精品解析：上海市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025学年第二学期市二中学期中考试试卷 高二数学 试卷 2026.4 （考试时间100分钟，总分100分） 命题人 赵磊 审卷人 朱真佶 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 2. 已知双曲线：，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 3. 两条直线与之间的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查两条平行线间的距离公式，先将两条直线方程中，的系数化统一，再代入公式计算即可. 【详解】直线可化为， 所以两条平行线间的距离为. 故答案为：. 4. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为___ 【答案】 【解析】 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，依题意，， 因此，所以. 5. 已知，则___． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 6. 已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 【答案】或（写出其中一条即可） 【解析】 【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解. 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 7. 函数，的所有极小值点的和是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，求出导数确定函数在存在极小值点，再利用对称性求解. 【详解】函数，则， 函数是偶函数， 因此函数在上的极小值点关于原点对称，当时，， 在同一坐标系内作出函数的图象， 观察图象，得函数的图象有两个交点， 当时，，当时，，当时，， 因此函数在处取得极小值，所以函数，的所有极小值点的和是0. 8. 直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【答案】0 【解析】 【详解】联立直线与抛物线得， 由韦达定理有，． 弦长为 ， 解得．此时，故方程有解． 故． 9. 如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据图形的对称性和椭圆的定义可得结果. 【详解】 设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，. 由图形对称得，. 由椭圆定义得，，故， 所以. 故答案为：15. 10. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 11. 已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，通过距离公式可得，利用基本不等式求最值即可求解． 【详解】设， 由题意可得， ，当且仅当时，即时等号成立， m的最大值为 故答案为： 12. 矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，当折痕EF最短时，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理建立变量间的关系式，进而利用导数求最值，再结合直角三角形的边角关系求解. 【详解】设为原点，在轴，在轴，矩形坐标， 设，.折叠后折痕是的中垂线， 可得：在（）上，坐标； 在（）上，坐标，符合题意的。 ， 要求最短，即求的最小值. 由，得导数为0时， 当时，，当时， 即，时，取得最小值. 为直角三角形，， 所以：， 代入，得：. 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 14. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 15. 如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围. 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 16. 已知A，B分别为曲线（包含直线），上的点，定义曲线，之间的最短距离为（其中表示点A与点B距离的最小值）．已知：，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，分别计算点到椭圆距离，点到直线距离，椭圆到直线距离，再求和即可. 【详解】如图所示，根据题意可得： ：圆盘，是一个圆心在，半径为的实心圆； ：椭圆，方程，中心在原点，长半轴 ，短半轴 ； ：直线，方程 . 设椭圆上任意一点为，则，其中. 圆心到点距离的平方为：， 即. 这是一个关于的二次函数，对称轴为. 因为，所以当时， 距离平方最小：， 所以. 点到直线的距离： . 当椭圆的切线与直线平行时，切点到直线的距离即为最短距离， 直线的斜率为，设与平行的椭圆切线方程为. 将切线方程代入：，得：， 整理得： 令，则， 即，解得. 所以切线分别为和. 显然，距离()最近的是直线， 两条平行线间的距离. . 三、解答题（8+10+10+12+12） 17. 某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． （1）应抽取B品种苹果树多少棵？ （2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 【答案】（1）3； （2）；. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的性质，求出抽取品种苹果树的棵数； （2）先将茎叶图所给数据从小到大排列，再求其第80百分位数，最后估算概率. 【小问1详解】 采取分层抽样的方法抽取，分别抽取三种苹果树的数量比为 ， 则抽取品种的数量占比为， ，即应抽取品种苹果树3棵. 【小问2详解】 先将这10个数从小到大排列：20，25，25，26，26，28，30，30，31，32， ，则这10个数的第80百分位数为 ， 根据频率接近于概率的性质，果树产量不小于的概率约为. 18. 已知函数，（，，），其部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【答案】（1） （2）等边三角形 【解析】 【分析】（1）由图可知，，，将数值代入函数解析式即可求得相关参数； （2）根据求得，再利用正弦定理将化为，进一步化简得到，从而求出，即可求出答案. 【小问1详解】 由图知：， ，因为，所以， ，所以，解得， 由得，所以， 所以. 【小问2详解】 因为且，所以， 因为成等差数列，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 将代入得， 展开得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以为等边三角形. 19. 某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． （1）求证：直线∥平面 ； （2）若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1） 取的中点，连接 ，， 因为 是的中点，所以 是 的中位线， 因此： ，且， 由圆台性质，上底直径，且， 故且， 因此四边形是平行四边形，得， 又平面 ，不属于平面 ， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接 ，，证明四边形是平行四边形即可得到，然后由线面平行的判定定理即可证明； （2）首先求出圆台的高，然后根据体积转化法得到，最后问题转化为点到直径距离的最大值即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 轴截面等腰梯形中，，，，圆台的高： ， 因为是下底直径，在下底圆周上，故， 设到底面直径的距离为，由下底圆半径为2，得，最大值为2， 的面积， 是中点，故， 因为 是​中点，平面， 故， ​到底面的距离为圆台的高，​ 因此：  ​， 因为，当时三棱锥体积取最大值： . 20. 已知双曲线． （1）设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； （2）过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【答案】（1）， （2）① ； ② 的取值范围；的取值范围 【解析】 【分析】（1）根据的关系可求点的坐标，根据渐近线的性质可求出斜率的取值范围； （2）①根据直线与双曲线的位置关系即可求解； ②首先根据存在两条切线可求出的范围，然后根据韦达定理可得，最后根据的范围结合反比例函数的性质即可求出的范围. 【小问1详解】 对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此​的取值范围是. 【小问2详解】 ① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ，  结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. 21. 已知，． （1）若是函数的驻点，求的值； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，单调增区间是；当时，单调增区间是和. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）驻点处导数为0，对求导，将代入导函数使其为0，解方程即可得； （2）对求导并因式分解，令导函数为0得极值点，根据的范围分情况讨论，由导函数大于0确定单调增区间； （3）求时在的最大值，对求导并判断单调性，寻找使大于等于最大值的的取值范围即可. 【小问1详解】 函数，求导得：， 由是函数的驻点得，即，解得. 【小问2详解】 ， 令，则，解得，， ①当时，，则恒成立，在上单调调增； 当时，，在区间和上，，单调递增， 在区间上，，单调递减. 综上，当时，单调增区间是；当时，单调增区间是和. 【小问3详解】 当时，，， ， 令，则，解得（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，，， 因此， 设，，且， ，根据余弦函数的性质，，且时，恒成立， 则在，且上单调递增，要使对于任意的，存在，且，使得成立， 则，即，，且， 又有，，则， 综上，存在，且，使得成立， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期市二中学期中考试试卷 高二数学 试卷 2026.4 （考试时间100分钟，总分100分） 命题人 赵磊 审卷人 朱真佶 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 2. 已知双曲线：，则的离心率为_____. 3. 两条直线与之间的距离是__________. 4. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为___ 5. 已知，则___． 6. 已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程_____. 7. 函数，的所有极小值点的和是__________． 8. 直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 9. 如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则__________. 10. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 11. 已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为_____________． 12. 矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，当折痕EF最短时，______． 二、选择题（每题3分，共12分） 13. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知A，B分别为曲线（包含直线），上的点，定义曲线，之间的最短距离为（其中表示点A与点B距离的最小值）．已知：，，，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+10+10+12+12） 17. 某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中品种250棵，品种150棵，品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量． （1）应抽取B品种苹果树多少棵？ （2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率． 18. 已知函数，（，，），其部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 19. 某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． （1）求证：直线∥平面 ； （2）若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 20. 已知双曲线． （1）设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； （2）过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 21. 已知，． （1）若是函数的驻点，求的值； （2）当时，求函数的单调增区间； （3）当时，对于任意的，是否存在，且，使得成立，若存在，求的取值范围？若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $