精品解析：广东中山市小榄镇2025-2026学年九年级下学期限时训练数学试卷

2025-2026学年下学期中段限时训练九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 清代·袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的对称轴是直线（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程( ) A. B. C. D. 8. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 分解因式：3x2-6x=__________________． 13. 正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 14. 如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 15. “温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为________米． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：. 17. 解不等式组：并写出该不等式组的最大整数解． 18. 下面是小李化简分式的过程： 解：原式…………第一步 ……………第二步 ……………第三步 ……………………………第四步 （1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第__步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第___步； （2）小李的化简过程从第____步开始出现错误； （3）请你写出正确的化简过程，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 20. 【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） （2）请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 21. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共24分） 22. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）． 【问题解决】 （1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； （3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标． 23. 如图①已知抛物线的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴的正半轴交于点，连接，二次函数的对称轴与轴的交点为． （1）抛物线的对称轴与轴的交点坐标为____，点的坐标为____，点的坐标为____； （2）若点到轴的距离与它到直线的距离相等，试求出抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，如图②是轴的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连接，将沿翻折，的对应点为．在图②中探究：是否存在点，使得恰好落在轴上？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期中段限时训练九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，俯视图指从上往下看到的图形，逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：A、该几何体俯视图是四边形，此选项不符合题意； B、该几何体俯视图是圆，此选项不符合题意； C、该几何体俯视图是带圆心的圆，此选项不符合题意； D、该几何体俯视图是三角形，此选项符合题意． 故选：D． 3. 清代·袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可得到答案． 【详解】解：∵将转化为时，需满足，可得， ∵原数小数点向右移动6位得到， ∴， 即． 4. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，理解并掌握不等式的性质是关键． 不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变； 不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变；由此分析各选项即可． 【详解】解：∵， A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 抛物线的对称轴是直线（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．利用对称轴公式直接求解即可． 【详解】解：， ∴对称轴为直线， 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式的相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵选项B中，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误； ∵ 选项C中，根据积的乘方运算法则，可得，∴C错误； ∵ 选项D中，根据完全平方公式，可得，与等式一致，∴D正确，符合题意． 7. 已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量，先求出售价上升元后的每件利润和日销量，再根据总利润列方程即可． 【详解】解：设某天的售价上升元件，依题意，每件利润为元． 上升元后，日销量下降件，此时日销量为件． 可列方程为． 8. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 9. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 10. 如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，，则，可得，可判断①的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，可知当时，，可判断②的正误；由，可得，将代入得，，可判断③的正误；由，可知、关于对称轴对称，则，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴，①正确，故不符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∴当时，，②正确，故不符合要求； ∵， ∴， 将代入得，，③错误，故符合要求； ∵， ∴、关于对称轴对称，则，④正确，故不符合要求； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 12. 分解因式：3x2-6x=__________________． 【答案】3x（x-2）． 【解析】 【详解】试题解析：3x2-6x=3x（x-2）． 考点：因式分解-运用公式法． 13. 正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴． 在一元二次方程中， 则， ∵， ∴， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 14. 如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 15. “温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出解析式是解决本题的关键．根据题意写出点坐标，利用待定系数法求解析式，再计算出函数的最值即可求解． 【详解】解：根据题意，点A的坐标为，点B的坐标为， 将A，B两点坐标代入， 则， 解得：， ， ∵， ∴当时，y有最大值为， 则大棚的最高处到地面的距离为米， 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：. 【答案】 【解析】 【详解】解： = ． 17. 解不等式组：并写出该不等式组的最大整数解． 【答案】，-3 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解是-3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能求出不等式组的解集是解题的关键． 18. 下面是小李化简分式的过程： 解：原式…………第一步 ……………第二步 ……………第三步 ……………………………第四步 （1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第__步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第___步； （2）小李的化简过程从第____步开始出现错误； （3）请你写出正确的化简过程，并从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）一，四 （2）二 （3） 原式 ． ∵ ∴， ∴， 当时，原式． 【解析】 【分析】（1）根据分式通分及约分的方法可得； （2）根据化简过程即可得出开始出现错误的步骤； （3）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【小问1详解】 小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第四步； 【小问2详解】 小李的化简过程从第二步开始出现错误； 【小问3详解】 略 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，在矩形中，E为边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形； ，， , 于点， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，而于点，，即可证明； （2）由，，，求得，由相似三角形的性质得，进而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 的长是． 20. 【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 （1）请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） （2）请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】（1）建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2） 解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； 【小问2详解】 略 21. 【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】（1）1200元；1000元 （2）；购买A种书架8个，B种书架12个 （3）120 【解析】 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． 【小问2详解】 解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． 【小问3详解】 解：由题意得 ， 解得． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共24分） 22. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）． 【问题解决】 （1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； （3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标． 【答案】（1）； （2）扫地机器人不会触碰到障碍物； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线为，再联立求得从而求出判定即可； （3）分别过、作轴，轴于，设，根据面积公式得，进而分当点在点的右侧时，，和点在点的左侧时，，两种情况讨论求解即可。 【小问1详解】 解：设， ∵过 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设直线为， ∵在上， ∴， ∴， ∴直线为， 联立， 解得或（舍去）， ∴ ∴ ∴扫地机器人不会触碰到障碍物； 【小问3详解】 解：分别过、作轴，轴于，设， ∵， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 当点在点的左侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 综上，机器人的圆心的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质，解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质是解题的关键． 23. 如图①已知抛物线的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴的正半轴交于点，连接，二次函数的对称轴与轴的交点为． （1）抛物线的对称轴与轴的交点坐标为____，点的坐标为____，点的坐标为____； （2）若点到轴的距离与它到直线的距离相等，试求出抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，如图②是轴的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连接，将沿翻折，的对应点为．在图②中探究：是否存在点，使得恰好落在轴上？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）存在，点Q坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点坐标，设，解方程即可求出点坐标； （2）如图①中，作于点，由，列出方程即可解决； （3）分两种情形当在直线上方和当在直线下方，分别列出方程即可解决． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴或， 即：； 【小问2详解】 解：如图①中，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：； 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，即：， ∵， ∴直线的解析式为：， ∵在直线上，在抛物线上，轴，， ∴， 作于， ∵， ∴， ∴， 当在上方时， ， 解得：或（舍）； 当在下方时， ， 解得：或（舍）， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $