精品解析：河北承德第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月质量检测数学试题

4月高一质量检测 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的频率为，相位为． 3. （ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 即， 所以． 4. 已知单位向量与向量垂直，则的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】设单位向量，根据单位向量的定义，所以， 因为与向量垂直，所以， 联立，解得或． 5. 如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体； B中图形绕轴旋转可得圆锥； C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体； D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A. 6. 在中，内角的对边分别为，且，则必为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，根据三角形内角范围得到两角相等，从而判断三角形为等腰三角形。 【详解】由已知及正弦定理得： ， 所以，又， 所以，所以，所以， 所以（舍去）．故三角形为等腰三角形． 7. 已知向量与的夹角为，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知条件求出向量的数量积，再分别计算目标向量的模长与它们的数量积，最后代入向量夹角公式求解． 【详解】由题意得，，， 所以， ， ， 设向量与的夹角为， 则， 又，所以． 8. 在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】取的中点M，连接BM，则，所以， 显然时，取最小值， 在中，则， 所以，此时， 由对称性可知或时，取最大值，为， 所以，即的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有2项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，要想得到的图象，则可将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】AB 【解析】 【分析】先求，再利用三角函数图像的变换逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，将的图象向左平移个单位长度， 可得，故A正确； 将的图象向右平移个单位长度，可得，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度，可得，故C错误； 将的图象向右平移个单位长度，可得，故D错误． 10. 已知正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体为三棱柱，则另外一个几何体可能为（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 四棱台 D. 五棱柱 【答案】ABD 【解析】 【详解】在正方体中， 如图①，可得另外一个几何体也是三棱柱，A正确； 如图②，可得另外一个几何体是四棱柱，不可能是四棱台，B正确，C错误； 如图③，可得另外一个几何体是五棱柱，D正确. 11. 如图，半径为1的扇形中，，点在弧上运动，交于点，设，则（ ） A. 当时， B. 在上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用数量积的定义计算；B利用投影向量的定义计算；C利用求出；D过作于点，设，求出，再计算，利用数量积的定义计算. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，在上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为， 而，且是线段上一点，则， 所以当时，取得最大值 故C错误； 对于D，如图，过作于点，设，则， 又，所以 ， 所以，解得， 所以， 所以， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 ，解得. 13. 给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据锥体、柱体的性质，分析即可得答案. 【详解】棱锥中棱最少的是三棱锥，有六条棱，故①正确； 圆柱是以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体， 母线一定和轴平行，故②错误； 长方体是底面为长方形的四棱柱，一定是平行六面体，故③正确. 14. 已知函数，若，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得出，再利用倍角公式化简得出，根据得出，代入求值即可. 【详解】，其中， 所以． 因为 ，所以 ， 所以，所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）分别求向量的坐标； （2）证明：向量与互相垂直． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算法则计算即可得； （2）表示出与后，利用数量积坐标公式计算即可得. 【小问1详解】 ． ； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 所以向量与互相垂直． 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式即可求解； （2）先通过，得出，再根据二倍角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 即，所以. 【小问2详解】 由（1）知，两边平方得， 所以，所以，可得． 因为，所以， 所以，所以， 所以． 17. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是AD，CD的中点，设，. （1）用，表示，； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 又E是AD的中点，所以， 所以， 由， 又F是CD的中点，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 两边平方得， 整理得，所以，则. 18. 南昌之星摩天轮是南昌市的标志性建筑，也是国内最高的摩天轮，轮面彩灯全部亮后可以显示一座巨型彩色时钟．该摩天轮最高点距离地面高度为160米，转盘直径为153米，设置有60个座舱，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）．游客在座舱内可观看南昌一江两岸的壮丽景观．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，已知甲比乙提前5分钟进入座舱，在甲运行一周的过程中，设甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米． （1）求关于的表达式； （2）当甲、乙距离地面高度相同时，求的值； （3）设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，结合题意与三角函数性质计算即可得解； （2）由题意可表示出乙距离地面高度与的表达式，令其与相等，解出即可得； （3）利用三角恒等变换公式计算即可得. 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点， 与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 设， 由题得，解得， 又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以， 所以， 又当时，甲位于点， 以为终边的角为，所以， 所以， 即； 【小问2详解】 设乙距离地面的高度为， 则， 令，所以， 所以， 所以，或（舍去）， 即，又，所以，即； 【小问3详解】 令，则，， 所以 ， 当，即时，， 又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值， 所以 ，即的取值范围是. 19. 以三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，则点T称为托里拆利点，而三个等边三角形的外接圆叫做托里拆利圆.已知△ABC的三个托里拆利圆的半径分别为，，，点T为托里拆利点. （1）求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出三角形三边长，再由余弦定理及三角形面积公式求解； （2）根据数量积的运算及三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，再由余弦定理得， ， ，三式相加即可求解. 【小问1详解】 如图，作出符合题意的图形， 不妨设半径分别为，，的三个托里拆利圆所对应等边三角形的边长分别为a，b，c， 由正弦定理得，，， 解得，，， 所以， 所以， 所以△ABC的面积 . 【小问2详解】 由圆的性质可知 ， 所以 . 【小问3详解】 由（2）的结论知，， 即. 在△ATB中，由余弦定理得 ， 即 ， 同理可得 ， ， 以上三式相加得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4月高一质量检测 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. -1 B. C. D. 1 4. 已知单位向量与向量垂直，则的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，且，则必为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知向量与的夹角为，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有2项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，要想得到的图象，则可将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 10. 已知正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体为三棱柱，则另外一个几何体可能为（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 四棱台 D. 五棱柱 11. 如图，半径为1的扇形中，，点在弧上运动，交于点，设，则（ ） A. 当时， B. 在上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则__________. 13. 给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体. 以上所有正确说法的序号是__________. 14. 已知函数，若，则的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）分别求向量的坐标； （2）证明：向量与互相垂直． 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是AD，CD的中点，设，. （1）用，表示，； （2）若，求的值. 18. 南昌之星摩天轮是南昌市的标志性建筑，也是国内最高的摩天轮，轮面彩灯全部亮后可以显示一座巨型彩色时钟．该摩天轮最高点距离地面高度为160米，转盘直径为153米，设置有60个座舱，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）．游客在座舱内可观看南昌一江两岸的壮丽景观．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，已知甲比乙提前5分钟进入座舱，在甲运行一周的过程中，设甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米． （1）求关于的表达式； （2）当甲、乙距离地面高度相同时，求的值； （3）设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围． 19. 以三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，则点T称为托里拆利点，而三个等边三角形的外接圆叫做托里拆利圆.已知△ABC的三个托里拆利圆的半径分别为，，，点T为托里拆利点. （1）求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $