专题02 二元一次方程组的解法重难点题型专训（2个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年六年级数学下册重难点专题提升讲练（沪教版五四制）

23-专题02二元一次方程组的解法重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 三元一次方程组的定义及解 拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值 拓展训练二 新定义二元一次方程组压轴 拓展训练三 整数解限定最值压轴 知识点一：二元一次方程组的解法 1. 消元思想 ​ 核心思路：化二元为一元，逐一求解 2.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26六年级下·上海闵行·期中）用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·上海长宁·期中）二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26六年级下·上海宝山·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·上海虹口·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程：______． 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级下·全国·单元测试）方程组的解是_______． 1．（24-25七年级下·河南周口·月考）关于x、y的方程和，下列说法正确的（    ） ①当时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解； ②当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解； ③当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解； ④当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 2．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）用代入法解方程组把________代入________，可以消去未知数________，方程变为________．（不用化简） 3．（24-25七年级下·河南南阳·月考）延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·上海虹口·课后作业）已知方程组，则________． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，如果点中、的值是二元一次方程组的解，那么称点为该方程组的解坐标． 如：点是二元一次方程组的解坐标． （1）二元一次方程组的解坐标为_____； （2）已知关于、的二元一次方程组，当、满足条件_____时，该二元一次方程组存在无数个解坐标． 3．（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若方程组的解是，则方程组的解是_________． 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于，的二元一次方程的解如表： 关于，的二元一次方程的解如表： 则关于，的二元一次方程组的解是______． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 【经典例题四 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 1．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为______． 3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北十堰·月考）已知，，…，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则______． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（    ） 5 A．16 B．17 C．18 D．19 2．（2025·北京大兴·模拟预测）小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则_________花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差_________元． 3．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 【经典例题六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是（    ） A．0 B． C．3 D．9 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则下列四个结论：①当时，；②当时，则；③不论k取什么实数，的值始终不变；④不论k取什么实数，x、y均为正整数的解有一对．其中正确的是______．（填写序号） 1．（24-25七年级下·浙江·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 2．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不存在数a，使 是原方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程的解；④x，y的都为自然数的解有无数对．其中正确的个数为__________．（填上所有正确的序号） 3．（24-25七年级下·河南南阳·月考）下图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图． 将方程组中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…方程组n． (1)方程组1的解是________； (2)请依据方程组和它的解变化规律，直接写出方程组n______和它的解是______． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 【经典例题七 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（25-26六年级下·上海虹口·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则_______ ． 1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 2．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）在等式中，当时，当时；当时，则的值为______． 3．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 【例2】（2025七年级下·浙江·模拟预测）如下表，是小明同学探究关于的代数式（其中，为常数）的值变化规律的情况，则的值是________． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于的二元一次方程组； (1)求（用含的代数式表示）； (2)判断代数式：；哪个代数式为定值？并说明理由； 2．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）数学课上，同学们用代入消元法解二元一次方程组，下面是两位同学的解答思路，请你认真阅读并完成相应的任务． 小彬：由①，得　　，③ 将③代入②，得 小颖：由①，得　　，③ 将③代入②，得 任务： (1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即　　；第二步将③代入②，可消去未知数． (2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即　　；第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数． (3)请从下面，两题中任选一题作答．我选择 　　题． ．按照小彬的思路求此方程组的解． ．按照小颖的思路求此方程组的解． 【拓展训练二 新定义二元一次方程组压轴】 【例1】（24-25七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为_____． 1．（25-26六年级下·上海长宁·阶段练习）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·月考）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【拓展训练三 整数解限定最值压轴】 【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【例2】（24-25六年级下·上海嘉定·单元测试）当整数______时，关于x，y的方程组有正整数解． 1．（2025六年级下·上海虹口·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1）__________（用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为__________． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a为实数） (1)若方程组的解始终满足y＝a+1，求a的值； (2)已知方程组的解也是方程bx+3y＝1（b为实数，b≠0且b≠﹣6）的解 ①探究实数a，b满足的关系式； ②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，答下列问题： (1)已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是______； (2)设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解； (3)已知h，t是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求S的最大值与最小值的和． A基础训练 1．（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·上海普陀·期中）已知方程组，下列消元过程不正确的是（    ） A．代入法消去a，由②得代入① B．代入法消去b，由①得代入② C．加减法消去a， D．加减法消去b， 3．（24-25七年级下·重庆江津·期末）如果，那么x，y的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东临沂·二模）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ B 提高训练 6．（24-25七年级下·广西贵港·月考）已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于，的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则___． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为____________________ ． 10．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． C 培优训练 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，求a与b的值． 13．（24-25七年级下·重庆江津·月考）对于x、y定义一种新运算☆，规定：x☆y=ax+by(其中a、b均为非零常数)，例如：1☆0=a×1+b×0=a.已知：－1☆1=－1，2☆2=6 (1)求a、b的值； (2)在（1）的条件下，若关于x、y的方程组的解满足，求m的值． 14．（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 15．（25-26七年级下·北京海淀·期中）若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” (1)试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； (2)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； (3)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23-专题02二元一次方程组的解法重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 三元一次方程组的定义及解 拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值 拓展训练二 新定义二元一次方程组压轴 拓展训练三 整数解限定最值压轴 知识点一：二元一次方程组的解法 1. 消元思想 ​ 核心思路：化二元为一元，逐一求解 2.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26六年级下·上海闵行·期中）用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等式的基本性质，将方程整理为用含的式子表示的形式即可． 【详解】解：需要将方程变形，用含的式子表示， 等式两边同时减去， 可得 ． 2．（25-26六年级下·上海长宁·期中）二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ①②得，解得， 把代入①得，解得， 因此方程组的解为． 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26六年级下·上海宝山·课后作业）下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 2．（25-26六年级下·上海虹口·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 【例2】（24-25六年级下·全国·单元测试）方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握代入法解二元一次方程组，是解决问题的关键． 方程②变形为③，把③代入方程①求出x，代回方程③求出y值即可． 【详解】解：， 由②，得③， ③代入①，得， 解得，， 把代入③，得． ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南周口·月考）关于x、y的方程和，下列说法正确的（    ） ①当时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解； ②当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解； ③当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解； ④当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】当时，则和，解方程即可判断①；当且时，则和，解方程组即可判断②；当，时，则和．（1）式两边同除以2得，与（2）相同，因此有无数个解，即可判断③；当且时，则和．解方程组即可判断④． 【详解】解：①当时，则和，此时只有1个解为 ∴①错误； ②当且时，则和，解得，，有解， ∴②正确； ③当，时，则和． （1）式两边同除以2得，与（2）相同，因此有无数个解， ∴③正确， ④当且时，则和． 得， 解得，或， 又∵， ∴， ∴把代入（3）得解得， ∴这两个方程组成的二元一次方程组有且仅有一个解， ∴④正确， 综上可知，②③④正确， 故选：D 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 2．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）用代入法解方程组把________代入________，可以消去未知数________，方程变为________．（不用化简） 【答案】①，②，y，2x+3（x-3）=7 【解析】略 3．（24-25七年级下·河南南阳·月考）延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把方程①＋②，利用整体未知数再建立一元一次方程即可． 【详解】（1）解： 得到， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 故答案为： （2）， ①＋②得到， 即， ∵③， ∴， 解得：． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． 逐一利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】A.， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； B.， ②①，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； C.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； D.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 故选：B． 【例2】（25-26六年级下·上海虹口·课后作业）已知方程组，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法解方程组，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是利用筛选法解二元一次方程组． 根据题意得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：①+②得，， ， ， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴，解得：， 所以这个公共解为， 故选：C． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，如果点中、的值是二元一次方程组的解，那么称点为该方程组的解坐标． 如：点是二元一次方程组的解坐标． （1）二元一次方程组的解坐标为_____； （2）已知关于、的二元一次方程组，当、满足条件_____时，该二元一次方程组存在无数个解坐标． 【答案】 ，． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，即可得出解坐标； （2）利用加减消元法，得出，再根据二元一次方程组存在无数个解坐标，得到，且，即可得解． 【详解】解：（1）， 由得：， 将代入得，， 解得：， 方程组的解为， 二元一次方程组的解坐标为； （2）， 由得， 由得， 当，且时，该二元一次方程组存在无数个解坐标， ，． 3．（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据相反数的定义可得，求出方程组的解，再把该方程组的解代入方程中计算求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵x，y是一对相反数， ∴， 联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴ ∴． 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解． 【详解】解：设，， 则新方程组化为： ∵原方程组的解为， ∴，， 即：， 解得， 故选D． 【例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若方程组的解是，则方程组的解是_________． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 关于的二元一次方程的解如表所示： ．．． ．．． ．．． ．．． 则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用二元一次方程解的定义和换元思想求解，先找到两个原方程的公共解，再建立新的二元一次方程组求解即可. 【详解】解：∵观察两个表格可知，是和的公共解， ∴对于方程组， 可得， 将两个方程相加得 ， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于，的二元一次方程的解如表： 关于，的二元一次方程的解如表： 则关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，将原方程进行正确地变形是解题的关键． 根据表格数据可得方程组的解为，然后将关于，的二元一次方程组变形后根据方程组的解的意义得到关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由表格数据可得方程组的解为， 已知关于，的二元一次方程组， 整理得：， 则， 解得：， 即关于，的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 【经典例题四 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组， 解得， 将代入所求方程组，得 ， 整理，得 ，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 1．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ． 【详解】解：由得， 令，， 将可变为， ∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足： ， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：B ． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义，掌握方程组解的意义是解决本题的关键． 把和看作整体，根据二元一次方程组的解的意义可得，再解方程组即可． 【详解】解：方程组的解是， 对于方程组，可得， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组解的定义，代入求解即可； （2）借助所学的换元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可整理为， 解得， 即， 解得． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）在关于m，n的方程中，能使无论取何值时，方程恒成立的m，n的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】无论取何值时，方程恒成立的条件为，，列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：由题意，得： ， 解得： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是解题关键. 【例2】（24-25七年级下·湖北十堰·月考）已知，，…，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则______． 【答案】 【分析】先设有p个x取1，q个x取，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（    ） 5 A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意及表格中的数据列出关系式，计算即可求出p的值． 【详解】解：根据题意得：， 整理②得：③ 将①代入③，得： 故选：C． 【点睛】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键． 2．（2025·北京大兴·模拟预测）小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则_________花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差_________元． 【答案】 ① 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差元，列出方程即可求解． 【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，则，依题意有： ， 则使用会员卡花费少 ； 由， 解得． 故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差元． 故答案为：①，． 3．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在表格中任意取两组数据代入方程，用加减消元法求出、的值即可； （2）将，代入方程组可得，由加减消元法求出，再由，求出，即可求． 【详解】解：（1）将，和，代入方程， 得：， 由①得③， 将③代入②得，， 将代入③得，， ∴a，b的值为； （2）将，代入方程组， 得．   两方程相减，得． ∴． 把代入，得． ∴． ∴． 于是，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解的应用，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是（    ） A．0 B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，解二元一次方程组是关键． 首先根据，应用加减消元法，用m表示出a、b；然后根据a，b互为相反数，可得：，据此求出m的值是多少即可． 【详解】解： ①+②，可得， 解得， 把代入①，解得， ∵a，b互为相反数， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则下列四个结论：①当时，；②当时，则；③不论k取什么实数，的值始终不变；④不论k取什么实数，x、y均为正整数的解有一对．其中正确的是______．（填写序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得：， 解得：， 把代入得： ，即①错误； ②由方程组，得：， ∵， ∴， 解得， 即当时，则， 即②正确， ③解方程组，得： ， ∴， ∴不论k取什么实数，的值始终不变， 故③正确； ④由③知，不论k取什么实数，， 此时x、y均为正整数的解没有， 故④错误， 故答案为：②③． 1．（24-25七年级下·浙江·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 根据相反数的定义，得到，得出，将方程组加减消元，得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解： ， 当这个方程组的解的值互为相反数时，则， 则， 得： ， ∴， ∴结论①正确； 当时，， 解得：， 将代入中，得：， 解得： ， ∴方程组的解不是方程的解，②结论错误； 得，， ， 解得：， ∴无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ， ∴，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不存在数a，使 是原方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程的解；④x，y的都为自然数的解有无数对．其中正确的个数为__________．（填上所有正确的序号） 【答案】②③/③② 【分析】此题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题关键在于掌握加减消元法解方程组． ①将代入检验即可做出判断；②将x和y分别用a表示出来，然后求出来判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④由得到x、y都为自然数的解有4对． 【详解】解:①将代入方程组得： 由①得，由②得 ，故①不正确． ②解方程 得： 解得： 将y的值代入①得： 所以， 故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确． ③将代入方程组得： 解此方程得： 将，代入方程，可得，方程左边右边，是方程的解，故③正确． ④因为， 所以x、y都为自然数的解有，，，，故④不正确． 则正确的选项有②③． 故答案为：②③． 3．（24-25七年级下·河南南阳·月考）下图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图． 将方程组中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…方程组n． (1)方程组1的解是________； (2)请依据方程组和它的解变化规律，直接写出方程组n______和它的解是______． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 【答案】(1) (2)， (3)，不符合 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是通过方程组集合及对应的方程组的解的集合得出具体的规律，从而解答问题． （1）用加减消元法消去项，得出的值，然后再用代入法求出的值； （2）根据方程组及其解的集合找出规律并解方程； （3）把方程组的解代入方程即可求的的值． 【详解】（1）， 得， ， 把代入①，得， ； （2）解得，；解得，； ∴第n个方程组为， 解得：； （3）将代入得， 解得， ∴该方程组为，它不符合（2）中的规律． 【经典例题七 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（25-26六年级下·上海虹口·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 【答案】A 【分析】本题主要考查代数方程的建立和求解，以及逻辑推理能力．通过设立方程组求解各卡片上的数值，再比较各数大小即可确定正确选项． 【详解】解：设五张卡片上的数分别， 根据题意列出方程：， 由方程①得，代入方程⑤得， 由方程②得，代入方程③得， 将和代入方程④：，解得：， 则， 比较各数大小：为最小值，故选项A正确． 其他选项中，非最小，，，均不成立． 故选：A． 2．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）在等式中，当时，当时；当时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值，根据题意可列得三元一次方程组，求出三元一次方程组的解，再把的值代入到代数式计算即可求解，正确求出三元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 【拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的应用，根据表格中相关数据，列出关于的方程组，求出的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则， 故选：B． 【例2】（2025七年级下·浙江·模拟预测）如下表，是小明同学探究关于的代数式（其中，为常数）的值变化规律的情况，则的值是________． 【答案】 【分析】根据表格数据分别得到和时的代数式值，先求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 即的值是． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于的二元一次方程组； (1)求（用含的代数式表示）； (2)判断代数式：；哪个代数式为定值？并说明理由； 【答案】(1) (2)②为定值，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）将两个方程相加，整理即可得出答案； （2）分别求出的值，再进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ①+②，得， 化简得：； （2）解：对于代数式：， 由（1）知， ∴， ∴ ∵是可变化的， ∴的值不是定值； 为定值，理由如下： ，得， ，得， ∴， ∴代数式②为定值． 2．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据材料提示方法，，即可求解； （2）根据新定义的计算方法得到，为，结合材料提示方法，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 得，， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，其中是常数，，， ∴， ∵为， ∴得，， 整理得，， ∴的值为． 3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）数学课上，同学们用代入消元法解二元一次方程组，下面是两位同学的解答思路，请你认真阅读并完成相应的任务． 小彬：由①，得　　，③ 将③代入②，得 小颖：由①，得　　，③ 将③代入②，得 任务： (1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即　　；第二步将③代入②，可消去未知数． (2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即　　；第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数． (3)请从下面，两题中任选一题作答．我选择 　　题． ．按照小彬的思路求此方程组的解． ．按照小颖的思路求此方程组的解． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）利用移项即可解答； （2）利用移项即可解答； （3）利用代入消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将③代入②，可消去未知数， 故答案为：； （2）解：按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数， 故答案为：； （3）解：若选择题： 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 原方程组的解为：； 若选择题： 把③代入②中得：， 解得：， 把代入③中得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【拓展训练二 新定义二元一次方程组压轴】 【例1】（24-25七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·全国·单元复习）新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过解方程组得到和，根据与都是正整数求出符合条件的正整数的值，最后根据再由验证即可． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， 把代入得， ∵方程组的解与都是正整数， ∴或或或， ∴a的值为或0或1或2， ∴正整数的值的值只能是1或2， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 1．（25-26六年级下·上海长宁·阶段练习）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，有理数的混合运算，根据新定义，得出方程组，利用加减消元法解方程组，得出m，n的值，然后再根据新定义，可得，把m，n的值代入即可得出答案． 【详解】解：由新定义，可得方程组为： ，得， 把代入①，得， 解得：． ． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 3．（24-25七年级下·湖北十堰·月考）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，． (1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （2）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，解得：， ∵， ∴， 解得：． （2）解：由题意得：的解为， 由方程组得：， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解等知识点，根据新定义列出二元一次方程组、利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． 【拓展训练三 整数解限定最值压轴】 【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 【例2】（24-25六年级下·上海嘉定·单元测试）当整数______时，关于x，y的方程组有正整数解． 【答案】 【分析】利用代入消元法先消去未知数x，求解y，再根据a是整数，y是正整数可得a的值，再进行检验即可． 【详解】解： 由②得：③， 把③代入①得： 解得： 为正整数，为整数， 或或或或 此时也为整数， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的正整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法”是解本题的关键． 1．（2025六年级下·上海虹口·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1）__________（用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为__________． 【答案】 / 10 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键． （1）两式相加化简即可得出结果； （2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答． 【详解】解：（1）， 两式相加得：， ， 故答案为：； （2）， ①②得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 方程组的解也是方程的解， ， ， q为整数，且q不等于0或， 或， p是整数， 时，有最大整数值，则有最大整数值， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a为实数） (1)若方程组的解始终满足y＝a+1，求a的值； (2)已知方程组的解也是方程bx+3y＝1（b为实数，b≠0且b≠﹣6）的解 ①探究实数a，b满足的关系式； ②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①ab+6a+2b=4；②最大值是10，最小值是-22 【分析】（1）方程组消去x表示出y，代入y=2a-1中计算即可求出a的值； （2）①求出方程组的解，代入中计算即可求出a与b的关系式；②由a与b的关系式表示出b，根据a，b为整数确定出b的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：， ②-①得：3y=6a-3，即y=2a-1， 把y=2a-1代入y=a+1中得：2a-1=a+1， 解得：a=2； （2）解：①把y=2a-1代入方程组第一个方程得：x=a+2， 方程组的解为， 代入得：ab+2b+6a-3=1，即ab+6a+2b=4； ②由ab+6a+2b=4可得： = =， ∵a，b都是整数， ∴，，，，， 当，即时，b取得最大值10， 当，即时，b取得最小值． 【点睛】此题考查了解二元一次方程（组），熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，答下列问题： (1)已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是______； (2)设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解； (3)已知h，t是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求S的最大值与最小值的和． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，以及非负数的应用． （1）将，，分别代入中，能使方程成立的是“团结点”； （2）利用“团结点”和“合作线”的定义，列出方程组求得m，n的值，然后将m，n的值代入二元一次方程求得正整数解； （3）利用“团结点”和“合作线”的定义，分别得出s与和s与的关系式，利用非负数的意义得到s的最大值和最小值，则s的最大值与最小值的和可求． 【详解】（1）解：将，，C(1,2)代入方程，只有是方程的解， ∴“合作线”的团结点的是． 故答案为：． （2）解：将，代入方程得： ． 解得：． 代入方程得：． ∴此方程的正整数解为：． （3）解：∵， ∴，． ∵是“合作线”的一个“团结点”， ∴． ∴，或． ∵，， ∴由，可得s有最大值12． 由，可得s有最小值． ∴s的最大值与最小值的和为． A基础训练 1．（2026·山西吕梁·一模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 2．（25-26六年级下·上海普陀·期中）已知方程组，下列消元过程不正确的是（    ） A．代入法消去a，由②得代入① B．代入法消去b，由①得代入② C．加减法消去a， D．加减法消去b， 【答案】C 【分析】利用代入消元法和加减消元法步骤判断即可． 【详解】解：A、代入法消去a，由②得代入①，故原消元过程正确，不符合题意； B、代入法消去b，由①得代入②，故原消元过程正确，不符合题意； C、加减法消去a，应为，故原消元过程不正确，符合题意； D、加减法消去b，，故原消元过程正确，不符合题意. 3．（24-25七年级下·重庆江津·期末）如果，那么x，y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，即可求出x、y的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 4．（2025·山东临沂·二模）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是， ∵方程组可化为， 的解是，即， 故选：B． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含 的代数式表示，进而判断结论的正误． 【详解】解：原方程组为 判断①：当时，方程组变为 解得 将解代入得 故①错误； 判断②：对原方程组，由得 若，则，解得，是有理数， 故②正确； 判断③：对原方程组，由得， 若，则，解得， 故③错误； 判断④：对原方程组，由得 得，即无论取何值，的值恒为， 故④正确； 因此正确结论为②④． B 提高训练 6．（24-25七年级下·广西贵港·月考）已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 【答案】 【分析】先根据题意列出方程组即可求出a与b的值，再根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于，的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则___． 【答案】 【分析】先求出关于，的二元一次方程组的解，再代入二元一次方程，即可得出结果． 【详解】解：解二元一次方程组，得， 把代入，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，及二元一次方程的解，解题的关键是理解代入消元的思想方法． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知：，是常数，若二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】利用换元法将待求解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式， 根据已知方程组的解得到关于新未知数的等量关系，求解即可得到结果． 【详解】解：设，，则待求解方程组可化为， 将方程组两边同时除以，得， 已知二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 即， 解得． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，，将原方程组变形为，对比的解为，可得，进而即可求解． 【详解】解：设，， 则变形为， 等式两边同乘，得：， 关于x，y的二元一次方程组的解为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． C 培优训练 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由二元一次方程组的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 解得； 将代入①得； ； （2）解：， 去分母得， ①②得， 则； 将代入①得； ． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，求a与b的值． 【答案】的值为4，的值为 【分析】先利用加减消元法求出第二个方程组的解，再代入第一个方程组，利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解：， ①②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴这个方程组的解为， ∵关于的方程组与关于的方程组有相同的解， ∴， ③④得：，解得， 将代入④得：，解得， ∴的值为4，的值为． 13．（24-25七年级下·重庆江津·月考）对于x、y定义一种新运算☆，规定：x☆y=ax+by(其中a、b均为非零常数)，例如：1☆0=a×1+b×0=a.已知：－1☆1=－1，2☆2=6 (1)求a、b的值； (2)在（1）的条件下，若关于x、y的方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)a、b的值分别为2，1 (2) 【分析】（1）根据新定义，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． （2）将的值代入方程组，解得的值，进而代入得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得∶ 解得； 即a,b的值分别为2，1 （2）由题意得 解得 因为 所以 解得 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． 14．（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一根据消元法求解即可，方法二题中提供的方法求解即可； （2）根据题中提供的方法求解即可． 【详解】（1）解：方法一： ， ，得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得：， ∴； 方法二： ， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴． 15．（25-26七年级下·北京海淀·期中）若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” (1)试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； (2)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； (3)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 【答案】(1)该方程组是“美好方程组”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 【详解】（1）解：该方程组是“美好方程组”，理由如下： ， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）解：∵是“美好方程组”， ∴，得， ∴， 解得； （3）解：， 得， 解得； 得， 解得； ∵是“美好方程组”， ∴， 整理得， ∵为正整数， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $