精品解析：重庆市永川中学初中部（教共体）2026年春期半期质量监测七年级数学试题

永中学初中部（教共体）2026年春期半期质量监测 初2025级 数学试题 注意事项：本试卷满分150分，时间120分钟． 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）下面每个小题的选项中只有一个选项是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. π D. 2. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，其中能判定的条件是( ) A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，，则（ ） A. B. C. D. 7. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 已知点在第四象限，到轴距离为5，到轴距离为3，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…．按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（ ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有4组正整数解． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 9的算术平方根是_____． 12. 若点在轴上，则_____________． 13. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 14. 如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 15. 若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 16. 对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”·例如：三位数159，，是中项两倍数”；三位数764，，764不是“中项两倍数”．则“中项两倍数”的最小值是_____________，把“中项两倍数”的各个数字之和被3整除的商记为．其中，能被21整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为_____________． 三、解答题（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程组： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，，中任意一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出平移后的； （2）写出，，的坐标； （3）求的面积． 20. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互字． 如图2是由图1抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 证明：如图，延长交于点， （已知）， （①） 又（已知）， （②）， （③）， ④（两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （⑤）． 21. 已知，的立方根是． （1）求，的值； （2）若是的整数部分，求的平方根． 22. 如图，已知，，，分别为垂足，是上一点，且，判断与的位置关系，请说明理由． 23. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． 24. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分，且． （1）求的度数； （2）过点作射线OP，若，求的度数． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移3个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． （1）写出，两点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点是直线上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在直线上移动时（点不与点，点重合），请直接写出，，的数量关系． 附加题 26. 如图，直线，一副三角板（，，，）按如图放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．如图，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒（）； （1）在旋转过程中，若边，求的值； （2）若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永中学初中部（教共体）2026年春期半期质量监测 初2025级 数学试题 注意事项：本试卷满分150分，时间120分钟． 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）下面每个小题的选项中只有一个选项是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. π D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； B．是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是分数，属于有理数，故不符合题意． 故选：C． 2. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答． 【详解】解：，点的横坐标-2＜0，纵坐标-3＜0， ∴这个点在第三象限． 故选C． 【点睛】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 如图，其中能判定的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵，∴，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； C. ，∴，故该选项正确，符合题意； D. ，∴，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，A选项缺少前提条件， ∴A是假命题，不符合题意； ∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是垂线段本身， ∴B是假命题，不符合题意； ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，C选项缺少“同一平面内”的前提， ∴C是假命题，不符合题意； ∵根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， ∴D是真命题，符合题意． 6. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由平行线的性质得到，然后由折叠的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∴． 7. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，用夹逼法得出的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即的值在2和3之间， 故选：B． 8. 已知点在第四象限，到轴距离为5，到轴距离为3，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点所在象限确定横纵坐标的符号，再结合点到坐标轴的距离得到横纵坐标的具体值即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标大于，纵坐标小于， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的坐标为． 9. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…．按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据观察，第次运动后，点的横坐标为，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，按照此规律解答即可． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动， 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次运动到点， 第5次接着运动到点， 经观察，第次运动后，点的横坐标为，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， ∴经过第2027次运动后，动点的纵坐标为：，故纵坐标为2， ∴经过第2027次运动后，动点P的坐标是． 10. 对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（ ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有4组正整数解． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件解出m和n的值，再分别验证各结论的正确性即可. 【详解】解：结论①：∵和， ∴， 解得：，故结论①正确； 结论②：∵， 得：， 解得：；与结论②一致，故结论②正确； 结论③：∵， ∴， 其正整数解为：，，，共4组，故结论③正确； 综上，正确结论为①②③共3个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 若点在轴上，则_____________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵点在轴上， ∴ ∴． 13. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 14. 如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】##68平方厘米 【解析】 【分析】由平移的性质可得阴影部分的面积直角梯形的面积，再求出直角梯形的面积即可求解． 【详解】解：∵平移不改变图形的形状和大小， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积，， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积， 即阴影部分的面积直角梯形的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积直角梯形的面积． 15. 若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． 16. 对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”·例如：三位数159，，是中项两倍数”；三位数764，，764不是“中项两倍数”．则“中项两倍数”的最小值是_____________，把“中项两倍数”的各个数字之和被3整除的商记为．其中，能被21整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为_____________． 【答案】 ①. 111 ②. 147 【解析】 【分析】根据当最小时，百位数字和个位数字都为1，结合“中项两倍数”的定义，即可求出的最小值；由是“中项两倍数”，得，再由能被整除，可得为整数，从而求得的值，再根据为有理数，为有理数，求得的值，最后由求得的值，便可求得． 【详解】解：是“中项两倍数”， 当最小时，百位数字和个位数字都为1，即， 则， ∴的最小值是； 是“中项两倍数”， ， 能被整除， 为整数， ， 为有理数， 为有理数， 或或， 当，时，， 解得（舍）， 当，时，， 解得，此时， 当，时，， 解得（舍）， 综上，． 三、解答题（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用代入法解答即可求解； （）利用加减法解答即可求解． 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ①，得③， ③②，得， 解得， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，，中任意一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为，，． （1）画出平移后的； （2）写出，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）点的坐标为，的坐标为；的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出平移方式，然后将三个顶点向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）由（1）作出的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作； 【小问2详解】 解：点的坐标为，的坐标为；的坐标为； 【小问3详解】 解：． 20. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互字． 如图2是由图1抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 证明：如图，延长交于点， （已知）， （①） 又（已知）， （②）， （③）， ④（两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （⑤）． 【答案】①两直线平行，内错角相等，②等等量代换 ，③同位角相等，两直线平行，④，⑤同角的补角相等 【解析】 【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”得到，结合等式的基本事实，推出，再根据“同位角相等，两直线平行”得到，推出，最后根据，推出，根据“同角的补角相等”即可得证． 【详解】证明：如图，延长交于点， （已知）， （两直线平行，内错角相等） 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （同角的补角相等）． 21. 已知，的立方根是． （1）求，的值； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的非负性和立方根的定义求解； （2）首先利用无理数的估算求出c的值，然后代入求平方根即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， 的立方根是， ∴ ∴ 即，； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∴ ∴的平方根为． 22. 如图，已知，，，分别为垂足，是上一点，且，判断与的位置关系，请说明理由． 【答案】与的位置关系为，理由见解析 【解析】 【分析】先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件和等量代换可得出，进而判定． 【详解】解：与的位置关系为， 理由如下： ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”请解答上述问题． 【答案】共7人合伙购物，物价是53钱 【解析】 【详解】设物价为x钱，人数为y人，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又会差4钱，”列出方程组，即可求解． 解：设共人合伙购物，物价是钱， 依题意得：， 解得：． 答：共7人合伙购物，物价是53钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分，且． （1）求的度数； （2）过点作射线OP，若，求的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的关系，是解题的关键： （1）角平分线得到，根据结合平角的定义，求出的度数，对顶角得到的度数即可； （2）分在内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， 当在内部时，则：， 当在外部时，则：． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移3个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． （1）写出，两点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点是直线上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在直线上移动时（点不与点，点重合），请直接写出，，的数量关系． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，得出点A，B的坐标； （2）根据点的坐标的平移规律得到，，然后设点的坐标为，再根据的面积与的面积相等列方程即可求解； （3）分三种情况讨论，利用平行线的性质和角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵将点，分别向左平移2个单位，再向上平移3个单位，分别得到点，的对应点，， ∴，， ∴， ∵点在轴上，设点的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等 ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当点P在线段上时， 如图，过点作， ∴， 由平移得，， ， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∴ 同理可得，， ∴ ∴； 当点P在的延长线上时，过点P作， ∴ 同理可得，， ∴ ∴； 综上所述，，，的数量关系为或或． 附加题 26. 如图，直线，一副三角板（，，，）按如图放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．如图，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒（）； （1）在旋转过程中，若边，求的值； （2）若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出与平行时的值． 【答案】（1）的值为或或 （2）的值为或或 【解析】 【分析】（）分两种情况：当在上方时；当在下方时；分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解； （）分情况讨论，分别利用平行线的性质，建立关于的一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设旋转时间为秒， 如图，当在上方时，第次时， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴，解得：； 如图，当在下方时，第次时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时旋转了， ∴， 解得：； 如图，当绕点旋转一周后，第次时， ∵， ∴， ∴一共旋转了， ∴， 解得：， 【小问2详解】 解：如图，延长与交于点， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 如图，过点作， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 如图，延长与交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $