精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学2025—2026学年下学期八年级期中数学试题

大庆市第六十九中学 2025—2026学年度下学期期中初二年级 数学试题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟． 5．全卷共28小题，总分120分． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 9，12，13 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，通过验证两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A：最长边长为13，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B：最长边长为6，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； C：最长边长为9，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D：最长边长为25，，，即，能作为直角三角形三边长，符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，即可判断该点所在象限； 【详解】点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， 点在第四象限． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的立方根是 B. C. 的算术平方根是5 D. 9的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A，，的立方根是，故选项A错误，不符合题意； 选项B，表示36的算术平方根，结果为非负数，，故选项B错误，不符合题意； 选项C，，且正数的算术平方根为正的平方根，的算术平方根是，故选项C正确，符合题意； 选项D，，的平方根是，故选项D错误，不符合题意． 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和加法、除法法则，根据二次根式的性质和运算规则检查每个选项的计算是否正确即可． 【详解】解：对于A：∵，∴A错误． 对于B：∵，∴B错误． 对于C：∵，∴C正确． 对于D：∵，∴D错误． 故选：C． 5. 方程的解是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 6. 若点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0．根据y轴上点的横坐标为0，计算出m的值，从而得出点P坐标． 【详解】解：∵点在y轴上， ， 解得：， ， ∴点P的坐标为． 故选：C． 7. 如图，，，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理可得，相邻的两个小正方形的面积等于大正方形的面积，从而求出所有正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， 在中，， ∴， 同理可得，，， ∴图中所有正方形的面积之和为． 8. 《九章算术》中有题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意：若干人一起买东西．如果每人出8钱，就多出3钱；如果每人出7钱，就还差4钱．设人数为x人，物品价格为y钱，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找出等量关系即可列出方程组． 【详解】解：∵人数为人，物品价格为钱， 根据“每人出8钱，多出3钱”，可知总出钱数比物价多3钱，可得． 根据“每人出7钱，还差4钱”，可知物价比总出钱数多4钱，可得． ∴可列方程组为． 9. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题的是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示： ∵长方体的底面边长分别为和，高为． ∴，， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短路径长为； 故选：B． 10. 已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组的解，熟练掌握解二元一次方程（组的方法是解题的关键．①把代入方程组，求出方程组的解，即可得出的值，然后把代入方程中得出的值，比较即可；②解方程组得到、的值，然后求出的值，如果的值为0，则，互为相反数，否则不是；③根据②中即可得出方程组的非负整数解，从而判断即可；④根据②的证明可知，得到，结合即可求出的值． 【详解】解：①.当时，关于，的方程组为， 解得， ， 当时，， 当时，方程组的解也是的解，正确； ②.， 得，， 解得， 把代入得，， ， 无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确； ③.由②得， 原方程组的非负整数解是，，，，共4对，错误； ④.得，， ， ， 解得，正确； 正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在，，，中，无理数有__________个． 【答案】2 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐一判断题目给出的各数，统计得到无理数的个数即可． 【详解】解：根据无理数的定义可得， 在，，，中，无理数有：，，共2个． 12. 若是一个关于x，y的二元一次方程，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，即可得出答案． 【详解】解：是一个关于x，y的二元一次方程， ，， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，长方形，点和点的位置分别用有序数对表示是、，那么点的位置用数对表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有序数对．根据有序数对的表示方法解答即可． 【详解】解：∵点和点的位置用数对表示分别是、， ∴点的位置用数对表示为． 故答案为：． 14. 甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东方向走了3.6公里，乙往北偏西方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距_____公里． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据方位角确定两人行走路线的夹角为，构造直角三角形，再利用勾股定理计算斜边长度，即可得到甲、乙两人的距离． 【详解】解：如图，甲往北偏东方向走的距离是，乙往北偏西方向走的距离是， 根据题意可知，，公里，公里， 则（公里）． 15. 已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了第四象限内的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再由第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：0． 16. 甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可． 【详解】解：根据题意可得出：，， 解得：， ∴， 故答案为：3． 17. 若为实数，且，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 18. 长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况①当点E在线段上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案．②当点E在线段的延长线上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， 分以下两种情况讨论： ①当点E在线段上时， ， ， 由折叠可知：， 设，则， ， 解得， 点； ②当点E在线段的延长线上时， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点． 故答案为：或． 三、解答题（共66分） 19.  计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式，再根据二次根式加减运算的法则进行计算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行展开，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可； 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 选用适当的方法解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）第一个方程已经用含x的式子表示出y，适合用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 因此方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：， 把代入②得：， 解得， 因此方程组的解为． 21. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，列出方程，再把解得代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和，的立方根为． ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根是． 22. 已知：点，，． （1）如图，在平面直角坐标系中描出点A，B，C，画出三角形； （2）求三角形的面积； （3）若点P在坐标轴上，且三角形与三角形的面积相等，直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标的定义描点即可； （2）用长方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可； （3）分两种情况讨论，根据三角形与三角形的面积相等即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图，点A、B、C就是所求作的点，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：三角形的面积； 【小问3详解】 解：当点P在x轴上时， 三角形的面积． 解得：， 所以点P的坐标为或； 当点P在y轴上时， 三角形的面积． 解得：， 所以点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 23. 如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是掌握相关知识．先在中，求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】证明：，，， ， ，， ， ， 是直角三角形． 24. 为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 【答案】A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 【解析】 【分析】设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元．根据购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元，进行列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元． 依题意，得， 解得， ∴A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 25. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】（1）12米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 26. 定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． （1）方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； （2）若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可； （2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，方程的“对称方程”为， 解，得：； 【小问2详解】 由题意，可得方程组为：， ∴，得：， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，，代入①，得：，解得：， ∴． 27. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如；． 解答下列问题： （1）与______互为有理化因式； （2）观察下面的变形规律，请你猜想：______． … （3）利用上面的解法，请化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据材料中的定义可以得到解答； （2）根据材料中给出的规律解答； （3）根据（2）得到的规律进行解答． 【详解】解：（1）∵， ∴与 互为有理化因式， 故答案为； （2）通过观察可得： ， 故答案为； （3）由（2）可得： 原式= =． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，根据材料给定的定义和运算法则进行计算是解题关键 ． 28. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． 【小问2详解】 解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第六十九中学 2025—2026学年度下学期期中初二年级 数学试题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟． 5．全卷共28小题，总分120分． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 9，12，13 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 7，24，25 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的立方根是 B. C. 的算术平方根是5 D. 9的平方根是 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 5. 方程的解是，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）． A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意：若干人一起买东西．如果每人出8钱，就多出3钱；如果每人出7钱，就还差4钱．设人数为x人，物品价格为y钱，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在，，，中，无理数有__________个． 12. 若是一个关于x，y的二元一次方程，那么______． 13. 如图，长方形，点和点的位置分别用有序数对表示是、，那么点的位置用数对表示为___________． 14. 甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东方向走了3.6公里，乙往北偏西方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距_____公里． 15. 已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为__________． 16. 甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____． 17. 若为实数，且，则_____． 18. 长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 三、解答题（共66分） 19.  计算： （1）； （2）． 20. 选用适当的方法解下列方程组 （1） （2） 21. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 22. 已知：点，，． （1）如图，在平面直角坐标系中描出点A，B，C，画出三角形； （2）求三角形的面积； （3）若点P在坐标轴上，且三角形与三角形的面积相等，直接写出此时点P的坐标． 23. 如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 24. 为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 25. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 26. 定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． （1）方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； （2）若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 27. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如；． 解答下列问题： （1）与______互为有理化因式； （2）观察下面的变形规律，请你猜想：______． … （3）利用上面的解法，请化简：． 28. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $