2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与面积问题综合常见题型练

2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与面积问题综合常见题型练 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 2．如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C． (1)求的面积； (2)点P是抛物线上一动点，当的面积为6时，求所有符合条件的点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 6．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式和的面积； (2)点D是第一象限内抛物线上的一点，连接，，求面积的最大值及点D的坐标； (3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得，请直接写出点P的坐标． 7．如图，在直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过原点，且与x轴交于另一点A． (1)求这个二次函数的解析式，并把它化成一般式； (2)若在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，在此抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)点E是二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点E的坐标； (3)当时，点F是x轴上一个动点，连接、，求的最小值，并求出此时点F的坐标． 9．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值． 12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且点坐标为，点坐标． (1)求这个抛物线的解析式： (2)如图1，点为第三象限抛物线上的点，设点的横坐标为，面积，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，为延长线上的一点，若到轴的距离为，的面积为，点为第四象限抛物线上一点，且，求点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点．点P在此抛物线上，其横坐标为m；连接并延长至点Q，使．当点 P 不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点 M． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当 的边经过此抛物线的最低点时，求点Q 的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 2．(1) (2)或 (3)当时，的取值范围为：. 【分析】本题考查的是求解二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质. （1）先求解，，可得；点，即， 再进一步求解即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）先求解函数最大值为：，再求解当时，，当时，，进一步可得答案. 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时，， 即， 则， 解得或， ∴，， ∴； 在二次函数中， 当时，则， ∴点，即， ∴． （2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或. （3）解：∵抛物线的对称轴为直线：， ∴函数最大值为：， 当时，，当时，， 当时，的取值范围为：. 3．(1)面积为8 (2)符合条件的点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是求得抛物线与坐标轴的交点坐标． （1）求得点的坐标即可求得的面积； （2）设点的坐标为，由的面积为6得到，从而求得，即，求得的值后即可求得点的坐标. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C， ，点C到x轴的距离为， ∴当时，，解得，， ，， ， ， 的面积为8． （2）解：设点P的坐标为， 的面积为6， ， ． ∵点在抛物线上， ， 或， 解得，，，， ∴符合条件的点P的坐标为或或或． 4．(1)，， (2) (3)点P坐标为或 【分析】（1）根据抛物线与x，y轴的交点，分别令，时求出y和x的值，即可求得点A和点C的坐标，再将二次函数一般式化为顶点式后即可求得点D的坐标； （2）根据轴对称的性质，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时，周长为，根据两点之间线段最短，与x轴交点E使周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，由于点E在x轴上，令即可求得点E的坐标； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点P和点H的坐标，分情况讨论面积比，设直线与交于点M，求出点M的坐标，根据三角形面积公式分别表示出和的面积，分和两种情况，列出方程求解t，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， 解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵， ∴顶点D坐标为． （2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴当的周长最小时，点E坐标为． （3）解：设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P为直线上的动点，点H在抛物线上， ∴设点P坐标为， ∵轴， ∴设点H坐标为， 如图，设直线与交于点M，将代入得， ∴，， ①当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为； ②当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标，二次函数顶点坐标公式，轴对称的性质，一次函数解析式求解及三角形面积公式等知识点． 5．(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 6．(1)抛物线的解析式为；的面积为6 (2)面积的最大值为；点D的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）把两点代入即可求出抛物线的解析式，进而即可求出的面积； （2）设，过点作轴，根据，即可求出点坐标及面积的最大值； （3）当时，设交轴于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，结合点A，C坐标可得，设，则，，进而解得，即可确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，求解即可确定点坐标． 【详解】（1）解：由， 得：， 抛物线的解析式为， 当时， ， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ； （2）解：设，过点作轴，连接，如图， 则， ， ， ， ， ， ∴函数开口向下，有最大值， 当时，点坐标是，面积的最大值是； （3）解：设交轴于点，过点作于点，如图， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ，， ，， ， 设，则，， ， 解得， ， ， ， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得， 解得（舍去）或， 点． 【点睛】本题是二次函数综合应用，主要考查了坐标与图形、二次函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定和性质和勾股定理，解题关键是运用数形结合思想分析问题． 7．(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将原点坐标代入求得的值，即可得出了抛物线的解析式； （2）过点B作轴于点D，根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了的长，根据的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标； （3）根据B点坐标由勾股定理可求，分两种情况讨论：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴ ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：假设存在点B，过点B作轴于点D， ∵的面积等于6， ∴， 当， ， 解得：或3， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点B的坐标为：； （3）解：∵点B的坐标为：， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， 设P点横坐标为：x，则纵坐标为：，则，， 即， 解得或（舍去）， ∴在抛物线上存在一点； 当时，则， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， 将代入，得， ∴在抛物线上存在一点； 综上所述：抛物线上是否存在点P，使为以为直角边的直角三角形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键． 8．(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，根据的垂直平分线恰好经过点C得到．设，根据两点间距离公式得到，，由列出方程，求解即可． （3）过作轴交于，由待定系数法得直线解析式为，设，，由可求出，由三角形面积得，即可求解；取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，，，即最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的函数表达式为， 二次函数的图象经过点，，且与y轴交于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：连接，， ∵的垂直平分线恰好经过点C， ∴， ∵二次函数为， ∴对称轴为， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得 ∴点E的坐标为或． （3）解：过作轴交于， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， ，解得， ∴ 点． 取关于轴的对称点， ， 连接交轴于点， 此时， ， ，即最小值为的长， ， ， 最小值为， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，垂直平分线的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握相关知识是解题的关键． 9．(1)抛物线的函数表达式为，顶点的坐标为：． (2)关系式为：，当时，的最大值为； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线：， 把代入函数解析式得到， 故顶点的坐标为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角，为锐角，此时得； 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线，根据两直线平行内错角相等可知直线与抛物线在第一象限的交点为，此时有， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 10．(1) (2)四边形的最大面积为，此时 (3)存在，F点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，中点坐标，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 利用两点式求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，，则四边形的面积的面积的面积，然后利用二次函数的性质，求得答案； 设，，根据对角线分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴不妨设， 将点代入，得， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为，代入，， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∵，， ∴， 四边形的面积的面积的面积， ∵， 当时，四边形的最大面积为，此时； （3）解：存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴、的中点为， 不妨设， 设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图所示： 连接, ∵四边形是平行四边形， ∴、的中点为， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述：F点坐标为或或． 11．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设，求出直线表达式为，求出直线表达式为，联立方程组得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， 联立， 解得：或， ， 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， 联立得， 解得：或， ， ， ， ． 12．(1) (2) (3) 【分析】本题属于二次函数与几何的综合题型，合理利用直角坐标系的性质求线段、面积等是解题的关键 （1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）用含t的表达式表示点P的横纵坐标，将沿x轴进行切割，根据点C和点P的坐标，得出直线的表达式，再得出直线与x轴的交点坐标，求解的面积以为底进行求解，最终可得S与t的函数解析式 （3）首先观察发现，即，判断出A到的距离等于点Q到的距离，即，通过直线的表达式，根据一次函数图像平行k相等的性质，得出直线的表达式，可得线段的长度，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴，交x轴于点F，由正切函数值得线段的长度，通过三角形为等腰直角三角形，结合角度计算，可判断也为等腰直角三角形，从而得出点E的坐标，结合点E、P，可得出直线的函数表达式，点N为直线与抛物线的交点，联立方程组，可求点N的坐标 【详解】（1）解：已知点、点， 代入函数表达式， 得，解得， 故函数表达式为． （2）解：∵点为第三象限抛物线上的点， 假设点P的坐标为， ∵点C为抛物线与y轴的交点，故点C的坐标为， 结合点，点， 假设直线的表达式为， 将点代入， 得，解得， 则直线的表达式为， 假设直线与x轴交点为点E， 如图： 当时，解得， 故点E的坐标为，则的长度为 故， 式中、指点C、P的纵坐标， 得， 化简得， 故S与t的函数解析式为． （3）解：若点P到x轴的距离为d， 则， ∴，∵这两个三角形都是以为底， ∴点A到的距离等于点Q到的距离， 所以，假设直线的表达式为， 由点、可得直线表达式为， 由，可得中的， 又∵直线经过点，可解得， ∴直线的表达式为，过点B作交的延长线于点E， 过点E作轴，交x轴于点F，如图： 由直线的表达式为， 点P为直线与抛物线的交点， 故，解得，， 故点P的横坐标为，纵坐标为， 故点P的坐标为，结合点坐标， 可得， 由于，则，解得， ∵直线与直线垂直， ∴，∵，， ∴三角形为等腰直角三角形， 可得，又∵， ∴，结合， ∴，则为等腰直角三角形， ∵，由勾股定理，解得， ∴点E的坐标为，结合点， 假设直线的表达式为， 可得，解得， 故直线的表达式为， ∵点N为直线与抛物线的交点， ∴， 解得，，故点N的横坐标为3，代入，得纵坐标为， 故点N的坐标为 13．(1) (2)不变， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴此抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：面积比保持不变，为；设交y轴于点 D，根据题意可得， ， ， ， ∴， ∴； （3）解：如图1，经过最低点，即经过顶点，该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为 ，该抛物线的顶点坐标为， ， ，且相似比为 ， 根据顶点纵坐标可得，， 则 ∵横坐标为， ∴纵坐标为， ∴， 即 解得 ， 当 时，如图1所示，此时 ， 点Q 在第四象限，故 ， 当 时，如图2所示，此时点 P 在第一象限，点Q 在第三象限，此时 ，故 ； 综上， 或 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $