精品解析：北京市大兴区2025～2026学年下学期期中练习八年级数学

2025~2026学年度第二学期期中练习 初二数学 2026.04 考生须知 1．本试卷共9页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分）．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据最简二次根式的定义逐一判断： ∵ 选项A中，因此A不是最简二次根式； ∵ 选项C中，因此C不是最简二次根式； ∵ 选项D中的被开方数含有分母，因此D不是最简二次根式； ∵ 选项B中 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义， ∴ 是最简二次根式 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误. 【详解】解：对选项A： ∵ ∴A计算正确； 对选项B： ∵ ∴B计算错误； 对选项C： ∵ ∴C计算错误； 对选项D： ∵ ∴D计算错误； 综上，选A. 3. 在中，的对边分别是．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B选项；根据勾股定理逆定理可判断C、D选项． 【详解】解：A、∵ ， ∴ ， ∴是直角三角形， 故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B选项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴， ∴不是直角三角形， 故C选项符合题意； D、∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故D选项不符合题意． 4. 在中，已知，则的度数是（ ） A. 40° B. 70° C. 110° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，即可计算出的度数. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴. ∵， ∴ . ∴ . 5. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形的面积分别为1和5，则正方形的面积为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，正方形、的边长分别为直角三角形的两条直角边长，正方形的边长为斜边长．   正方形的面积等于边长的平方，   根据勾股定理可得： ， ， ． 6. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，分别交于点，根据矩形的性质得到，，通过证明四边形是矩形，得到，同理可得：四边形、、都是矩形，则有，，，再根据图形面积之间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：四边形、、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即． 7. 如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 8. 在中，是对角线的中点，过点作直线分别交于点（E、F不与端点重合），连接交于点．给出下面三个结论： ①； ②若，则与的面积比为； ③点可以是的中点． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，对结论①通过证明三角形全等进行判断；对结论②利用相似三角形的性质和三角形面积公式进行判断；对结论③通过反证法和相似三角形的性质进行判断，最终确定所有正确结论的序号． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵是对角线的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴． ∵，设，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 设点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴， ，故②正确． 若点是的中点，则， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即点与点重合，此时点与点重合，与题设中分别在上（非端点）矛盾，故③错误． 综上所述，①②正确． 二、填空题（共16分，每题2分）． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 10. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，四边形是平行四边形，顶点的坐标分别是，则顶点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 12. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被池塘隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为_____． 【答案】150 【解析】 【详解】解：由公路互相垂直， ∴， ∵M为中点， ∴． 13. 如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 14. 如图，在矩形中，为边上一点，将矩形沿直线折叠，使点落在边上处．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，求解方程即可得到的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质得到，，，进而得到，，由得到，根据三线合一性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵是的中点 ∴平分， ∴， ∴． 16. 如图，点是正方形外部一点，且点与点在直线的异侧，以为边作正方形，连接．给出下面三个结论： ①当时，的面积小于的面积； ②的面积随的变化而变化，当时，的面积最大； ③连接，则． 所有正确结论的序号是_____． 【答案】②③ 【解析】 【分析】作于点，作交延长线于点，根据正方形的性质证明，得到，再根据三角形的面积公式可判断①；由以及可判断②；设与交于点，与交于，根据正方形的性质证明，得到，再根据三角形内角和定理可判断③，即可得出结论． 【详解】解：如图，作于点，作交延长线于点， 则， ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的面积等于的面积，故①错误； ∵，其中的长随的变化而变化， ∴的面积随的变化而变化， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，的面积最大，故②正确； 如图，设与交于点，与交于， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 综上，正确结论的序号是②③． 三、解答题（共68分，第17－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27题8分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 已知一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是几边形？ 【答案】八边形 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和为是解题的关键．设这个多边形为边形，根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合边形的内角和公式和多边形的外角和为，列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：设这个多边形为边形， 边形的内角和为：， 边形的外角和为：， 根据题意得： ， 解得：， 答：这个多边形是八边形． 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 19. 当时，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：把代入，得 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】解题关键是利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得出为等腰三角形，求出的度数，再结合构造的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵是的垂直平分线， ∴，,， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∴, ∵，，， ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 根据垂直平分线的性质得出，,，则,进而得出，则,通过证明，得出,即可求证四边形是平行四边形，最后根据，即可求证四边形是菱形． 【详解】证明：略． 22. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是，，，．要修建和两条路，使点，分别在边，上，且．猜想与的关系，并证明． 【答案】 解：，，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图所示， ， ， ， ． 【解析】 【分析】通过已知条件证明即可得证； 【详解】略 23. 如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． （1）求证；四边形是平行四边形； （2）若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 24. 观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； （2）用含（是整数且）的式子表示第个等式 ，并证明． 【答案】（1） （2） 解：第个等式为， 证明：左边右边， ∴等式成立． 【解析】 【分析】（1）仿照等式的规律写出第5个等式即可； （2）找到等式的规律，写出第个等式，通过二次根式的性质化简证明等式成立即可． 【小问1详解】 解：由题意得，第5个等式：； 【小问2详解】 略 25. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点是线段上一动点（不与点重合）．连接，作交于点． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）连接，交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1），理由如下： 过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线，、在直线同侧， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 过点作于点，于点， 过点作于点，于点，连接， ∵四边形是正方形，点在对角线上， ∴， 又∵， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴，， 设，正方形边长为，则， 又∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在对角线上， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】（1）通过过点作和的垂线，利用正方形性质得到等腰直角三角形和线段等量关系，再结合进行等角代换，证明两个直角三角形全等，从而得出所求． （2）借鉴正方形中过对角线上一点作两边的垂线构造正方形的经典方法，过点作于点，于点，过点作于点，于点，连接，先利用全等三角形和等腰三角形性质确定各垂线段之间的数量关系，再利用面积法求出点G到两边的距离，最后通过代数恒等变形完成证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 26. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，连接并延长至，使，则称点为点关于点的平移关联点． （1）如图1，已知 ①若点，则点的坐标为 ； ②若点的坐标为，则当 时，点在轴上； （2）如图2，已知正方形的边长为1，各边与轴平行或垂直，其中心为，点为正方形上的动点． ①当点为时，点运动过程中，点形成的图形的面积是 ； ②当点为时，在点运动过程中，若点形成的图形与坐标轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】（1）①；②； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）先根据平移关联点的定义，利用中点坐标公式推导点与点、点的坐标关系，得到；再代入具体数值求解各小问． （2）根据正方形边长与中心坐标确定的坐标范围，①求出图形面积即可；②同理，得到的轨迹范围，最后结合坐标轴交点条件求参数范围． 【小问1详解】 设点，点， ∵点由点向右平移、向上平移得到， ∴， 又∵连接并延长至，使， ∴是线段的中点， ∴， （1）已知， ①∵点， ∴， ∴， ②∵点， ∴， 又∵点在轴上， ∴， ∴， 【小问2详解】 已知正方形中心为，边长为，边与坐标轴平行，点P坐标为 ∴点的横坐标范围是：，纵坐标范围是：， ①∵点为， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点形成的图形是边长为的正方形， ∴， ②∵点为， ∴， ∴点的横坐标范围，纵坐标范围， ∵点形成的图形与坐标轴有交点， ∴与轴有交点时， ∴， 又∵与轴有交点时， ∴， ∴的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中练习 初二数学 2026.04 考生须知 1．本试卷共9页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分）．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，的对边分别是．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则的度数是（ ） A. 40° B. 70° C. 110° D. 140° 5. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形的面积分别为1和5，则正方形的面积为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于点，连接．若的面积为，的面积为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是对角线的中点，过点作直线分别交于点（E、F不与端点重合），连接交于点．给出下面三个结论： ①； ②若，则与的面积比为； ③点可以是的中点． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分）． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 10. 若，则的值是_____． 11. 如图，四边形是平行四边形，顶点的坐标分别是，则顶点的坐标是_____． 12. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被池塘隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为_____． 13. 如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 14. 如图，在矩形中，为边上一点，将矩形沿直线折叠，使点落在边上处．若，则的长为_____． 15. 如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 16. 如图，点是正方形外部一点，且点与点在直线的异侧，以为边作正方形，连接．给出下面三个结论： ①当时，的面积小于的面积； ②的面积随的变化而变化，当时，的面积最大； ③连接，则． 所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（共68分，第17－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27题8分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 已知一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是几边形？ 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 当时，求代数式的值． 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 21. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，，求证：四边形是菱形． 22. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是，，，．要修建和两条路，使点，分别在边，上，且．猜想与的关系，并证明． 23. 如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． （1）求证；四边形是平行四边形； （2）若，，，直接写出四边形的面积． 24. 观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； （2）用含（是整数且）的式子表示第个等式 ，并证明． 25. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点是线段上一动点（不与点重合）．连接，作交于点． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）连接，交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，连接并延长至，使，则称点为点关于点的平移关联点． （1）如图1，已知 ①若点，则点的坐标为 ； ②若点的坐标为，则当 时，点在轴上； （2）如图2，已知正方形的边长为1，各边与轴平行或垂直，其中心为，点为正方形上的动点． ①当点为时，点运动过程中，点形成的图形的面积是 ； ②当点为时，在点运动过程中，若点形成的图形与坐标轴有交点，则的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $