精品解析：湖南省九师联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册、第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数求导即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 2. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】由散点图可知，图（1）中两个变量成正相关，且散点图近似在一条直线上，所以且； 图（2）中两个变量成负相关，且散点图比较分散，所以且； 所以. 故选：D 3. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 4. 若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用二项分布的概率公式，结合期望方差公式计算判断即可. 【详解】因为，所以，故A错误； ，故B错误； ，，所以，，故正确，错误. 故选：C. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 80 C. D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中常数项为. 故选：C 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用概率性质得出，再结合对立事件概率公式得出，最后应用条件概率公式计算求解. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 因为，所以， 所以． 故选:A． 7. 设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（ ） 附：若，则. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：B. 8. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，令，利用导数说明函数的单调性，画出的图象，依题意与有两个交点，即可得解. 【详解】令，则，则， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，当时， 所以的图象如下所示： 依题意与有两个交点，则，则. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有三名男生､两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B. 如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D. 如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用捆绑法即可计算；对B，利用插空法即可计算；对C，先排男生在两端即可；对D，根据正难则反的原则计算即可. 【详解】对于A，将这两名女生捆绑，作为一个＂元素＂与剩下的三名男生进行全排列， 此时共有种不同的排法，故A正确； 对于B，先对三名男生进行全排列，再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中，此时共有种不同的排法，故B正确； 对于C，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时共有种不同的排法，故C错误； 对于D，5个人排成一排的全排列有种，三名男生连排在一起的排法有种， 所以如果三名男生不能连排在一起，此时有种不同的排法，故D错误． 故选：AB． 10. 已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在，两点处的切线相交于点的中点是，若，则（ ） A. B. 的准线方程是 C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据焦半径公式求出，即可得到抛物线方程，从而判断A、B，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，表示出点坐标，即可判断C，利用导数的几何意义表示出切线方程，联立求出点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为，所以，解得， 所以抛物线，准线方程为，故B正确； 又点在抛物线上，所以，解得，故A错误； 设直线的方程为，由，可得， 设，，则，， 所以的中点的横坐标为，则， 即，显然，所以点在抛物线上，故C正确； 由，则，所以抛物线在，两点处的切线分别为，， 则，解得， 所以， 所以，即点在的准线上，故D正确. 故选：BCD 11. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出，即可判断A，根据等比数列的定义判断B，求出，再由作差法比较大小，即可判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为，即，解得，故A错误； 对于B：因为，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C：由B可知，则， 又， 所以，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时成立， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的方程为，依题意可得，即可求出其离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为， 依题意可得， 所以的离心率. 故答案为： 13. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建系，分别计算的坐标，利用即可求出. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 14. 甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7，8的卡片各1张，两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知可分为2大类：①两人一共抽取了4张卡片，此时乙抽到6，7或5，8，当乙抽到6，7时，甲排除5，8；当乙抽到5，8时，甲排除6，7，②两人一共抽取了5张卡片，当甲抽取的数字为1，5，7；2，5，6时，乙在剩余的5个数字中随意抽取2张卡片；分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可分为2大类： ①两人一共抽取了4张卡片，此时乙抽到6，7或5，8， 当乙抽到6，7时，甲排除5，8； 当乙抽到5，8时，甲排除6，7，此时概率； ②两人一共抽取了5张卡片，当甲抽取的数字为1，5，7；2，5，6时， 乙在剩余的5个数字中随意抽取2张卡片； 当甲抽取的数字为1，4，8；2，3，8；2，4，7；3，4，6时， 要排除乙抽到6，7或5，8，所以， 所以游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法即可得到答案. 【小问1详解】 设数列的公差为，则． 由得，化简得， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 两式相减得， 所以． 16. 甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y，如下表： 零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数y 甲 4 5 20 15 6 乙 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与1.03（cm）的误差不超过0.01（cm），其余零件为二等品． （1）试根据上述数据建立一个2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断加工后的零件是不是一等品与甲、乙有关？ （2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用，设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表： 一等品零件数 二等品零件数 合计 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 加工后零件是否为一等品与甲、乙有关． （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意写出二联表，代入公式计算即可； （2）所求概率为超几何分布，代入公式求概率，列表格求得数学期望. 【小问1详解】 2×2列联表为： 一等品零件数 二等品零件数 合计 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 零假设为：加工零件是否为一等品与甲、乙无关． 由列联表得：， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为加工后零件是否为一等品与甲、乙有关． 【小问2详解】 抽取出的7个一等品零件中，甲加工的4个，乙加工的3个． 的所有取值为：0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 17. 如图，在三棱柱中，，，，是的中点，. （1）求三棱柱的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面平面，作交于点，即可得到平面，再由柱体的体积公式计算可得； （2）以为轴，为轴，过点作与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为，，是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，作交于点，平面， 所以平面， 则为三棱柱的高， 又，，所以，， 又，所以，则，即为等腰直角三角形， 所以， 所以三棱柱的体积. 【小问2详解】 如图以为轴，为轴，过点作与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称两点为“桥墩”. （1）若，试说明函数能否是以两点为“桥墩”的“桥函数”？ （2）判断函数与是不是“桥函数”？并说明你的理由. 【答案】（1）是 （2） 函数不是“桥函数”，是 “桥函数”，理由如下： 对于函数，则，显然在定义域上单调递减， 所以在函数上任意两点的切线的斜率均不相同， 故不满足“直线恰好是曲线的一条切线”，所以不是“桥函数”； 对于，则， 设， 所以点处的切线方程为和， 所以， 所以， 不妨取且， 代入，可得 则，即， 所以，不妨取，则，， 所以， 又在点处的切线的斜率，， 所以函数在，两点的直线恰好是曲线的一条切线， 此时切线的方程为， 再说明当时，函数的图象不在的下方， 即需要说明对恒成立， 因为对任意的实数，横跨， 即恒成立， 所以是 “桥函数”. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出两点处的切线方程，再结合所给定义判断即可； （2）求出的导函数，根据导函数的单调性判断不是“桥函数”；设设，求出函数的导函数，表示出切线方程，依题意可得且，取，，结合所给定义证明即可. 【小问1详解】 因为，所以，则，， 所以函数在处的切线均为， 因此经过两点的直线恰好为的一条切线， 又对恒成立， 所以函数是以两点为“桥墩”的“桥函数”. 【小问2详解】 略 19. 已知过点的椭圆的离心率为. （1）求的方程； （2）已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合. （i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点； （ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1） （2） 由，消去整理得， 则， 设，，则，， 所以 ； （i）因为直线与圆相切，所以，即， 所以， 所以，即， 所以以为直径的圆经过坐标原点； （ii）因为椭圆的左顶点为， 所以 ， 所以，即， 所以或； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，即， 令，得， 则直线恒过点，此时，符合题意； 故直线恒过定点，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得即可； （2）联立直线与椭圆方程，消元，设，，列出，，；（i）由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，即可求出，即可得证；（ii）由斜率公式得到，即可求出定点坐标. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册、第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 80 C. D. 160 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（ ） 附：若，则. A. B. C. D. 8. 若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有三名男生､两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（ ） A. 如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B. 如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C. 如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D. 如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法 10. 已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在，两点处的切线相交于点的中点是，若，则（ ） A. B. 的准线方程是 C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上 11. 设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，则的离心率为__________. 13. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则_____． 14. 甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7，8的卡片各1张，两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y，如下表： 零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数y 甲 4 5 20 15 6 乙 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与1.03（cm）的误差不超过0.01（cm），其余零件为二等品． （1）试根据上述数据建立一个2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断加工后的零件是不是一等品与甲、乙有关？ （2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用，设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 17. 如图，在三棱柱中，，，，是的中点，. （1）求三棱柱的体积； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称两点为“桥墩”. （1）若，试说明函数能否是以两点为“桥墩”的“桥函数”？ （2）判断函数与是不是“桥函数”？并说明你的理由. 19. 已知过点的椭圆的离心率为. （1）求的方程； （2）已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合. （i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点； （ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $