湖南长沙市2025-2026学年高二下学期期中考试自编模拟数学试卷（十）

《湖南长沙市2025-2026学年高二下学期期中考试自编模拟数学试卷（十）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B C C D B AB ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】解不等式以求集合，再根据交集的运算即可求解. 【详解】解不等式得，即， 因为，所以. 2．A 【详解】因为， 所以. 3．C 【分析】代入百分位数公式，即可求解. 【详解】前4组的频率和为， 所以学生成绩的75百分位数在第5组，设为， 所以，得. 所以估计估计学生成绩的75百分位数为. 故选：C 4．B 【分析】利用基本不等式计算可得结果. 【详解】易知，因此， 当且仅当时，等号成立，的最小值是6. 故选：B 5．C 【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案. 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 6．C 【分析】根据题设条件推得函数的对称性和周期性，并利用函数的这些性质可推得C项正确，根据条件无法确定其它选项正误. 【详解】由可知函数的一条对称轴为直线， 由，可知函数的一个对称中心为，故函数的一个周期为. 对于，取，可得，解得， 又由，取，可得，故C正确. 由函数的周期性和对称性，可得，根据题设条件无法推得其它三个选项的正误. 故选：C. 7．D 【分析】由题知为等边三角形，进而得点A到渐近线的距离为，再结合点到直线的距离公式得，最后根据离心率公式求解即可. 【详解】双曲线，右顶点，不妨取渐近线方程为， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，在正三角形中，点A到渐近线的距离为， 由点到直线的距离公式，化简得， 所以， 故选：D 8．B 【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，然后利用正方体的外接球的直径与棱长之间的关系求解棱长，即可根据正方体的体积公式求解. 【详解】如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径, 设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由于, 由题意可知，所以. 即，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故B正确. 故选：B 9．AB 【分析】根据函数单调性的性质，结合奇函数的定义、指数的运算法则、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且， 故为奇函数，A正确； 对于BC，，故方程在上有解，B正确，C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，D错误． 故选：AB. 10．ABD 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 11．ABD 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 12．或 【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程. 【详解】设，则，则，此时， 所以或，又由已知， 直线AB的方程为或， 整理得或. 故答案为：或. 13． 【详解】 ， 所以函数的最小正周期. 14．/ 【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】设点，，，， 由，，， 可得A，B两点在圆上，且， 即有，即三角形OAB为等边三角形，， 所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和， 故设，则， 所以 ， 其中， 所以最大值为，当且仅当时，可取最大值. 故答案为： 15．(1) (2)12 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 16．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设中点为，连接，求出是等边三角形，得到，设出边长，通过垂直证明点在以为圆心，为直径的圆上，利用勾股定理逆定理得出，进而得出面，即可证明结论； （2）利用得出是等腰直角三角形，确定点的位置，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，求出平面与平面的法向量，即可求出平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在三棱柱中，， 设中点为，连接， 在中，， ∴是等边三角形， ∴ 设，则，， 在中，， ∴点在以为圆心，为直径的圆上， ∴， 在中，， ∴是直角三角形，， ∵，面，面， ∴面， ∵面， ∴平面平面. （2）由题意及（1）得， 在三棱柱中，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形，垂直平分， ∴， 作出空间直角坐标系如下图所示， ∴， 在面中， 设其一个法向量为， ∴，即，解得 当时，， 在面中，由几何知识得，其一个法向量为， 设平面与平面所成角为， . 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，利用点差法得到，代入条件化简得，结合联立求出，即得椭圆方程； （2）由题意易得，结合可得，求得点，代入坐标化简得，利用（1）的结论计算即可证明结论. 【详解】（1）设，联立， 将两式相减，整理得， 因线段AB的中点为，则有，又直线的斜率为，故. 代入上式，可得，即①，又因，即得②， 联立①②，解得，故椭圆C的方程为. （2）因线段AB的中点为，则， 故由可得， 设点，则，解得，即，则， 又， 同理， 故. 18．(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，根据极值的定义即可求出答案； （2）根据函数的单调性，即可求出值域； （3）可化为，令，通过求导证明即可证明不等式. 【详解】（1）已知函数的定义域为， 则， 因，故，令得， 当时，，在单调递增； 当时，， 在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值． （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以， 故在上的最大值为， 因此在上的值域为． （3）因为， 由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 19．(1)； (2)①；②的最大值为，此时. 【分析】（1）根据正难则反的原则和古典概型计算公式即可得到答案； （2）①方法一：求出，再求和即可；方法二：利用组合公式计算即可； ②求出，最后利用基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂， 则. （2）①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为， 则， 先求第次摸到的球的编号为的数学期望， 的所有可能的取值为：， 根据无放回随机抽样的特点，， 所以， 所以， 方法2：从1，2，中选个数共有种组合， 考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望， 对每个数，它在所有元子集中出现的次数为， 所有元子集的总和为， 所以所求期望为：. ②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数即为，则， 所有可能的取值为：， 则， 所以， 因为， 所以， 所以， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，此时. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市2025-2026学年高二下学期期中考试自编模拟数学试卷（十） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C．2 D． 3．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则估计学生成绩的75百分位数为（    ） A．79 B．80 C．82 D．84 4．若实数，满足，则的最小值是（    ） A．18 B．6 C． D． 5．已知向量，，，，均为实数，且，，则（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 6．已知定义在上的函数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8．圆锥的底面半径为2，高为，现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体，则该正方体体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在R上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 10．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为__________. 13．函数的最小正周期是______． 14．已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 16．(15分)如图，在三棱柱中，． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 17．(15分)已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为． (1)求椭圆C的方程； (2)若点P满足，求证：． 18．(17分)已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在上的值域； (3)设，证明：． 19．(17分)袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望. (1)当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率； (2)若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题： ①求试验期所摸小球编号之和的数学期望； ②当时，求的最大值以及此时的值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $