精品解析：黑龙江大庆铁人中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

铁人中学2024级高二下学期月考考试 数学试题 试题说明： 1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】利用通项求解可得. 【详解】通项公式为， 当时，， 所以项的系数为80. 故选：D 2. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，令，即可得解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 4. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 70 B. 58 C. 64 D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】从8个顶点中选4个，再减去四点共面的情况种数即可得. 【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 在这些结果中，有四点共面的情况，此时不能组成三棱锥， 6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， 故满足条件的结果有， 即以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是. 5. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，直接写出的单调区间，进而得出在区间上的符号，即可求解. 【详解】由图知函数的减区间为，，增区间为， 和分别是的极小值点和极大值点， 所以当时，，当时，， 当和时，， 又由图知时，，时，， 又等价于，所以的解集为. 6. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由求得或．并验证即可. 【详解】因为，所以． 因为在处有极大值， 所以，解得或． 当时，，解，得或， 当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在处有极小值，不符合题意； 当时，，解，得或， 当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值， 符合题意．故， 故选：A． 7. 已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，则存在，使得成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】由成立，可得， 设， 则存在，使得成立， 即， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 设，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. b＜c＜a D. a＜c＜b 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，，借助函数的单调性分别得出c＜b与a＞b，从而得出答案. 【详解】构造函数， x＞－1，则， 当－1＜x＜0时，，单调递增，当x＞0时，，单调递减， ∴，∴（当x＝0时等号成立）， ∴，则c＜b， 构造函数，0＜x＜1，则， 令，0＜x＜1，∴，单调递增， ∴，∴，单调递增， 从而，∴，即，则a＞b． ∴c＜b＜a． 故选：A． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质求出的值，再通过对已知等式进行赋值，结合二项式展开式的性质求解各项系数的值. 【详解】对于A，因为所有的二项式系数和为，则， 所以，故A错误； 对于B，令，则， 即，故B正确， 对于C，令，则， 即，其中， 则，故C正确， 对于D，，， 即，其中， 则，故D正确. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天， A：课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，有3！种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 排法数为，A错误. B：“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，B正确． C：用间接法：总排法，减去“数”在第一天的， “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的． 排法数为，C正确． D：课程“书”在第1天或最后一天，有2种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 课程“书”不在第1天或最后天，有4种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 排法数为：，D正确. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的对称中心为 B. 若关于x的方程有三解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上的最大值、最小值分别为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用“拐点”定义可判定A，利用导数研究的单调性、极值结合函数的图象、对称性、取特殊区间一一判定B、C、D选项即可. 【详解】对于A，易知，，令，而， 由“拐点”定义可知的对称中心为，故A正确； 令，此时单调递减， 令或，此时单调递增， 则，即的极大值为3，极小值为， 所以关于x的方程有三解，即两函数有三个交点， 则，故B正确； 易知若在上有极小值，则，故C错误； 由上可知，若在上的最大值、最小值分别为， 取，符合题意，又， 结合图象可知，符合在上的最大值、最小值分别为， 此时，故D错误. 第Ⅱ卷 非选择题部分 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12. 现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】将甲乙捆绑在一起，与剩下的3个人一起分组，即可求解. 【详解】因为甲、乙在同一天值班，所以甲乙捆绑在一起，与剩下的三人分组分配到三天，分为1，1，2，则有. 13. 三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 【答案】 【解析】 【详解】记｛球取自号罐｝，{取得红球}， 显然的发生总是伴随着之一同时发生， 即，且两两互斥， ， 由全概率公式可得， 14. 已知对于，都有，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可转化为，设，则，结合函数单调性可知，分离参数，构造新函数，根据导数判断单调性可得最值，即可得解. 【详解】解：因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又，所以， 即，整理得， 设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值， 即，则的最大值为． 四、解答题(本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）系数最大的项是第几项. 【答案】（1） （2）； （3）第6项和第7项 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质，代入计算，即可得到结果； （2）由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解； （3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以. 【小问2详解】 ， 当为整数时为有理项， 即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数最大， 则， 所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项. 16. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求在处的切线方程． （2）若，求在区间上最大值． 【答案】（1） （2） 当时，； 当时， 【解析】 【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程； （2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得. 【小问1详解】 ， 又是函数的极值点， ∴，即 ∴， ∴， 在处的切线方程为，即， 所以在处的切线方程是 【小问2详解】 ，令，得， ∴在单调递减，在单调递增 而， ①当，即时， ②当，即时， 综上，当时，； 当时， 17. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． （1）求自动检测判断零件为次品的概率． （2）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． （3）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 【答案】（1） （2）0.9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算可得. （2）先由互斥事件和的概率与条件概率计算，再由条件概率计算即可； （3）根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”， 事件分别表示零件是一等品、二等品， 则． 【小问2详解】 由（1）知，则． 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为 【小问3详解】 设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”， 则，， 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 ． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个不同的零点，，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论，结合导数符号可判断单调性. （2）化简函数解析式，分离参数，研究函数性质，结合公共点的个数可得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，由，得或，由，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 综上所述；当时，函数在上分别单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上分别单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 依题意，， 由，得，记，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时恒成立， 因此要使有两个零点，即直线与函数的图象有两个交点， 必有，即， 所以的取值范围是. 19. 定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围； （2）证明：函数在上为“下凸函数”； （3）已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义，对任意的恒成立，分离参数后，构造函数，将问题转化为恒成立问题，求构造函数的最值即可； （2）根据下凸函数的定义，只需证明即可，根据函数的单调性可证； （3）令，则，考虑函数，易证，根据下凸函数的定义可知，化简即可得所求最小值. 【小问1详解】 由，可得，则. 因为是上的“下凸函数”， 所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立. 令，则函数在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，可得，. 令， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 根据“下凸函数”的充要条件可知，函数在上为“下凸函数”． 【小问3详解】 令， 则，即是增函数，所以. 又， 考虑函数，求导得， 则. 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁人中学2024级高二下学期月考考试 数学试题 试题说明： 1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 2. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 70 B. 58 C. 64 D. 62 5. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 7. 已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. b＜c＜a D. a＜c＜b 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 11. 定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的对称中心为 B. 若关于x的方程有三解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上的最大值、最小值分别为，则 第Ⅱ卷 非选择题部分 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12. 现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 13. 三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 14. 已知对于，都有，则的最大值为___________． 四、解答题(本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合； （3）系数最大的项是第几项. 16. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求在处的切线方程． （2）若，求在区间上最大值． 17. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． （1）求自动检测判断零件为次品的概率． （2）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． （3）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个不同的零点，，求的取值范围. 19. 定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围； （2）证明：函数在上为“下凸函数”； （3）已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $