过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分．当时，求平行四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 2．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质等知识是解题的关键． （1）求出点B，C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，再由二次函数的性质可得当时，线段长度最大，为，再由，可得且，即可求证． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴ 将点B，C坐标代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：． （2）解：直线，且， ， ， 当时，线段长度最大，为， 又， ， 即此时且， 四边形是平行四边形． 3．(1) (2)当时，有最大值，最大值为1 (3)点D的坐标为或或 【分析】（1）先求出点A的坐标和点B的坐标，再根据待定系数法求解即可． （2）直线与直线的交点M的坐标是，直线与抛物线的交点N的坐标是，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． （3）由（1）（2）知，点M的坐标是，点N的坐标是，点，分为当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴点A的坐标是，点B的坐标是． ∵抛物线过A，B两点， ， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：直线与直线的交点M的坐标是． 直线与抛物线的交点N的坐标是， ∴． ∴当时，有最大值，最大值为1． （3）解：存在． 由（1）（2）知，点M的坐标是，点N的坐标是，点． 当为平行四边形的边时， 则且，则点D的坐标为或． 当为平行四边形的对角线时，设的中点为Q，则Q的坐标为， 又∵Q为的中点， ∴点D的坐标是． 综上，点D的坐标为或或． 4．(1) (2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 5．(1) (2) (3)，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到点、的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）作，设出点坐标，分割法表示出四边形的面积，根据四边形的面积是面积的4倍，列出方程进行求解即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）存在， 设，连接， ∵，， ∴， ∵四边形的面积是面积的4倍， ∴ ， 解得， ∴，即； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∵、， 当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时，分3种情况讨论； ①当为对角线时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 6．(1) (2)的面积最大值为 (3)或或或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式并求解，即可获得答案； （2）首先利用待定系数法确定直线解析式，联立直线和抛物线解析式并求解，即可确定点坐标，进而可得，当取得最大值时，的面积取得最大值；设，则，易得，根据二次函数的性质确定取得最大值，即可获得答案； （3）分以为边和以为对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：拋物线与轴交于两点， ，解得：， 拋物线解析式为； （2）将点代入， ，解得， 直线解析式为， 依题意，联立， 解得：， ， ， 当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，则， ， 时，取得最大值为， 的面积最大值为； （3）是与轴的交点， 当时，， ， ①当、为对角线时， 在轴上， ∴的中点为，此时的中点也为， ∴点的纵坐标为2， 在抛物线上， ， 解得：， 或； ②当、为对角线时， 在轴上， ∴的中点纵坐标为0，此时的中点纵坐标也为0， ∴可有，即， 解得， ∴点的纵坐标为， 在抛物线上， ， 解得：， 或； ③当为对角线时， 在轴上， ∴的中点纵坐标为1，此时的中点纵坐标也为1， ∴， ∴，解得，即的纵坐标为2， ， 解得：， 或． 综上所述，或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数和一次函数综合应用、平行四边形的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 7．(1) (2)点M的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握菱形的性质、平行四边形的性质是解决本题的关键． （1）把、代入，转化为解方程组即可； （2）当以为对角线，利用和四边形为平行四边形得到四边形为菱形，则点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点；当以为边时，根据平行四边形的性质得到，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标． 【详解】（1）解：把、代入， 则有， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，点M的坐标为； 当以为对角线， ∵四边形为平行四边形， 而， ∴四边形为菱形， ∴与互相垂直平分， ∴点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点， ∴点坐标为； 当以为边时， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴的横坐标为， 当时，， 同理当四边形是平行四边形时，可得点的横坐标为5， 当时，， ∴， 综上所述，点M的坐标为或或． 8．(1) (2)当时，有最大值，最大值为4 (3)或或 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）用含t的式子表示出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据（2）所求可求出点M和点N的坐标，再分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵抛物线过、B两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4； （3）解：由（2）可知，当时，， ∴． 设， 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 9．（1）；（2），；（3），；，；， 【分析】（1）先求得B点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式； （2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标； （3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可能存在3种满足条件的情形，需要分类讨论，避免漏解． 【详解】解：（1）∵A（-2，0），对称轴为直线x=1． ∴B（4，0）， 把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+4； （2）由抛物线y=-x2+x+4可知C（0，4）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性， ∴C′（2，4）， ∴A′（0，0）． （3）存在． 设F（x，-x2+x+4）． 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形， ①若AC为平行四边形的边，如答图1-1所示，则EF∥AC且EF=AC． 过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1， ∴DE1=2，DF1=4． ∴-x2+x+4=-4， 解得：x1=1+，x2=1-． ∴F1（1+，-4），F2（1-，-4）； ∴E1（3+，0），E2（3-，0）． ②若AC为平行四边形的对角线，如答图1-2所示． ∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴， ∴点C为点F关于x=1的对称点， ∴F3（2，4），CF3=2． ∴AE3=2， ∴E3（-4，0）， 综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形； 点E、F的坐标为：，；，；， 【点睛】此题考查二次函数综合题，待定系数法求解析式，根据抛物线的性质求得对称点的问题，平行四边形的性质等．分类讨论思想的运用是解题的关键． 10．(1) (2)12， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）一般式化为顶点式，根据最值求出的值即可； （2）求出两点坐标，进而求出直线的解析式，根据平行四边形的性质，得到，进而设出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，求出两点的横坐标之间的关系，进而设出两点坐标，得到两点的坐标，将平行四边形周长转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵，且y的最大值为， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴设直线的解析式为：， 令，整理，得：， ∴， 设，则：，， ∴， ∵分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 ， ∴当时，四边形的周长最大为12， 当时，， 此时， ∴． 11．(1) (2) (3)当时，的面积最大 【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）先求中点坐标，再求直线的解析式，联立求 交点F的坐标； （3）作轴于点，交于点，作于，用含的代数式表示点和点的坐标，再求出关于的函数，利用函数的性质求解． 【详解】（1）把，，，代入，得 ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）， ， 线段的中点为， 直线将平行四边形分割成面积相等的两部分， 直线过平行四边形的对称中心， 关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 把和对称中心的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 或（舍） ， （3）如图，作轴于点，交于点，作于， 点横坐标为， ，， ， ， ， 当时，面积最大． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，直角三角形的性质，能够运用思想数形结合的思想是解题的关键． 12．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于M，如图1，设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解； （3）如图2，分类讨论：当四边形为平行四边形，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中求出a即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 作轴交于M，如图1， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时P点坐标为； （3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线， 当四边形为平行四边形，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 13．(1) (2)16 (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行四边形的性质，运用数形结合和分类讨论的思想； （1）运用待定系数法将坐标代入解析式即可求出； （2）运用二次函数的性质可得抛物线的顶点坐标为，即图象最高点为顶点，其纵坐标为4，再求得，P点为图象最低点，其纵坐标为，即可求得答案； （3）当时，，，由平行四边形性质可得：，，设A点坐标为，则，直线l将平行四边形的面积分成的两部分，根据直线l与交点D的位置进行分类讨论，分别利用三角形的面积占平行四边形面积的来建立方程求解. 【详解】（1）解：把代入中得： ， 解得， ∴抛物线解析式为. （2）解：在中，当时，， ∴ 如图所示: ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当时，图象最低点为P，最高点为顶点 ∴当时，， ∴图象M最高点与最低点纵坐标的差为. 故答案为：16. （3）解：当时，， ∵以为对角线构造平行四边形，轴， ∴， 设，则， ∴， ∵过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分， ∴分两种情况： 当直线l与的交点在线段上时，如图， ∴， ∴， 解得， ∴； 当直线l与线段相交于点E时，如图， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 综上所述，当时，平行四边形的面积为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $