精品解析：山东省临沂市莒南县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 3. 比较大小：，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 4. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的斜率判断函数的增减性． 对于正比例函数（为常数，），当时， 随 的增大而增大；当时， 随 的增大而减小．先根据正比例函数的表达式确定其增减性，再根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系． 【详解】在函数中，，所以该函数 随 的增大而增大． 已知，根据函数的增减性可得． 故选：A． 5. 的三边长分别为 ， ， ，下列条件不能判断 是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 6. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，中，，，，线段 长是5，且两个端点 、 分别在边 ， 上滑动，点、分别是 、 的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是 、 的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 8. 如图，在正方形 中， ，O、E、F、M分别为的中点，则 的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，则；在中，由勾股定理求得 ，由直角三角形斜边上中线的性质，求得，从而求得 ． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴； ∵四边形 为正方形， ， ∴，； ∵点E为 的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点F为直角三角形斜边上中点， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 9. 如图，四边形 是菱形，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得，结合菱形的性质可得，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ，， ∴， ∵四边形 为菱形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故选：C． 10. 图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理，如图 ，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而证明，设，则，，分别表示出，，然后作比值求解即可． 【详解】解：过点作于点， ，四边形 是正方形， ，四边形是矩形， ， 四边形 ，四边形，四边形都是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形的面积， 正方形的面积为：， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x应满足________. 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，分母有意义，根据被开方数为非负数以及分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 12. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交 ，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点P，作射线交 于点F．已知，，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分 ，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分 ，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在 中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得： ， ， 故答案为： ． 13. 矩形 的对角线相交于点O， ， ， 则这个矩形的对角线长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质和等边三角形的判定定理证明是等边三角形，得到，则可得到，再由含30度角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的对角线的长是， 故答案为：． 14. 如图，在边长为的正方形铁皮 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个正方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于盒底面一点）．已知点M，N在 边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，则这个工艺盒的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求得正方体的底面边长，，再利用，求出x，最后求正方体的体积即可；本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，将实际问题转化成函数问题是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意，设，折成的工艺盒恰好是个正方体， 由勾股定理可得：， ， ∵正方形纸片 边长为， 即， ∴， 解得：， ∴正方体的底面边长为， ∴这个工艺盒的体积为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形 中， ，，点 是对角线上一动点，过点 分别作的垂线，垂足分别为点，连接 ，则 的最小值为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求 的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形 是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当有最小值时， 取最小值， 当时，取最小值， 在中，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 的最小值为． 16. 如图，正方形 的边长为 ，，平分交 的延长线于 ，交于．当为的中点时， 的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作于点，交于点 ，连接交 于点 ，连接， 由正方形的性质可得，，，即得，，根据等腰三角形的性质可得，，，即可得，再推出可得，进而由得到，进而利用勾股定理可得，得到，由四边形是矩形得到，，，即得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点 作于点，交于点 ，连接交 于点 ，连接， ∵正方形 的边长为 ，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性在，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 如图，在中，，，，若点 从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为 秒． （1）若点 在 上，且满足，求此时 的值； （2）若点 恰好在的平分线上，求此时 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质及角平分线性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）在 中，用勾股定理计算出 ，用 表示出，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）过 作于 点，由角平分线性质可得，再证明，利用全等的性质及线段之间的关系求出，用 表示出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， 在 中，， 由题意得，， ， ， 在中，，即， 解得：． 【小问2详解】 解：作的平分线，过 作于 点，如图所示， 平分，，， ， 在和中，， ， ， ， 由题意得，则， 在中，，即， 解得：． 19. 下面是课本第54页中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．你知道其中的道理吗？ 任务： （1）填空：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是 　　；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即 　　． （2）请证明（1）中矩形的判定定理，（先画出图形，写出已知，求证，再给出证明） 已知：　　； 求证：　　； 证明：　 【答案】（1）平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形为矩形）解答即可； （2）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：已知：如图所示，； 求证：四边形 是矩形； 证明：∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形 是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，牢记矩形和平行四边形的判定定理是解答本题的关键． 20. 如图，有人为了图一时省事抄近路踩踏草坪．在四边形的园区绿地 中，行人抄近路走 ，且，分别交 和 于点 和 ．已知，，． （1）求抄近路走 比走折线“”近了多少？（精确到） （2）“堵不如疏”，物业为此准备将行人踩踏草坪形成的“土路”修建成甬路．若，求剩余绿地的面积（精确到）．（参考数据：，） 【答案】（1）抄近路走 比走折线“”近了 （2）剩余绿地的面积 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，含角直角三角形，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，求出，求得； （2）作 交 的延长线于点 ，得到四边形是矩形，继而得到，，，求出，求得，分别求出的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， 抄近路走 比走折线“”近了； 【小问2详解】 解：如图，作 交 的延长线于点 ， ， 四边形是矩形， ，，， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 剩余绿地的面积． 21. 如图，在 中，，是中线，是 的外角的平分线，，垂足为 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）与 之间的关系是什么？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）， ，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判断即可得证； （2）利用矩形的性质可求，根据三角形中线可得，得出是的中位线，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：中，，是中线， ，， ， 为 的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形， ， 中，是中线， ， 是 的中位线， ，． 22. 如图，在菱形 中，对角线 、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点 ；(保留作图痕迹，不写作法) （2）求证：四边形为矩形 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 证明： ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， 又 ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂线，菱形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意完成尺规作图即可； （2）根据作图可得，根据四边形 是菱形，证明四边形为平行四边形，进而得出，证明，根据矩形的判定定理，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知在中，，，点D为直线 上一动点（点D不与B，C重合），以 为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段 上时，求证： （2）如图2，当点D在线段 的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得结论； （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到； （3）过点作，过点 作，勾股定理求出 的长，三线合一求出的长，进而求出的长，根据全等三角形的性质，求出的长，证明为等腰三角形，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出 的长即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 则在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ； 理由：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点作，过点 作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期中质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 3. 比较大小：，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 的三边长分别为 ， ， ，下列条件不能判断 是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 6. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 中，，，，线段 长是5，且两个端点 、分别在边 ，上滑动，点 、 分别是 、 的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 8. 如图，在正方形 中， ，O、E、F、M分别为的中点，则 的长等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形 是菱形，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理，如图 ，连结，，，记四边形与正方形的面积分别为，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x应满足________. 12. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点P，作射线 交 于点F．已知，，则 的长为______． 13. 矩形 的对角线相交于点O， ， ， 则这个矩形的对角线长是__________． 14. 如图，在边长为的正方形铁皮 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个正方体工艺盒（A，B，C，D四个顶点正好重合于盒底面一点）．已知点M，N在边上，且是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，则这个工艺盒的体积为_____． 15. 如图，在矩形 中，，，点是对角线 上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接 ，则 的最小值为___________ ． 16. 如图，正方形 的边长为 ，，平分交 的延长线于，交于 ．当 为的中点时， 的长是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在 中，，，，若点从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为 秒． （1）若点在 上，且满足，求此时 的值； （2）若点恰好在的平分线上，求此时 的值． 19. 下面是课本第54页中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．你知道其中的道理吗？ 任务： （1）填空：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是 　　；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即 　　． （2）请证明（1）中矩形的判定定理，（先画出图形，写出已知，求证，再给出证明） 已知：　　； 求证：　　； 证明：　 20. 如图，有人为了图一时省事抄近路踩踏草坪．在四边形的园区绿地 中，行人抄近路走 ，且，分别交和 于点和．已知，，． （1）求抄近路走 比走折线“”近了多少？（精确到） （2）“堵不如疏”，物业为此准备将行人踩踏草坪形成的“土路”修建成甬路．若，求剩余绿地的面积（精确到）．（参考数据：，） 21. 如图，在 中，，是中线，是 的外角的平分线，，垂足为． （1）求证：四边形是矩形； （2）与 之间的关系是什么？请说明理由． 22. 如图，在菱形 中，对角线 、相交于点 ． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点 作的垂线交于点；(保留作图痕迹，不写作法) （2）求证：四边形为矩形 23. 已知在 中， ，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以 为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证： （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $