专题04 圆与扇形章末54道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册重难点专题提升讲练

专题04 圆与扇形章末54道压轴题型专训（8大题型） 题型一 按比例分圆 题型二 求弧长 题型三 扇形的周长和面积 题型四 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 题型五 阴影部分的周长和面积 题型六 圆的周长与面积综合应用 题型七 不规则图形的面积 题型八 根据圆的周长解决路程问题 【经典例题一 按比例分圆】 1．（24-25六年级下·上海·单元测试）将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形，求最大的扇形与最小扇形的面积之差为多少平方厘米．（结果保留 ） 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，将一个半径为的圆分割成甲、乙、丙三个扇形，它们的圆心角度数之比为． (1)求这三个扇形的圆心角度数． (2)求这三个扇形的面积．（结果保留） 3．（24-25六年级下·陕西西安·自主招生）（行程问题）如图，，是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同）．假设当乙跑完 米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇．那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完_______圈又________米． 4．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 5．（24-25六年级下·上海青浦·期末）如图，准备在一个广场中心建一个直径为24m的圆形花坛，并将圆形花坛分割成面积相等的四个部分． (1)请你求出花坛中小圆部分的周长； (2)如果在花坛中小圆以外的三个区域内种上不同品种的花卉，已知A品种与B品种的费用之比为：0.5，B品种和C品种的费用之比为2：3，如果购买C品种花卉比购买A品种花卉多花了7000元，那么购买三种花卉总费用多少元？ 【经典例题二 求弧长】 6．（24-25六年级下·安徽淮南·月考）有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精确到0.1米） 7．（24-25六年级下·吉林白城·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，求贴纸部分的周长． 8．（24-25六年级下·安徽芜湖·月考）龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 9．（24-25六年级下·福建莆田·期中）将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形处，求顶点O经过的路线总长． 10．（24-25六年级下·上海杨浦·课后作业）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到） 11．（24-25六年级下·上海杨浦·课后作业）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）． 12．（24-25六年级下·上海杨浦·课后作业）如图，某田径场的周长（内圈）为，其中两个弯道内圈（半圆形）共长，直线段共长，而每条跑道宽约（共6条跑道）． （1）内圈弯道半径为多少米？（结果精确到） （2）一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？（结果精确到） 【经典例题三 扇形的周长和面积】 13．（24-25七年级上·北京丰台·月考）如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．（取） 14．（25-26六年级下·湖南长沙·开学考试）有一个正六边形房子，正六边形边长为4米，牵羊的绳子长6米，羊能吃到草的面积是多少？（取，结果保留两位小数） 15．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）求出如图的阴影部分面积． 16．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨柄长是，扇面宽度．求这把扇子完全展开后扇面所占的面积（取3.14）． 17．（2025六年级下·上海·专题练习）我们都学习了扇形的面积，试回忆扇形面积的推导公式，并根据你的理解，回答下列问题： (1)对于一个半径为r，圆心角为的扇形，其面积为 ． (2)你认为上述面积公式的推导过程，与下列哪个公式的推导使用了基本相同的办法 ． A．圆的面积公式；  B．圆的周长公式；   C．平行四边形的面积公式； D．弧长公式． (3)在上述扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要作用（有几个写几个） A．圆的面积公式；  B．圆的周长公式；   C．弧长公式； D．分数的意义． (4)如果已知一个扇形的弧长为，半径为r，试用和r表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程． 18．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数比为，请完成下面问题： (1)求出扇形丁的圆心角度数； (2)如果圆的半径为6，请求出扇形乙的面积（取3）． (3)把圆想像为钟表，当钟表上的钟针指向上午时，时针与分针的夹角是多少度？ 19．（24-25六年级下·上海虹口·期末）阅读材料： （Ⅰ）在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式______②，得出扇形面积的另一种计算方法______③．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． （Ⅱ）两个数的平方的差可以表示为这两个数的和与这两个数的差的积．即：，例如． （Ⅲ）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，如图，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台可以看成是以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形．直角梯形上、下底旋转而成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰叫作圆台的母线．解决问题： (1)补全（Ⅰ）的空白部分的公式． (2)甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式，如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分）．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)乙同学发现家中的台灯灯罩是一个有上底面无下底面的圆台，如图2的阴影部分为灯罩的侧面展开图，经测量，，，，若欲在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？若欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，则新灯罩所需环保材料的面积为多少平方厘米？（结果保留） 【经典例题四 含圆的组合图形的计算（周长和面积）】 20．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）求下图阴影部分的面积．（单位：厘米） 21．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）一个运动场的跑道形状与大小如下图．两边是半圆形，中间是长方形，这个运动场的占地面积是多少？ 22．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）如图，三角形是直角三角形，，，以，为直径画半圆，两个半圆的交点在边上，求阴影部分的面积．（取） 23．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【合团型的周长与面积】图形计算． (1)如图1中涂色部分的面积为 ； (2)如图2中圆的周长是20厘米，如果圆的面积和长方形的面积相等，那么涂色部分的周长为 ．（结果保留整数） 24．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，在长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长是． (1)求圆的半径； (2)求阴影部分的面积．(结果保留) 25．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 26．（24-25六年级下·上海普陀·月考）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米．    (1)如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了______圈；（取3.14） (2)如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（取3.14） (3)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【经典例题五 阴影部分的周长和面积】 27．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）求阴影部分的面积． 28．（25-26六年级下·上海长宁·期末）（1）计算如图阴影的面积．（） （2）计算下图中阴影部分的周长．（） 29．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）图形计算，单位厘米（参考数据：） (1)求图1中阴影部分的周长： (2)求图2中阴影部分的面积． 30．（24-25七年级上·重庆·开学考试）（1）如图；B，C分别是正方形边上的中点，已知正方形的周长是80厘米．则阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）有一块麦地的形状如下图（单位：米），麦地的面积是多少平方米？ 31．（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）求下列图形阴影部分的面积（单位：厘米） （2）求下列图形阴影部分的周长（单位：厘米） 32．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）（1）求阴影部分的周长． （2）如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积．（，四舍五入，结果保留两位小数．）    33．（24-25六年级下·上海虹口·期中）有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） (1)如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． (2)如图2所示，当这个长方形的长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． 【经典例题六 圆的周长与面积综合应用】 34．（24-25七年级上·江西南昌·开学考试）用塑料绳把4个底面直径为7厘米的啤酒瓶捆扎在一起（如图），捆一圈至少需要多少厘米的绳子？（接头处用20厘米，π取） 35．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进一周（如图）， 这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是，它的圆心走过路线的长度是多少？ 36．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）李芳和张倩同住一个小区，小区旁边有一个圆形活动场．她俩从这个活动场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走米，张倩每分钟走米． (1)这个活动场地的周长是多少米？ (2)这个活动场的占地面积是多少平方米？ 37．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）冬季哈市的大雪为城市居民的出行带来了不便，市政部门出动清雪车清理街道积雪，清雪用的滚筒是一个圆柱体，它的长是2米，滚筒横截面半径是0.4米，如果滚筒每分钟转5周．（取3） (1)一辆清雪车一分钟可前进多少米？ (2)这辆清雪车在第一小时完成多少平方米的清雪任务？ (3)为了尽快完成清雪任务，又加入了一些清雪车，如果这些清雪车在第二小时完成这次清雪任务的，这时没清雪的路面与已经清雪的路面面积比为7：5．若清雪任务开始时就使需要6个小时完成任务．已知一辆清雪车每小时需要政府支出850元，求完成这次清雪任务政府需要支出多少元？ 38．（24-25六年级下·浙江杭州·开学考试）“太极”是中国古代哲学的核心概念之一，蕴含着深邃的宇宙观与辩证思维，太极强调“阴阳互根”“对立统一”，如昼夜、寒暑、动静等矛盾双方既相互依存，又此消彼长，体现中国传统哲学的辩证智慧．如图方格图中有一个简化版的“太极图”，图中每个格子都是边长相同的正方形． (1)画一画．利用圆规和尺子，在方格图中画出左边的“太极图”，要求画出的图案与原图案大小、形状相同． (2)如果方格图中每个格子的边长为1厘米，求阴影部分的周长是多少厘米？（结果保留） 39．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）如图，半径为r的圆的周长为．（取3.14） (1)求为多少？ (2)半径为R的圆的面积比半径为r的圆面积大，半径为R的圆的周长是多少？ 40．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【经典例题七 不规则图形的面积】 41．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）如图所示，在长方形中，三角形的面积比三角形的面积大10平方厘米，求阴影部分的面积． 42．（25-26七年级上·湖南湘潭·开学考试）计算下面图形中阴影部分的面积．（单位：）（第（2）问取3） 43．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）分别求出两幅图中阴影部分的面积．（，单位：） (1) (2) 44．（24-25六年级下·上海杨浦·假期作业）图形探索． 情境描述：五（1）班的小雪在纸上画了一个梯形和一个圆，并给其中的两个部分涂成阴影，如图．接着，她提出一个数学问题：“阴影部分的面积是多少？”．经过深入思考，可她还是不能解决．假如小雪向你请教，你能帮她解决吗？ (1)我向小雪这样介绍思路： (2)我指导小雪这样列式计算： 45．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）已知圆周上任意点和直径两端点的连线形成一个角，我们把这个角称为圆周角．如图1，是直径，P是圆周上一点，那么是圆周角．到了中学里我们会学到，圆周角总是等于90度． (1)图2是以为直径的半圆，点C是圆周上一点，是 的高，长为，已知的面积是求图中阴影部分的面积． (2)图2半圆的直径不变，当点C在半圆周上运动时，求面积的最大值． 46．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 47．（24-25六年级下·上海金山·期中）数学兴趣小组探究一个问题：已知一条线段（端点A在端点B左侧），把线段绕一些点旋转后得到线段（端点A在端点B右侧），并且旋转后的线段和原线段在同一直线上，那么在旋转过程中线段扫过的面积是多少？ (1)如图1把线段绕点A旋转，点B旋转到点的位置，就可以得到符合条件的线段，计算旋转过程中线段扫过的面积； (2)在图2中，取线段的中点O，把线段绕点O旋转后，点A旋转到点B的位置，点B旋转到点A的位置，能得到符合条件的线段，计算旋转过程中线段扫过的面积； (3)在图3中，在线段上取一点P，使得，把线段绕点P旋转后，能不能得到符合条件的线段，如果能就画出旋转过程的图形，用阴影部分标出线段扫过的部分，并且计算旋转过程中线段扫过的面积是多少？如果不能，说明理由； (4)以线段为一条边，构建一个等边三角形（如图4），按以下步骤画图：第一步把线段绕点A逆时针旋转，此时点B的位置记为点，线段旋转到线段；第二步把线段绕点逆时针旋转，此时点A的位置记为点，线段旋转到线段；第三步把线段绕点逆时针旋转，此时点的位置记为点．经过上述三步后，线段旋转后得到的线段符合条件，如果等边三角形的面积为，计算旋转过程中线段扫过的面积（重复扫过的部分只算一次）是多少？ 【经典例题八 根据圆的周长解决路程问题】 48．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）李老师家到学校的路程是米，一辆自行车的车轮外直径是66厘米，按车轮每分钟转100圈计算，李老师骑这辆自行车从家到学校大约要多少分钟？（取） 49．（24-25六年级下·上海·期末）中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到） 50．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）杂技艺术在我国已有2000多年的历史．一名杂技演员在一根悬空的钢丝绳上骑独轮车，车轮的半径是，从钢丝绳的一端到另一端，车轮正好转动20周．这名杂技演员骑独轮车在钢丝绳上行驶了多少米？ 51．（25-26六年级下·湖南衡阳·开学考试）王阿姨是一位运动达人，她喜欢跑步和骑自行车．如图是王阿姨5月27日早晨户外跑步情况．其中平均配速是指跑步过程中平均每公里所需的时间，是衡量跑步效率的重要指标．（“公里”又称“千米”） (1)这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是多少分/公里？ (2)王阿姨的自行车前轮大，后轮小（如图2）．前轮的直径是厘米，后轮的直径是厘米，每个轮子都有一条通过轴心的标记线．在车子骑行前的一刹那，两个轮子的标记线正好都与地面垂直，前轮至少转动圈后，两根标记线又会同时与地面垂直，此时自行车骑行了米．（取） (3)5月28日早上王阿姨骑自行车早锻炼，自行车显示器显示后轮平均每分钟转动圈，她骑行的速度是米分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行多少圈？（结果保留整数） 52．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材：如图①是学校操场实物图，图②是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为．标准跑道一般设置条跑道，跑道设置条跑道，直道长均为，每道宽．在一个标准的跑道内，，，，等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：取，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务：某校操场是跑道： (1)①求第一跑道弯道的半径（保留一位小数）； ②小明、小勇参加学校运动会比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是，小勇的速度是，他们同时跑向同一终点，小明几秒能追上小勇？ (2)小丽、小红参加学校运动会比赛，若小丽在第三跑道，小红在第跑道，并且第跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸，求操场第跑道的周长． 53．（2025六年级下·上海·专题练习）森林运动会上，蚂蚁、虫子要进行赛跑比赛．在猴子裁判画的跑道上，蚂蚁选择外圈的大圆跑道，而虫子选择内圈的小圆跑道．它们速度相同，并且都是同时从点A出发，沿着跑道回到点A．（1米、2米为小圆的直径长度） (1)第一次比赛，蚂蚁、虫子在图1跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④方向回到点A．比赛结果是什么？请通过计算来验证你的结果． (2)第二次比赛，蚂蚁、虫子在图2跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④→⑤→⑥方向回到点A．比赛结果是什么？请通过计算验证结果． (3)通过两次比赛结果，你有什么发现？请你画图，并通过计算验证你的发现． 54．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆与扇形章末54道压轴题型专训（8大题型） 题型一 按比例分圆 题型二 求弧长 题型三 扇形的周长和面积 题型四 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 题型五 阴影部分的周长和面积 题型六 圆的周长与面积综合应用 题型七 不规则图形的面积 题型八 根据圆的周长解决路程问题 【经典例题一 按比例分圆】 1．（24-25六年级下·上海·单元测试）将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形，求最大的扇形与最小扇形的面积之差为多少平方厘米．（结果保留 ） 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了扇形的面积公式． 根据题意可知扇形的半径为厘米，根据求出每份的圆心角度数，再用最大的圆心角减去最小的圆心角根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】∵将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形， ∴扇形的半径为厘米， ∵圆心角为， ∴每份的圆心角度数为， ∴最大的扇形与最小扇形的面积之差为（平方厘米）． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，将一个半径为的圆分割成甲、乙、丙三个扇形，它们的圆心角度数之比为． (1)求这三个扇形的圆心角度数． (2)求这三个扇形的面积．（结果保留） 【答案】(1)甲扇形的圆心角度数为，乙扇形的圆心角度数为，丙扇形的圆心角度数为 (2)甲扇形的面积为，乙扇形的面积为，丙扇形的面积为 【分析】本题主要查了扇形的圆心角度数，扇形的面积： （1）用分别乘以三个扇形所占的比例，即可求解； （2）用圆的面积分别乘以三个扇形所占的比例，即可求解． 【详解】（1）解：甲扇形的圆心角度数为， 乙扇形的圆心角度数为， 丙扇形的圆心角度数为； （2）解：甲扇形的面积为， 乙扇形的面积为， 丙扇形的面积为． 3．（24-25六年级下·陕西西安·自主招生）（行程问题）如图，，是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同）．假设当乙跑完 米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇．那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完_______圈又________米． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是环形路线上的相遇问题．通过两次相遇的路程关系推导一圈长度，再计算第十二次相遇时甲的总路程，即可解答． 【详解】解：甲、乙第一次相遇时共跑圈，乙跑了米， 第二次相遇时，甲、乙共跑圈，则乙跑了(米)， 此时，甲差米跑一圈，则可得圈是(米)， 一圈则为米， 第一次相遇时甲跑了(米)，以后每次相遇甲又跑了(米)， 所以第十二次相遇时甲共跑了：(米)， 圈米， 答：当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完圈又米． 故答案为：． 4．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】本题考查圆内扇形与圆的关系． （1）四个圆心角的度数和为，再根据每个角所占整个圆心角的几分之几求解即可； （2）根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：四个扇形的圆心角度数分别如下： ； ； ； ； （2）解：扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：． 5．（24-25六年级下·上海青浦·期末）如图，准备在一个广场中心建一个直径为24m的圆形花坛，并将圆形花坛分割成面积相等的四个部分． (1)请你求出花坛中小圆部分的周长； (2)如果在花坛中小圆以外的三个区域内种上不同品种的花卉，已知A品种与B品种的费用之比为：0.5，B品种和C品种的费用之比为2：3，如果购买C品种花卉比购买A品种花卉多花了7000元，那么购买三种花卉总费用多少元？ 【答案】(1) (2)33000元 【分析】（1）设小圆部分的半径为r，根据花园被分成4个面积相等的部分列出方程，解之即可； （2）根据已知条件求出三种品种费用之比，再用7000除以C比A多的份数，最后乘以总份数即可． 【详解】（1）解：设小圆部分的半径为r， 由题意可得：， 解得：（负值舍去）， ∴花坛中小圆部分的周长为； （2）∵A品种与B品种的费用之比为，即， B品种和C品种的费用之比为， ∴A品种、B品种和C品种的费用之比为， ∵购买C品种花卉比购买A品种花卉多花了7000元， ∴购买三种花卉总费用为：元． 【点睛】本题考查了比的应用，求圆的周长，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 【经典例题二 求弧长】 6．（24-25六年级下·安徽淮南·月考）有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精确到0.1米） 【答案】圆心角等于60°的圆弧形公路长47.1米 【分析】根据弧长公式计算即可得． 【详解】解：圆心角等于60°的圆弧形公路长为＝15π≈47.1米， 答：圆心角等于60°的圆弧形公路长47.1米． 【点睛】此题主要考查弧长公式的求解，解题的关键是熟知弧长公式的运用． 7．（24-25六年级下·吉林白城·期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，求贴纸部分的周长． 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式．根据题意先求出的长，再利用扇形弧长公式分别求出和，将求得结果相加即为本题答案． 【详解】解：∵， ∴，   ∵夹角为， ∴， ， ∴贴纸部分的周长为： （cm）， 答：贴纸部分的周长为． 8．（24-25六年级下·安徽芜湖·月考）龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 【答案】米 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出弧的长度，即可求出整条龙的长度． 【详解】解：∵弧长为（米）， ∴整条龙的长是（米）． 9．（24-25六年级下·福建莆田·期中）将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形处，求顶点O经过的路线总长． 【答案】 【分析】仔细观察顶点经过的路线可得，顶点经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：顶点经过的路线可以分为三段，当弧切直线于点时，有直线，此时点绕不动点转过了； 第二段：直线到直线，点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线的，所以与转动点的连线始终直线，所以点在水平运动，此时点经过的路线长的弧长 第三段：直线到点落在直线上，点绕不动点转过了 所以，点经过的路线总长． 【点睛】本题考查了求弧长，解题的关键是理解顶点经过的路线可得，则顶点经过的路线总长为三个扇形的弧长． 10．（24-25六年级下·上海杨浦·课后作业）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到） 【答案】旋转了约 【分析】根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为5cm，重物上升了10cm， 根据， 解得n≈115°． 答：滑轮上某一点P旋转了约． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长公式． 11．（24-25六年级下·上海杨浦·课后作业）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）． 【答案】 【分析】先利用弧长公式求出弧长，再加上两直线长就可． 【详解】解：由弧长公式，得的长． 展直长度． 答：图中所示的管道的展直长度是2970mm. 【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式的计算是解答此题的关键． 12．（24-25六年级下·上海杨浦·课后作业）如图，某田径场的周长（内圈）为，其中两个弯道内圈（半圆形）共长，直线段共长，而每条跑道宽约（共6条跑道）． （1）内圈弯道半径为多少米？（结果精确到） （2）一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？（结果精确到） 【答案】（1）约；（2）约 【分析】（1）根据题意可得：两个弯道内圈组合在一起是一个圆，然后由圆的周长公式，即可求解； （2）利用外圈弯道的长度减去内圈弯道的长度，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：内圈弯道半径为 （米）， 答：内圈弯道半径约为； （2）由（1）得：外圈弯道半径为 （米）， 一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差为 （米）， 答：一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差约． 【点睛】本题主要考查了圆的相关知识的相关应用，熟练掌握圆的周长公式为，其中 为圆的半径是解题的关键． 【经典例题三 扇形的周长和面积】 13．（24-25七年级上·北京丰台·月考）如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．（取） 【答案】 【分析】把阴影外移，适当分割计算即可． 本题考查了阴影面积的计算，正确分割是解题的关键． 【详解】解：把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个的扇形的面积之和即一个半径为1的整圆的面积， 故阴影部分的面积为． 14．（25-26六年级下·湖南长沙·开学考试）有一个正六边形房子，正六边形边长为4米，牵羊的绳子长6米，羊能吃到草的面积是多少？（取，结果保留两位小数） 【答案】羊能吃到草的面积约为平方米 【分析】本题考查了扇形的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知小羊的活动面积为一个大扇形加两个小扇形的面积，进而求解即可． 【详解】解：∵正六边形房子的内角为，正六边形边长为4米，牵羊的绳子长6米， ∴羊绕拴点转动时，可活动的圆心角为，半径为绳长6米， 当羊绕到相邻顶点时，绳子被房子边长（4米）挡住，剩余绳长为米，羊可转动的圆心角为，共2个这样的小扇形， ∴羊能吃到草的面积 （平方米）， 最终，羊能吃到草的面积约为平方米． 15．（25-26七年级上·河南鹤壁·开学考试）求出如图的阴影部分面积． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了求不规则图形的阴影面积. 先求出下方近似梯形的空白面积，再用扇形面积减去近似梯形的空白面积即可. 【详解】解：近似梯形的空白面积：平方厘米 阴影部分面积：平方厘米 16．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨柄长是，扇面宽度．求这把扇子完全展开后扇面所占的面积（取3.14）． 【答案】这把扇子完全展开后扇面所占的面积为 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．根据大扇形面积减去小扇形面积即扇面的面积求解即可． 【详解】解： 则这把扇子完全展开后扇面所占的面积为 17．（2025六年级下·上海·专题练习）我们都学习了扇形的面积，试回忆扇形面积的推导公式，并根据你的理解，回答下列问题： (1)对于一个半径为r，圆心角为的扇形，其面积为 ． (2)你认为上述面积公式的推导过程，与下列哪个公式的推导使用了基本相同的办法 ． A．圆的面积公式；  B．圆的周长公式；   C．平行四边形的面积公式； D．弧长公式． (3)在上述扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要作用（有几个写几个） A．圆的面积公式；  B．圆的周长公式；   C．弧长公式； D．分数的意义． (4)如果已知一个扇形的弧长为，半径为r，试用和r表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程． 【答案】(1) (2)D (3)A；D (4)，见解析 【分析】（1）直接根据扇形面积公式解答即可； （2）根据扇形面积的推导方法解答即可； （3）根据扇形的面积公式解答即可； （4）根据扇形的面积公式和弧长公式解答即可． 【详解】（1）对于一个半径为r，圆心角为的扇形，其面积为：． 故答案为：； （2）推导扇形面积公式使用的办法是：寻找扇形与其半径相同的圆的面积之间关系来推导扇形的面积计算公式的，而弧长公式是寻找弧与其相同半径的圆周长之间的关系来推导弧长的公式的，方法基本相同； 故选D； （3）因为扇形的面积由扇形所占圆心角占圆周角的比例决定，所以扇形面积的推导过程中，圆的面积公式、分数的意义起着着重要作用． 故选A，D； （4）； 推导：因为， 所以． 【点睛】此题考查了扇形面积推导的相关知识，要牢记扇形的面积公式． 18．（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数比为，请完成下面问题： (1)求出扇形丁的圆心角度数； (2)如果圆的半径为6，请求出扇形乙的面积（取3）． (3)把圆想像为钟表，当钟表上的钟针指向上午时，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用乘以扇形丁在整个圆中的占比即可得到答案； （2）用圆的面积乘以扇形乙在整个圆中的占比即可得到答案． （3）钟表上一大格表示，时针一分钟转，再根据角的和差计算即可． 【详解】（1）解：扇形丁的圆心角度数为：； （2）解：扇形乙的面积为： ； （3）钟表上的钟针指向上午时，时针与分针的夹角为： ． 【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角的度数，扇形的面积，以及钟面角，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（24-25六年级下·上海虹口·期末）阅读材料： （Ⅰ）在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式______②，得出扇形面积的另一种计算方法______③．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． （Ⅱ）两个数的平方的差可以表示为这两个数的和与这两个数的差的积．即：，例如． （Ⅲ）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，如图，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台可以看成是以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形．直角梯形上、下底旋转而成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰叫作圆台的母线．解决问题： (1)补全（Ⅰ）的空白部分的公式． (2)甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式，如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分）．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)乙同学发现家中的台灯灯罩是一个有上底面无下底面的圆台，如图2的阴影部分为灯罩的侧面展开图，经测量，，，，若欲在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？若欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，则新灯罩所需环保材料的面积为多少平方厘米？（结果保留） 【答案】(1)①；②；③ (2)推导正确，见详解 (3)花边长厘米，所需环保材料的面积是 【分析】该题考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是理解题意． （1）根据扇形面积公式和弧长公式求解即可； （2）根据和列出阴影部分面积即可证明； （3）根据求出阴影部分外圈和内圈的弧长之和即可得出花边长；根据求出阴影部分的面积与灯罩中上底面的面积即可解答． 【详解】（1）解：①， 弧长公式②， ∴③． 故答案为：①；②；③． （2）解：正确，推导如下： 设弧所对的半径为，弧所对的半径为，，根据题意， 故折扇扇面部分的面积 ． （3）解：根据题意灯罩的上边缘花边长， 灯罩的下边缘花边长， 故至少需要花边； 新灯罩所需环保材料的面积． 【经典例题四 含圆的组合图形的计算（周长和面积）】 20．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）求下图阴影部分的面积．（单位：厘米） 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了圆的相关计算，观察图形可得阴影部分的面积等于两个半圆的面积减去三角形的面积即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为 平方厘米 21．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）一个运动场的跑道形状与大小如下图．两边是半圆形，中间是长方形，这个运动场的占地面积是多少？ 【答案】1314平方米 【分析】本题考查求圆的面积，根据总面积等于圆的面积加上长方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：长方形的面积：（平方米） 圆的面积：（平方米） 一共：（平方米） 答：这个运动场的占地面积是1314平方米． 22．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）如图，三角形是直角三角形，，，以，为直径画半圆，两个半圆的交点在边上，求阴影部分的面积．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查阴影面积的求法，理解阴影部分的面积两个半圆的面积减去三角形的面积是解题的关键．图中阴影部分的面积为两个半圆的面积三角形的面积，然后利用圆的面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设各个部分的面积为：，，，，，如图所示， 两个半圆的面积和是：，的面积是， 图中阴影部分的面积为：两个半圆的面积减去三角形的面积． 阴影部分的面积 ． 故阴影部分的面积为． 23．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【合团型的周长与面积】图形计算． (1)如图1中涂色部分的面积为 ； (2)如图2中圆的周长是20厘米，如果圆的面积和长方形的面积相等，那么涂色部分的周长为 ．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了长方形的周长、圆的周长和面积公式，读懂题意，正确计算是解题的关键． （1）用长方形的面积减去半圆的面积即可； （2）设圆的半径为厘米，长方形的长为厘米，根据题意可得，则，代入即可得到涂色部分的周长． 【详解】（1）解：根据题意：长方形的宽为，半圆的半径为， 则涂色部分的面积为， 故答案为：； （2）解：设圆的半径为厘米，长方形的长为厘米， 则， ， ， ∴图中涂色部分的周长是， 故答案为：． 24．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，在长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长是． (1)求圆的半径； (2)求阴影部分的面积．(结果保留) 【答案】(1)圆的半径为 (2)阴影部分的面积为平方厘米 【分析】本题考查了圆与组合图形的面积计算； （1）根据圆的直径与长方形的长之间的关系得出答案； （2）计算长方形的宽，用矩形面积减去三个圆的面积即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为， 长方形的长是， ， 解得， 答：圆的半径为； （2）解：阴影的面积为： ， 答：阴影部分的面积为平方厘米． 25．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)平方厘米 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （3）圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域，据此画出示意图，并求解面积即可． 【详解】（1）解：（厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （2）解：（厘米）， （厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （3）解：如图所示，圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以圆O滚过区域的面积为平方厘米。 26．（24-25六年级下·上海普陀·月考）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米．    (1)如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了______圈；（取3.14） (2)如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（取3.14） (3)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【答案】(1)100 (2)这辆拖拉机向前行驶了米； (3)这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）先计算前后轮滚动圈数比为，得到前轮滚动500圈，据此计算即可求得答案； （3）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， 故答案为：100； （2）解：前后轮滚动圈数比 前轮滚动500圈，后轮滚动200圈． 米． 答：这辆拖拉机向前行驶了米； （3）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，   ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【经典例题五 阴影部分的周长和面积】 27．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）求阴影部分的面积． 【答案】图1：8；图2：14.13 【分析】本题考查了利用平移巧算周长与面积、正方形的面积、圆环的面积、小数的四则运算及法则： （1）如图所示，图中①、②、③、④的面积是相等的，将①和②分别移到③和④的位置，则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半，据此解答． （2）阴影部分的面积（大圆的面积小圆的面积），小圆的半径为，大圆的半径为；根据圆的面积，代入相应数值计算即可解答． 【详解】（1）如图所示： 图中①、②、③、④的面积是相等的，将①和②分别移到③和④的位置， 则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半：； （2）小圆的半径：， 大圆的半径：， 阴影部分的面积（大圆的面积小圆的面积）， 即： （）． 故图1和图2阴影部分面积分别为：8；14.13． 28．（25-26六年级下·上海长宁·期末）（1）计算如图阴影的面积．（） （2）计算下图中阴影部分的周长．（） 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查圆，阴影部分的周长和面积； （1）用圆的面积减去正方形面积即可； （2）用正方形的3条边长加圆周长的一半即可． 【详解】解：（1）   ． 所以阴影部分的面积是．   （2）   ， 阴影部分的周长为． 29．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）图形计算，单位厘米（参考数据：） (1)求图1中阴影部分的周长： (2)求图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)厘米 (2)平方厘米 【分析】本题主要考查了求阴影部分的周长和面积，解题的关键是熟练掌握圆的面积和周长计算公式． （1）根据阴影部分的周长等于直径为8的圆的周长，进行计算即可； （2）根据阴影部分的面积三角形面积圆的面积，进行计算即可． 【详解】（1）解：（厘米）， 答：阴影部分的周长为厘米； （2）解： （平方厘米）． 30．（24-25七年级上·重庆·开学考试）（1）如图；B，C分别是正方形边上的中点，已知正方形的周长是80厘米．则阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）有一块麦地的形状如下图（单位：米），麦地的面积是多少平方米？ 【答案】（1）150；（2）320 【分析】本题主要考查了正方形的面积，长方形的面积，三角形的面积的求解，解题的关键是掌握割补法求面积． （1）根据正方形的面积减去三角形的面积求解； （2）把图形分成长和宽分别为23米和8米、17米和8米的两个小长方形进行求解即可． 【详解】解：（1）如图所示： 根据题意，正方形的边长为：（厘米）， 因为B，C分别是正方形边上的中点， 所以厘米， 故阴影部分的面积为： （平方厘米）， 答：阴影部分的面积是150平方厘米； （2）如图所示，将麦地分成两个小长方形， 所以麦地的面积是： （平方米）， 答：麦地的面积是320平方米． 31．（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）求下列图形阴影部分的面积（单位：厘米） （2）求下列图形阴影部分的周长（单位：厘米） 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了圆面积与圆周长的计算． （1）用大圆的面积减去大圆里面两个圆的面积即可． （2）把三个半圆的周长相加即可． 【详解】（1） （2） 32．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）（1）求阴影部分的周长． （2）如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积．（，四舍五入，结果保留两位小数．）    【答案】（1），（2） 【分析】（1）首先求出，大半圆的半径，然后运用弧长公式直接计算即可解决问题； （2）阴影部分的面积正方形面积半圆面积的面积的面积． 【详解】解：（1）如图：    （2） 【点睛】该题主要考查了弧长公式及其应用问题、考查扇形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求出阴影部分的面积． 33．（24-25六年级下·上海虹口·期中）有一个长方形，宽，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π） (1)如图1所示，当时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S． (2)如图2所示，当这个长方形的长缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作，上下各有两个区域的面积分别记作和，当时，直接写出此时的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形的性质，掌握矩形面积、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据进行计算即可； （2）根据题意可得当时，，进而代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得，， 当时，即， ∴， ∴． 【经典例题六 圆的周长与面积综合应用】 34．（24-25七年级上·江西南昌·开学考试）用塑料绳把4个底面直径为7厘米的啤酒瓶捆扎在一起（如图），捆一圈至少需要多少厘米的绳子？（接头处用20厘米，π取） 【答案】厘米 【分析】本题主要考查了圆的周长和正方形的周长计算，熟练掌握圆的周长公式，是解题的关键．根据圆的周长公式，正方形的周长公式，进行计算即可． 【详解】解： （厘米）， 答：捆一圈至少需要厘米的绳子． 35．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进一周（如图）， 这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是，它的圆心走过路线的长度是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的周长，圆的周长，解题的关键是熟练掌握公式，根据图形得出圆心走过路线是半径为的圆和2条的边，再根据相关的公式，列式计算即可． 【详解】解： ； 答：圆心走过路线的长度是． 36．（25-26六年级下·上海杨浦·课后作业）李芳和张倩同住一个小区，小区旁边有一个圆形活动场．她俩从这个活动场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走米，张倩每分钟走米． (1)这个活动场地的周长是多少米？ (2)这个活动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】(1)这个活动场地的周长是米； (2)这个活动场的占地面积是平方米 【分析】本题考查相遇问题，圆的周长，圆的面积，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意可知，两人的路程和正好就是这个活动场地的周长．速度×时间＝路程，据此分别求出两人的路程，再相加即可； （2）活动场地是圆形的，根据圆周长公式求出圆形活动场的半径，再根据圆面积公式求出这个活动场的占地面积． 【详解】（1）解：， ， （米）， 答：这个活动场的周长是米． （2）解：圆半径：（米）， 圆面积：（平方米）， 答：这个活动场的占地面积是平方米． 37．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）冬季哈市的大雪为城市居民的出行带来了不便，市政部门出动清雪车清理街道积雪，清雪用的滚筒是一个圆柱体，它的长是2米，滚筒横截面半径是0.4米，如果滚筒每分钟转5周．（取3） (1)一辆清雪车一分钟可前进多少米？ (2)这辆清雪车在第一小时完成多少平方米的清雪任务？ (3)为了尽快完成清雪任务，又加入了一些清雪车，如果这些清雪车在第二小时完成这次清雪任务的，这时没清雪的路面与已经清雪的路面面积比为7：5．若清雪任务开始时就使需要6个小时完成任务．已知一辆清雪车每小时需要政府支出850元，求完成这次清雪任务政府需要支出多少元？ 【答案】(1)12米 (2)1440平方米 (3)51000元 【分析】本题重点考查​圆柱体的几何性质（周长和侧面积计算）、比例关系的应用以及工程费用问题​，​正确理解滚筒转动一周前进的距离即圆的周长，以及滚筒转动一周所清扫的路面面积即圆柱的侧面积，是解题的关键． （1）先依据圆的周长公式，计算出一圈的长度，再乘上5，就是一分钟可前进的长度； （2）滚筒滚动一周形成一个长方形，长方形的长是滚筒的长度，宽是滚筒的横截面的周长，先计算出滚一周的面积，再计算1小时清雪的面积即可； （3）先算出清扫任务平米数，再算出清雪车的数量，最后得到答案． 【详解】（1）解：一辆清雪车一分钟前进：（米） （2）解：一辆清雪车一小时完成：（平方米） （3）解：这次清雪任务需要完成：（平方米） 清雪车的数量：（辆） （元） 38．（24-25六年级下·浙江杭州·开学考试）“太极”是中国古代哲学的核心概念之一，蕴含着深邃的宇宙观与辩证思维，太极强调“阴阳互根”“对立统一”，如昼夜、寒暑、动静等矛盾双方既相互依存，又此消彼长，体现中国传统哲学的辩证智慧．如图方格图中有一个简化版的“太极图”，图中每个格子都是边长相同的正方形． (1)画一画．利用圆规和尺子，在方格图中画出左边的“太极图”，要求画出的图案与原图案大小、形状相同． (2)如果方格图中每个格子的边长为1厘米，求阴影部分的周长是多少厘米？（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)厘米 【分析】本题主要考查画圆、圆周长计算等知识点，掌握圆的周长公式成为解题的关键． （1）观察“太极图”可知图案是由一个大圆和两个小半圆的弧长组成，大圆的半径即为两个小半圆的直径，两个小半圆的直径和大圆的直径共线，据此作图即可； （2）观察阴影部分的周长组成，可知阴影部分的周长是由大圆周长的一半和两个小圆周长的一半组成，两个半圆周长即为一个圆的周长，根据“圆周长”，据此计算即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）解：． 答：阴影部分的周长是厘米． 39．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）如图，半径为r的圆的周长为．（取3.14） (1)求为多少？ (2)半径为R的圆的面积比半径为r的圆面积大，半径为R的圆的周长是多少？ 【答案】(1) (2)周长为 【分析】本题考查了圆的周长与面积，掌握这两个计算公式是关键； （1）由圆的周长公式即可求解； （2）由题中面积关系求出R，即可求得半径为R的圆的周长． 【详解】（1）解：， ； 答：r为； （2）解：半径为r的圆的面积为， 因为半径为R的圆的面积比半径为r的圆面积大， 所以半径为R的圆的面积为， 则， 由于，则， 半径为R的圆的周长为； 答：半径为R的圆的周长为． 40．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【答案】(1)最内侧跑道的直道长是米 (2)超前米 (3)， 【分析】本题考查圆的周长的应用； （1）根据跑道的长减去圆周长的一半就是直道长解答即可； （2）根据弯道圆的周长差计算解题； （3）利用小华的路程减去超前的距离和两人最后的距离求出小海的路程；然后求出加速后和加速前小海的速度是小华的倍数，然后求出加速的百分比即可． 【详解】（1）解：米， 答：最内侧跑道的直道长是米； （2）解：应该超前米， 答：第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前米； （3）解：小海跑的路程为米， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：，． 【经典例题七 不规则图形的面积】 41．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）如图所示，在长方形中，三角形的面积比三角形的面积大10平方厘米，求阴影部分的面积． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了长方形的性质及求不规则图形的面积，根据题意求出长方形边长的大小，结合题图可知阴影部分面积等于圆的面积，列式计算即可求出答案． 【详解】解： 三角形的面积比三角形的面积大10平方厘米， ， 即， 解得， 四边形是长方形， ， （平方厘米）， 答：阴影部分的面积为平方厘米． 42．（25-26七年级上·湖南湘潭·开学考试）计算下面图形中阴影部分的面积．（单位：）（第（2）问取3） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是不规则图形面积的计算； （1）总面积减去空白三角形的面积即可； （2）直角三角形的面积减去扇形弧与围成的面积即可. 【详解】解：（1）总面积为：， 空白部分的面积为：， 阴影部分的面积为：； （2）小正方形面积为：， 扇形面积为：， 扇形弧与围成的面积为：， 直角三角形的面积为：， 阴影部分的面积为：. 43．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）分别求出两幅图中阴影部分的面积．（，单位：） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． （1）用半圆的面积减去三角形和扇形的面积和即可； （2）用梯形面积减去扇形面积即可． 【详解】（1）如图，连接， 则，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） 44．（24-25六年级下·上海杨浦·假期作业）图形探索． 情境描述：五（1）班的小雪在纸上画了一个梯形和一个圆，并给其中的两个部分涂成阴影，如图．接着，她提出一个数学问题：“阴影部分的面积是多少？”．经过深入思考，可她还是不能解决．假如小雪向你请教，你能帮她解决吗？ (1)我向小雪这样介绍思路： (2)我指导小雪这样列式计算： 【答案】(1)见详解； (2)见解析 【分析】此题主要考查阴影部分的面积，通过轴对称，巧妙的运用平行四边形的面积公式解决问题． （1）把圆中右边的阴影部分对称到左边，这样就把所有阴影部分变成一个底为4厘米，高为4厘米的平行四边形．通过平行四边形的面积公式即可求出阴影部分的面积． （2）根据平行四边形的面积底高，代入数据即可列式求出阴影部分的面积． 【详解】（1）我向小雪这样介绍思路：通过对称，把阴影部分的面积转化成一个平行四边形的面积，利用平行四边形的面积公式即可得解． （2）我指导小雪这样列式计算： （平方厘米） 答：阴影部分的面积是16平方厘米． 45．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）已知圆周上任意点和直径两端点的连线形成一个角，我们把这个角称为圆周角．如图1，是直径，P是圆周上一点，那么是圆周角．到了中学里我们会学到，圆周角总是等于90度． (1)图2是以为直径的半圆，点C是圆周上一点，是 的高，长为，已知的面积是求图中阴影部分的面积． (2)图2半圆的直径不变，当点C在半圆周上运动时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的面积，三角形面积问题，计算出的长度是解题的关键． （1）先根据的面积和高求出，进而求出半圆的面积，减去的面积即为阴影部分的面积； （2）当点C运动到半圆最高点时，此时点D与半圆圆心重合，面积最大． 【详解】（1）解：由题意知， 半圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． （2）解：由题意知，当点C运动到半圆最高点时，此时点D与半圆圆心重合，面积最大． 此时， 的面积为：， 所以面积的最大值为． 46．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了圆的面积，扇形面积，解本题的关键是数形结合． （1）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积； （2）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得，即可得到和的数量关系；最后根据，即可求出． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； ， 故答案为：，． 47．（24-25六年级下·上海金山·期中）数学兴趣小组探究一个问题：已知一条线段（端点A在端点B左侧），把线段绕一些点旋转后得到线段（端点A在端点B右侧），并且旋转后的线段和原线段在同一直线上，那么在旋转过程中线段扫过的面积是多少？ (1)如图1把线段绕点A旋转，点B旋转到点的位置，就可以得到符合条件的线段，计算旋转过程中线段扫过的面积； (2)在图2中，取线段的中点O，把线段绕点O旋转后，点A旋转到点B的位置，点B旋转到点A的位置，能得到符合条件的线段，计算旋转过程中线段扫过的面积； (3)在图3中，在线段上取一点P，使得，把线段绕点P旋转后，能不能得到符合条件的线段，如果能就画出旋转过程的图形，用阴影部分标出线段扫过的部分，并且计算旋转过程中线段扫过的面积是多少？如果不能，说明理由； (4)以线段为一条边，构建一个等边三角形（如图4），按以下步骤画图：第一步把线段绕点A逆时针旋转，此时点B的位置记为点，线段旋转到线段；第二步把线段绕点逆时针旋转，此时点A的位置记为点，线段旋转到线段；第三步把线段绕点逆时针旋转，此时点的位置记为点．经过上述三步后，线段旋转后得到的线段符合条件，如果等边三角形的面积为，计算旋转过程中线段扫过的面积（重复扫过的部分只算一次）是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，根据题意正确画出图形是解题关键． （1）由图形可知，旋转过程中线段扫过的面积为以为半径的半圆的面积，即可求解； （2）由图形可知，旋转过程中线段扫过的面积为以为半径的圆的面积，即可求解； （3）先画出图形，由图形可知，旋转过程中线段扫过的面积是以为半径的圆和以为半径的半圆的面积之和，即可求解； （4）先根据步骤画出图形，再根据线段扫过的面积即可求解． 【详解】（1）解：由图形可知，旋转过程中线段扫过的面积为以为半径的半圆的面积， 因为， 则， 即旋转过程中线段扫过的面积为； （2）解：由图形可知，旋转过程中线段扫过的面积为以为半径的圆的面积， 因为，O是线段的中点， 所以， 则， 即旋转过程中线段扫过的面积为； （3）解：如图，即为线段扫过的部分， 由图形可知，旋转过程中线段扫过的面积是以为半径的圆和以为半径的半圆的面积之和， 因为，， 所以，，， 则， 即旋转过程中线段扫过的面积是； （4）解：由图形可知，第一步，线段扫过的面积是以为半径，所对的扇形的面积， 第二步，线段扫过的面积是以为半径，所对的扇形的面积， 第三步，线段扫过的面积是以为半径，所对的扇形的面积， 则线段扫过的面积 【经典例题八 根据圆的周长解决路程问题】 48．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）李老师家到学校的路程是米，一辆自行车的车轮外直径是66厘米，按车轮每分钟转100圈计算，李老师骑这辆自行车从家到学校大约要多少分钟？（取） 【答案】10分钟 【分析】本题主要考查了圆的周长计算，根据圆的周长公式，结合题意，列式计算即可．熟练掌握圆的周长公式，是解题的关键． 【详解】解：米厘米， （分钟）， 答：李老师骑这辆自行车从家到学校大约要10分钟． 49．（24-25六年级下·上海·期末）中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到） 【答案】巡天望远镜的绕行速度为 【分析】本题考查圆的周长，先将巡天望远镜到地球的距离加上地球的半径，求出其运行的周长，除以飞行一周的时间，即得答案． 【详解】解：巡天望远镜的轨道周长为， ∴巡天望远镜的绕行速度为， 答：巡天望远镜的绕行速度为． 50．（25-26六年级下·上海嘉定·期末）杂技艺术在我国已有2000多年的历史．一名杂技演员在一根悬空的钢丝绳上骑独轮车，车轮的半径是，从钢丝绳的一端到另一端，车轮正好转动20周．这名杂技演员骑独轮车在钢丝绳上行驶了多少米？ 【答案】米 【分析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式． 根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出车轮的周长，然后再乘车轮滚动的圈数即可． 【详解】解：（米）， 答：这名杂技演员骑独轮车在钢丝绳上行驶了米． 51．（25-26六年级下·湖南衡阳·开学考试）王阿姨是一位运动达人，她喜欢跑步和骑自行车．如图是王阿姨5月27日早晨户外跑步情况．其中平均配速是指跑步过程中平均每公里所需的时间，是衡量跑步效率的重要指标．（“公里”又称“千米”） (1)这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是多少分/公里？ (2)王阿姨的自行车前轮大，后轮小（如图2）．前轮的直径是厘米，后轮的直径是厘米，每个轮子都有一条通过轴心的标记线．在车子骑行前的一刹那，两个轮子的标记线正好都与地面垂直，前轮至少转动圈后，两根标记线又会同时与地面垂直，此时自行车骑行了米．（取） (3)5月28日早上王阿姨骑自行车早锻炼，自行车显示器显示后轮平均每分钟转动圈，她骑行的速度是米分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行多少圈？（结果保留整数） 【答案】(1)这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是分/公里 (2)， (3)她骑行的速度是米/分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行圈 【分析】本题考查的是圆周长的应用． （1）用除以，即可解答； （2）根据圆周长直径，求出它们的周长，再写出它们的比，再化简，再用后轮的周长前轮的圈数，即可解答； （3）用后轮的周长乘，再除以，用后轮的周长乘，再用除以后轮的周长乘，即可解答． 【详解】（1）解：（分/公里） 答：这天早晨王阿姨户外跑步的平均配速是分/公里． （2）（厘米） （厘米） （厘米） 厘米米 答：前轮至少转动圈后，两根标记线又会同时与地面垂直，此时自行车骑行了米． 故答案为：，． （3）（厘米/分） 厘米/分米/分 （分钟） 公里厘米 （圈） 答：她骑行的速度是米/分（取）．如果骑自行车平均每分钟消耗的热量为千卡，那么要达到月日早晨跑步的总消耗量，王阿姨大约需要绕着原跑步路线骑行圈． 52．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材：如图①是学校操场实物图，图②是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为．标准跑道一般设置条跑道，跑道设置条跑道，直道长均为，每道宽．在一个标准的跑道内，，，，等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：取，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务：某校操场是跑道： (1)①求第一跑道弯道的半径（保留一位小数）； ②小明、小勇参加学校运动会比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是，小勇的速度是，他们同时跑向同一终点，小明几秒能追上小勇？ (2)小丽、小红参加学校运动会比赛，若小丽在第三跑道，小红在第跑道，并且第跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸，求操场第跑道的周长． 【答案】(1)①第一跑道弯道的半径；② (2)操场第跑道的周长为米 【分析】本题主要考查了圆的周长计算、追及问题、代数式表示与方程求解以及实际问题中的数学建模． （1）①根据第一跑道由“两段直道和两个半圆”组成，直道总长为，即可得到弯道的总长，由圆的周长公式即可求出半径；②设第二跑道半径为，第一跑道半径为，两条相邻跑道半径相差，则第二跑道比第一跑道多出的长度为，再利用路程速度差=时间列式计算即可； （2）根据题意， 在比赛中，第跑道相对于第一跑道的前伸量为米，第跑道相对于第三跑道的前伸量为，由题意，，解得的值代入计算即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 则第一跑道弯道的半径； ②设第二跑道半径为，第一跑道半径为， 根据题意得：第一跑道弯道半径为，第二跑道弯道半径为， 小勇比小明多跑， 则小明追上小勇的时间为； （2）解：在比赛中，第跑道相对于第一跑道的前伸量为米， 第跑道相对于第三跑道的前伸量为， 由题意，，解得，即， 第跑道（第跑道）的周长为米 所以，操场第跑道的周长为米． 53．（2025六年级下·上海·专题练习）森林运动会上，蚂蚁、虫子要进行赛跑比赛．在猴子裁判画的跑道上，蚂蚁选择外圈的大圆跑道，而虫子选择内圈的小圆跑道．它们速度相同，并且都是同时从点A出发，沿着跑道回到点A．（1米、2米为小圆的直径长度） (1)第一次比赛，蚂蚁、虫子在图1跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④方向回到点A．比赛结果是什么？请通过计算来验证你的结果． (2)第二次比赛，蚂蚁、虫子在图2跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④→⑤→⑥方向回到点A．比赛结果是什么？请通过计算验证结果． (3)通过两次比赛结果，你有什么发现？请你画图，并通过计算验证你的发现． 【答案】(1)平局 (2)平局 (3)当大圆的直径等于几个小圆直径的和时，大圆的周长等于几个小圆周长之和 【分析】本题考查圆的周长及应用，灵活运用圆的周长是解答本题的关键． （1）由题意可知，它们速度相同，并且都是同时从点A出发，则分别求出蚂蚁和虫子跑的路程然后比较即可．蚂蚁跑的路程是直径为2＋2＝4（米）的圆的周长，而虫子跑的是直径为2米的小圆的两个周长，据此解答即可． （2）同理，分别求出蚂蚁和虫子跑的路程然后比较即可，蚂蚁跑的路程是直径为1＋2＋1＝4（米）的圆的周长，而虫子的路程是直径为1米的两个小圆的周长加上直径为2米的圆的周长．据此解答即可． （3）根据图1和图2，画出蚂蚁和虫子的行走路线，然后比较它们所走的路程即可． 【详解】（1）解：蚂蚁：（米）， 虫子：（米）， ， 答：蚂蚁和虫子所行的路程一样长，所以它们同时到达． （2）解：蚂蚁：（米）， 虫子：（米）， ， 答：蚂蚁和虫子所行的路程一样长，所以它们同时到达． （3）解：通过比较两次所行的路线长度可知，当大圆的直径等于几个小圆直径的和时，沿大圆行一圈所走的路程与沿各小圆所走的路程相等．如图所示： 大圆的周长：， 小圆的周长之和：， 因为，所以多个小圆周长之和与大圆的周长长度相等． 54．（24-25六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 【答案】[操作观察] 逆时针；[计算思考]（1）加速；（2）350；（3）36，顺时针；[拓展应用] ，5.024 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，圆的周长的计算，正确理解题意是解题的关键． [操作观察]根据大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮B转动方向； [计算思考]（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，即可确定加速； （2）根据齿数与转速的关系求解； （3）根据齿数与转速的关系求解； [拓展应用]根据圆的周长公式即可求解 【详解】[操作观察] 解：大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，故小齿轮B按逆时针方向旋转， 故答案为：逆时针； [计算思考] 解：（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，故属于加速， 故答案为：加速； （2）小齿轮B每分钟转动（圈）， 故答案为：350； （3）齿轮C的齿数：（圈），齿轮C的方向与齿轮B的方向相反，因此C的方向为顺时针， 故答案为：36，顺时针； [拓展应用] 解：后齿轮相应的转动：（圈）， 后轮前进路程为：， 故答案为：5.024． 学科网（北京）股份有限公司 $