湖北襄阳市第三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

襄阳市第三中学2025-2026学年下学期高一 数学期中考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.下列各组向量中，能作为基底的是() A.e1=(0,0),e2=(1,3) B.C=(1,2),e2=(2,10 C.g=0,1);e2=(2,2) D.e1=(2,3),e2=(-4,-6) 2.下列说法错误的是（) A.一个棱柱至少有5个面 B.所有的面都是三角形的多面体一定是棱锥 C.棱台的两个底面平行且相似 D.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 3.已知A(-1,-1),B(I,3),C(x,7),若A、B、C三点共线，则x的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 4:已知△ABC的直观图是一个顼角为120°、底边长为√3的等腰三角形，则△ABC的面积为 A.6 B.② c.6 2 D.2 2 5.已知圆锥S0的底面半径长为4，母线长为6，其轴截面为△SAB,在点A处有一只蚂蚁，请 问它沿着圆锥的侧面爬到线段SB的中点的最短距离为() A.6 B.35 C.36 D.37 AB AC 6.已知非零向量B与AC满足( ac )BC=0,且 AB Ac 2,则向量BC在向量BA 上的投影向量为() C. 3BA 2 D. 第1页共4页 7.已知△1BC的内角4、B、C的对边分别为a、6、c,A=云a=1,当△1BC有唯-解时，b 的取值范围为() A.0<b≤1 B.0<b<1或b=2C.0<b≤1或b=2D、1<b≤2 8.已知非壁向量云、方和单位向量G满是：<ab>雪，日-4a,8+3=0:则]a-b1可以取到 下列哪个值（) A.2 B.e C.3 D.π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z满足z2-z+1=0,则下列选项医确的是（) A。复数：的实部为月 B.z5-1 C.z2+z2=-1 D.2+I=0 10.在边长为2的正方形ABCD,中，点P在正方形（含边界)内，且满足AP=xAB+yAD,则 下列说法中正确的是〔)》 A:若点P在线段BD上，则y有最大值号 B.若点P在线段BD,上，则AP.AC为定值 C.x+y的取值范围为() D.若x宁则办衣的取核范阻为 11.在△ABC中，已知AB=AC=1,D为BC的中点，记∠BAC=日，0从0°到180°连续变化， 记AD=h,BC=a,△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R.下列结论正确的是t· A.h随∠BAC,的增大而减小 B.9的最大值为25 C.h·R为定值 D.5的最大值为 R 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.复数2026-2025的虚部为 13。已知向量m,n的夹角为牙， m-sin 风=cosg，则m-= 8 8 14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,点O为△ABC的外心，且b=2, sin2B+sin2C+cos2A+sin(m-B)sin(π+C)=1,则△OAC和△OBC面积之差的最大值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.已知复数z满足z-1-i为纯虚数，且2=√2. (1)求复数z; (2)若复数0=2+a:在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围。 16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acos C+√3 asinC=b+c (1)求A; (2)若sinB=√2cosA,△4BC的面积为3+√3，求c. 17.在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，设点D为边BC上一点，且满足BD=2DC,点E 为线段AD上一点（不含端点），且AE=入AD,其中九∈(O,). (1)用AB、AC表示AD,并求AD; (2)设F为线段BC的中点，若EF⊥BC,求九的值. 第3页共4页 18.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足acos B+bcosA=2 ccosC,a=2 (1)求角C的大小： 2)若咖4s如B≥，求AMBC的面积： (3)记边a、b、c的高分别为h。、h,、h。,求h。+h,+h。的取值范围. 19.定义：函数f(x)=1sinx+ucOSx为向量a=(2,w)的和谐函数，向量a=(2,)为和谐函数 f(x)=1sinx+ucosx的和谐向量， (1)求函数f)=co(x+孕-sin(x+?的和谐向量a: 6 (2)已知和谐向量7=5，的和谐函数为8闭，AMBC的内角4、B、C的对边分别为a、 2’2 b0,其中4= ,且g(=1, 2 (i)若点G为△ABC的重心，求AG的最大值； (ⅱ)若△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC且与BC交于点D,求AD长度的取值范围. 第4而共4而 湖北为秉阳市第三中学 校训圳：志存高远学济天下校风：文明和道务实进取 www.x[32 com 救风：爱生乐业恶通争优学风：自美勤崦博学高效 2025~2026学年高 年级数学学科答案详解与评分细侧 编者：张冬青 审核：高一数学组 1.答案：B 【解析】不共线的两个向量才能作为基底，所以选B. 2.答案：B 【解析】反例：正八面体 3.答案：C 【解析】A、B、C三点共线，AB∥AC,AB=(2,4),AC=(x+18),2×8-4(x+1)=0,解得x=3 4.答案：A 【解析】△4BC的直观图的面积等于5，所以△4BC的面积等于5×22= 4 4 2 5.答案：D 【解析】将圆锥侧面的一半展开得到扇形SAB,其圆心角∠ASB=2”,因为两点间的线段最短，所以妈蚊爬行 3 的最短距离为 62+32-2×6×3c0s 2灭=3万，所以选D. 6. 答案：C AB AC 1 【解析】由 一2可得A-120°，画图可得向量BC在向量BA上的 投影向量为 7. 答案：C 【解析】当△ABC有唯一解时，a=bsin A或a≥b,得到b=2或0<b≤1，故选C. 8.答案：A或B 9.答案：ACD 【解析】由z2-2+1=0得2=1±V3团 所以A正确， 2 可算得z·z=1,z2+z2=-1所以B错，C正确 z3+1=(z+1)(z2-z+1)=0,D正确，故答案为ACD 10、答案：AB 第1 【新1亚=亚+y而，者点P在线段D上，则x+y1,可≤（安 1 根据投影法可得 A正.AC=1AC2=4,所以A、B都正确：当点P与点A重合时，x+y=0,当点P与点B重合时，x+y=2, 所以c错者x了由设影法可得亚元e}C元] 正AC∈2,6]，所以D错，故选AB. 11.答案：ACD 【解析】h=cos。,h随0的增大而减小，A正确： a=2sin2h π a=2am2，而221尚 故号无最大值，B错误✉ 由正弦定理得2R=。1 =9,故而hR=, R=sin0cos ，C正确 2 2 sin ·cos 由等面积法Sc=a~h=号r(a+b+c)得r=2 1 2 2 2 0 .sin+1 2sin号cos 0)2 sin- +1-sin r 2 8 2 1 R= 2=2sin 21-sin2 ≤2 2 01 当且仅当$n)-sin9即sm=时，等号成立，故而D正确 2 22 12.答案：-1 【解析】，9=1，.复数2026-i2025=-1-i,其虚部为-1. 13.答案：2 2 【解折】m=cos=s5cos5cas- 4 8 8 42 4 44 2. ---+f-m骨*w号方-可=9 8 2 14.答案： 12 【解析】由题设有sin2B+sin2C-sin Bsin C=1-cos2A=sin2A,由正弦定理有b2+c2-a2=bc,由余弦定理得 CosA=b+c2-a2 1 2bc -2’A为三角形内角，六4=号设△MBC的外接圆半径为R,则OA=OB=0C=R,且 2R=62 'sinsin,即R=1 iD3,因为∠AoC=2B,☑B0C=2A=2”,所以 &ac=2R2sm∠40c=) 1 2 sin2 B sin 2B=1 tan B 共3页 se=R产sm∠0c-2g sinsin co 2 sin2B 3 4 sin2B tang), 15 则SoMc-Sosc=anB4 +1)=-5.1 1-5-3(L-25:+5 tan2B4 tan2B'tan B 44 tan B 3 12 所以当，1=2W5,即mB=5时A04C和ABOC面积之差的最大值为 tan B 3 2 12 15.解析： x-1=0。 (1)设2=x+yi(x,y∈R),z-1-i=(x-1)+(y-1)i则 y-1≠0 即x=1且y≠1 （未强调xy是实数，扣一分) 又以=Vx2+y2=√2即x2+y2=2,联立解得x=1,y=-1,则2=1-i 5分 (2)由题设有0=2+a=2+a0-0-a+2)+(a-2_a+2+a-2; 1+i(1+01-)2 22 10分 (a+2>0 则2，解得-2<a<2,即实数a的取值范围为(2,2. a-2 13分 <0 02 16.解析： (1)将acos C+√3 asinC=b+c边化角可得 sin Acos C+3 sin Asin C=sin B+sin C, 2分 :sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC,∴V3 sinAsinC=cos AsinC+sinC,约掉sinC,得 V3sinA-cosA=1,2sin(A-乃)=1， 6 6分 A∈(0，)，A=2 3 7分 os如8-5w4=是.Be03.8=营c-8 2 12 9分 a=sinAv6 b sin B 2' 10分 5=absinC=66b.6+2_3+6=3+5, 22 48 从而b=2V2,a=2√3， 13分 c=aimc=25.y6+2=v6+N2 sinA 3 4 15分 3 17.解析： ①而=孤+丽=西+号8c=孤+(+40)-西+号c 3分 而-很+号ac-丽+号西ac+号C-专+*2x3×分分 2g*92 9 6分 所以西-子丽 7分 (2）所-+派-而+（丽+C)-争西+c 10分 BC=AC-AB 由EF⊥BC得EF.BC=O 11分 →[兮争而+兮3c(c-画=0 →+c+号西花-0 解将入员 15分 18.(1)由acosB+bcosA:=2 ccos C可得c=2 ccos C, :Ce0,,C .cosC=1 3 3分 到 2》血血8=如4m4+学-方n4+9ndm4上o24,n24- sin(2A-…6分 4 4 4 6 “m46m8≥子，+52A-君≥}，sm2A-名21， 4’ 42 6 6 7分 又“sn(2A-≤1，sin(2A-=1,从而2A-=-， 6 8分 61 62 3 由(1)知C-骨△18C是等边三角形，面积为分2,2，sm骨-5 3 9分 (3)8=absinc=, 2 10分 =b。=2ch, 1 2 2 么+么+=B6+Bb+50-5+V5色+马， b 11分 6+b_mB+smB_s如(4+孕，如(1+空】5 23sin(+) a c sin A'sinC sinA 3 2 2tan A 3 13分 2 页共3页 在锐角△4c中，~C-骨4e管孕，A+骨e经爱， …14分 .y= 百25(4+望在4e店上单谓适减， 15分 2 2tan A 3 从而15 23sin(4+) 2 2tanA 3 +922，+92+2 2 3 3 a c , +8+-g+5g身ea5习 17分 19.解析： (1)由题设有f)=co 之cssx3四x二s五x了。 2 2 2cos刘=-√5si石， 则e=(√3,0) 3分 2)由题设有8因=5s血nx+0x=血x+受 2 2 6 由于g0=(4+骨-l404+ge[后君）则4+后即4 61 62 3 5分 (i)由题设在AMBC中，由余弦定理有osA-+cg=号有b+心2=a2+c=be+2之2c即c≤2（当且仅 2bc·=21 4 当b=c时“成立)，因为点G为△MBC的重心，则4G-店+AG, 所以d-西+不-+-园+2c+元-F+e+c -区+2派s付厚-G的泰大值为} 9分 (i)由题设有SAMc=SAMD+SMCD即)AB:ADsin /BAD+号AC·ADsin∠CAD=AB:ACsin,∠BAC AD=bc 10分 b+c 由正弦定理口 b =l有b=sinB,c=sinC. sin A sinB sin C 则：AD=y3be-5 sin Bsin C √3 sin Bsin(B+) 3sim8-5。 cosB+I sin B) 3 2 b+c sin B+sinC sin B+sin(B+ sin B+3 1 cosB+号sinB sin B.cosBtv3 2s2) 三sin2B+34-cos2B) -之sim(2B马+3 1 im(2B-乃 .1 4 64=2 6“4 3 -cos B √3sin(B+) sin(B+") 6 V5sin(B+乃 6 13分 0<B< :△ABC为锐角三角形， 2 则匹<B<T 0<C=2 -B< 3 ny 令日=乃+B,0e 元2元 33 则2B-下=20-T所以 6 6 2 in(2B-)+ AD=2 64 2sin(20- 4 2c0s20+J 0-20+ =sin 0- 1 sin(B+") sin sin sin 0 4sin0 6 15分 由0e π2π 3 33 有sin0e 交 由于函数y=-司 上单调递增， 当x=5时，y= 当x=1时，y=子·故AD长度的取值范围是 33 2 3 3 17分