精品解析：山东临沂市莒南县2025一2026学年度下学期阶段性素养作 八年级数学试题

2025-2026学年度下学期阶段性素养作业 八年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2. 在中，两直角边长分别是、，则斜边的长是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，为的中位线，点在上，若，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在中，，，，是的角平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知长方形纸片剪下长方形纸片，然后将剪下的长方形纸片拼在长方形的下方（的对应点分别为），恰好．若在的上方拼一个以为斜边的直角，且，长方形的面积为20，则的长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 9. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围为______． 12. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 13. 如图两个正方形的面积分别是289、225，则字母A所代表的正方形的边长为______． 14. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 15. 如图1，车轮为正方形的自行车可在特定路面上平稳行驶，且车轮中心到水平地面的距离保持不变．已知正方形车轮的边长为，则图2中路面横截面最高点到水平地面的距离的长为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 18. 如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 19. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 20. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 21. 综合与实践： 背景阅读：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． 实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸展平． 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形． 问题解决： （1）请在图1中证明四边形MNCB是正方形； （2）若MN＝2，请通过计算来说明矩形BCDE是黄金矩形． 22. 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时_____； （2）当时，求的最小值，并求此时的值； （3）如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 23. 如图，回答下列问题： 【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，、、是从入口C通往三个观光点A、E、F的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E、F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E、F（观光点E、F分别在、上），现要在、上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元，桥梁的造价为100万元，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期阶段性素养作业 八年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且有一个角为直角的四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用平行四边形及矩形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、一组对边平行且有一个角为直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 2. 在中，两直角边长分别是、，则斜边的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别是、， ∴斜边的长是． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； B、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 4. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 5. 如图所示，为的中位线，点在上，若，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形中位线定理推出，由线段的中点定义得到，于是得到的周长． 【详解】解：为的中位线， ， 、分别是和的中点， ， 的周长． 6. 如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图可知垂直平分，，设交于点，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设交于点， 由作图可知：垂直平分，， ∵正方形，， ∴，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴． 7. 如图，在中，，，，是的角平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过D点作于E，首先利用勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过D点作于E ，，， ∴ 是的角平分线， ． 8. 如图，已知长方形纸片剪下长方形纸片，然后将剪下的长方形纸片拼在长方形的下方（的对应点分别为），恰好．若在的上方拼一个以为斜边的直角，且，长方形的面积为20，则的长为（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意可知，，表示出，然后根据长方形的面积为20得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设，由题意可知，， ∵，即， ∴， ∵长方形的面积为20， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 9. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 10. 如图，点P的坐标为，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积与周长为定值；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作轴于，轴于，与交于点，可得四边形是矩形，进而由可得四边形是正方形，得到，，进而得到，即可证明，得到，即可判断①；由直角三角形的性质可得，可得四边形是矩形，进而由得到四边形是正方形，即可判断②；由四边形的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积正方形的面积，即可判断③；由与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，得到，即可判断④． 【详解】解：过P作轴于M，轴于N，与交于点，如图所示： ， ， ∵x轴轴， ， ，则四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ∵与的交点恰好是的中点， ， 在中，是斜边的中线， ， 在Rt中，是斜边的中线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形，故②正确； ， ∴四边形的面积四边形的面积的面积 四边形的面积的面积， 正方形的面积， ， ， ， ， ， ∵，且和的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误； ∵若与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形， ，故④错误； ∴正确的有①②． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数，由此建立不等式求解． 【详解】解： 有意义， ， 解得：， 故答案为：． 12. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 13. 如图两个正方形的面积分别是289、225，则字母A所代表的正方形的边长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 字母A代表的正方形的面积， ∴字母A所代表的正方形的边长为8． 14. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 15. 如图1，车轮为正方形的自行车可在特定路面上平稳行驶，且车轮中心到水平地面的距离保持不变．已知正方形车轮的边长为，则图2中路面横截面最高点到水平地面的距离的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由边长得中心到顶点距离为、到边的距离为，结合高度不变的等量关系，即可求得． 【详解】解：∵正方形车轮边长为，且正方形的中心为对角线的交点， ∴正方形对角线长度：， ∴中心到顶点的距离为对角线的一半，即； 中心到正方形边的垂直距离为边长的一半，即． ∵车轮中心到水平地面的距离保持不变， ∴当车轮顶点接触水平地面时，中心到地面的距离就是． 当车轮滚动到路面最高点时，车轮的边与接触， 此时中心到水平地面的距离中心到车轮边的距离路面最高点到地面的距离， ∴， ∴． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知最简二次根式与能合并． （1）求 的值； （2）若，化简：． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【小问1详解】 解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 18. 如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】先分析出细木棒在盒子内倾斜时露在外面最短的位置，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：如图所示进行标注，当木棒在上时露在盒外面的长度最短， ∴由题意可得：，，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴细木棒露在盒外面的最短长度为：． 19. 如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 21. 综合与实践： 背景阅读：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等． 实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸展平． 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图4）就是黄金矩形． 问题解决： （1）请在图1中证明四边形MNCB是正方形； （2）若MN＝2，请通过计算来说明矩形BCDE是黄金矩形． 【答案】 （1）证明：由矩形的性质可知∠BMN＝∠N＝90°， 由折叠可知∠MBC＝∠N＝90°，MN＝MB， ∴∠BMN＝∠N＝∠MBC＝90°， ∴四边形MNCB是矩形， 又∵MN＝MB， ∴矩形MNCB是正方形． （2）证明：∵MN＝2， ∴AC＝1， 在中，， 由折叠可知， ， 又， ， ∴矩形BCDE为黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据矩形的判定和正方形的判定可得出答案； （2）由勾股定理求出，则，根据黄金矩形的定义即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题四边形综合题，考查了黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______，此时_____； （2）当时，求的最小值，并求此时的值； （3）如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【答案】（1）2，1 （2）的最小值为5， （3）矩形地块面积的最大值为，此时矩形地块的长与宽的值均为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）由 ，可得，根据四边形的面积为，求出最大值，再进一步求解可得矩形地块的长与宽． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； 【小问2详解】 解：， ， 的最小值为5 此时，． 【小问3详解】 设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 23. 如图，回答下列问题： 【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，、、是从入口C通往三个观光点A、E、F的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E、F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E、F（观光点E、F分别在、上），现要在、上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元，桥梁的造价为100万元，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 【答案】（1）①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ② （2）400万元 【解析】 【分析】（1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；②由得到，在中，运用勾股定理即可求解； （2）延长至点G，使得，连接、、，先证明，则，，由（1）知，那么，再同理得出，，则，此时，那么，即可求解总造价． 【小问1详解】 ①略 ②解：；理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：延长至点G，使得，连接、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴总造价为：（万元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $