精品解析：江苏苏州市立达中学校2025-2026学年下学期期中考试试卷七年级数学

2025-2026学年第二学期期中考试试卷 初一数学 一、单选题（共16分） 1. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 两锐角之和一定是钝角 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，对顶角相等，逐项判断，即可． 【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B、两锐角之和不一定是钝角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，为真命题，故本选项符合题意； D、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； 2. 在下列式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的形式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A． 中，是相同项，与互为相反数，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A：，∴ A错误； B：，∴ B错误； C：，∴ C错误； D：，∴ D正确． 5. 若是关于x、y的方程的一个解，则常数a为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程进行求解即可. 【详解】解：把代入，得， 解得. 6. 一个多边形内角和是外角和的2倍，它是( ) A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得： （n﹣2）×180°＝2×360°， 解得：n＝6， 即该多边形为六边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 7. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 8. 仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知等式总结规律，化简所求算式，再找出个位数字的循环规律，即可计算出结果的个位数字． 【详解】解：观察已知等式可得规律： ， 变形得 ， 令，，则： ， ∵的个位数字依次为，每次为一个循环， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为， 即所求算式的个位数字为． 二、填空题（共16分） 9. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：． 10. 已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为__________． 【答案】如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角 【解析】 【分析】根据逆命题的书写格式，如果…那么的形式写出即可． 本题考查了写逆命题，精准确定题设和结论是解题的关键． 【详解】解：根据题意，同旁内角互补中的题设是同旁内角，结论是互补， 故其逆命题为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角， 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角． 11. 若，，，则、、的大小关系是___________(用“”连接) 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负整数指数幂、有理数大小比较、零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据负整数指数幂，零指数幂进行计算，再比较大小． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么______． 【答案】 36 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构特征，对比多项式的对应系数即可求解. 【详解】解：关于的多项式是完全平方式， 根据完全平方式的结构可得， ， 对比系数得， 计算得. 13. 若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ∴， 解得． 14. 若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用幂的相关运算法则及其逆运算，将待求代数式恒等变形为题目条件中的幂，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：， 当时，原式． 15. 已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组，通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解． 【详解】解：整理方程组， 可得： 令 ，， 则新方程组化为：， 方程组的解为， 方程组的解为， ， 解得：． 16. 对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数， ． 当为奇数时，为偶数， 为偶数，为偶数， 可得方程组， 解得，； 当为偶数时，为奇数， 为奇数，为奇数， 可得方程组， 解得，，不符合题意，舍去． 和为整数， ． 三、解答题（共68分） 17. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． （2）先计算多项式的乘法，再合并即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 18. 选用适当的方法解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 将①代入②得，， 解得， 将③代入①得， ∴； 【小问2详解】 解： ①去分母得，， 得，， 将④代入②得，， 解得， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵是的外角，， ∴． 21. 利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． （1），求的值； （2）如果，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答． 【小问1详解】 解：∵ ， ∵ ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴． 22. 补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴________（同位角相等，两直线平行）， ∴（________）， ∵（已知）， ∴________（等量代换）， ∴（________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 23. 已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法，可得，根据a是正整数、y的值是整数，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：， 式，得， ∵a是正整数，y为整数，且， ∴，则，， 解得：． 此时，，符合题意． ∴． 24. 如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含、的多项式表示会客室_____平方米；会议厅的占地面积_____平方米． （2）如果，，会议厅的占地面积比会客室的占地面积大多少平方米？ 【答案】（1）， （2）会议厅比会客室大50平方米． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，已知式子的值，求代数式的值等知识． （1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出，再根据得到，再将变形为整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：由图形得，会客室的长为米，宽为米， ∴会客室的面积为平方米； 会议厅的长为米，宽为米， ∴会议厅的面积为平方米； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∵， 平方米． 答：会议厅比会客室大50平方米． 25. 如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由角平分线的定义得，从而可求的度数； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，利用邻补角即可求得． 【小问1详解】 解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 26. 定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． （1）方程的“变更方程”为_____； （2）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； （3）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【小问1详解】 解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 27. 【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； （4）如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 （5）已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】（1）（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）155 （3）9 （4）a+2b； （5）见解析 【解析】 【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式． （2）用（1）的结论变形后代入求值． （3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值． （4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大， （5）通过构造边长为k的正方形，用3个长方形的面积表示al+bm+cn，用面积直观地说明al+bm+cn<k2． 【小问1详解】 解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b）， 大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； 由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2， 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 【小问2详解】 由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）， 当，时， a2+b2+c2=152-2×35=155； 故答案为：155 【小问3详解】 解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2， ∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形， ∴x=2，y=2，z=5， ∴x+y+z=9； 故答案为：9 【小问4详解】 解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2， ∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， ∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2， ∴此时正方形的边长=a+b； 选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2， ∴此时正方形的边长=a+2b， ∵a+b＜a+2b， ∴拼成的正方形的边长最长为a+2b； 故答案为：a+2b； 【小问5详解】 解：如图， 如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k， 在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c， ∵a+m=b+n=c+l=k， ∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l， ∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2， ∴． 【点睛】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试试卷 初一数学 一、单选题（共16分） 1. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 两锐角之和一定是钝角 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 2. 在下列式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 3. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于x、y的方程的一个解，则常数a为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 6. 一个多边形内角和是外角和的2倍，它是( ) A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ） A. B. C. D. 8. 仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、填空题（共16分） 9. ________． 10. 已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为__________． 11. 若，，，则、、的大小关系是___________(用“”连接) 12. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么______． 13. 若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 14. 若，则____． 15. 已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 16. 对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________． 三、解答题（共68分） 17. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 18. 选用适当的方法解下列方程组 （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，，求的度数． 21. 利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． （1），求的值； （2）如果，求的值； 22. 补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴________（同位角相等，两直线平行）， ∴（________）， ∵（已知）， ∴________（等量代换）， ∴（________）． 23. 已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 24. 如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含、的多项式表示会客室_____平方米；会议厅的占地面积_____平方米． （2）如果，，会议厅的占地面积比会客室的占地面积大多少平方米？ 25. 如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 26. 定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． （1）方程的“变更方程”为_____； （2）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； （3）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 27. 【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； （4）如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 （5）已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $