2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与线段周长综合常见题型练

2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与线段周长综合常见题型练 1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 2．已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)抛物线的顶点为D，连接CD、BD、BC，求的面积； (3)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 5．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． (1)求的值； (2)求的面积； (3)P是第四象限内直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点，当时，求点的坐标． 6．如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 7．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 8．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点、点E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，当的值最小时，求点C的坐标． 9．如图，抛物线与轴正半轴的交点为，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，轴于点，交线段于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若，求点的横坐标． 10．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．点在点左边，设点的横坐标为，矩形的周长为． ①______； ②在①的条件下，求关于的关系式（不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点（点在点的上方）．若，直接写出点的坐标． 11．已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为该抛物线对称轴上一点，求周长的最小值； (3)连接，，求的面积； 在该抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值． (3)将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求出直线与对称轴的交点，即可得出，再用面积之和即可得出结论 （3）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点，即可求解； 【详解】（1）解：将、、代入抛物线中，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式：； （2）解：∵抛物线的解析式：； ∴：， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、)代入上式，得： ， 解得：， ∴直线的函数关系式， 设直线交抛物线对称轴于点N， ∴当时，， ∴． ∴，， ∴； （3）解：连接，直线与直线的交点为P； ∵点A、B关于直线l对称， ∴， ∴， 的周长为，当、、三点共线时，最小，即的周长最小。 ∵直线的函数关系式， 当时，，即P的坐标； 3．(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 4．(1) (2) (3)的最大值为，此时的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线交轴于点和点，交轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 5．(1)， (2)3 (3) 【分析】本题考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）把分别代入一次函数和二次函数解析式，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）设点，则点，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； （2）解：由（1）知，二次函数与一次函数， 联立上述两个函数表达式得：， 解得：， ∴， 设直线交y轴于点H，则， 则的面积； （3）解：设点，则点， ∴， 解得：（舍去）或， 即点． 6．(1) (2) (3)存在，当时，的面积最大为． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后用m表示出点M和点N，然后用点N的纵坐标减去点M的纵坐标即可解答； （3）根据的面积等于，据此列出二次函数解析式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式：，即． （2）解：设直线的解析式为：， 把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， 即. （3）解：存在， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 7．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． ()待定系数法求函数解析式即可； ()根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）在，当时， ∴ ∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， 当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴ ， ∴， 当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 8．(1) (2)3 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出，得到，，根据三角形面积公式即可求出答案； （3）求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象与y轴交于，与x轴交于点， ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得， ∴， ∵点，点、 ∴，， ∴的面积； （3）解：， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， ， ∴由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 9．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题，二次函数与一元二次方程综合． （1）将点代入求出，即，令，求出，设直线的解析式为，将、代入求解即可； （2）设，则，，，．根据列方程求解即可； （3）设，则，，，．证明是等腰直角三角形，得到，作交于，可知四边形是矩形，进而可知是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 抛物线的解析式为，即， 令，得， ，， ． 设直线的解析式为， ， ∴， ， 直线的解析式为； （2）解：设，则，，，． ， ，解得，舍， ； （3）解：设，则，，，． ，， 是等腰直角三角形， ∴， 作交于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 是等腰直角三角形， ∴． 又， ， 解得，， ， ， 点的横坐标为． 10．(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）①求出对称轴，求出两点的坐标，进而求出点坐标，两点间的距离求出即可；②根据矩形的周长公式，即可求得答案； （3）过点D作轴于点K，根据二次函数的性质可知，当时矩形的周长最大，此时，可证明N与原点重合，Q点与C点重合，求得，即得，设，则，即得，求出n的值，即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， M点的横坐标为m，轴，轴，轴， ∴，点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴； ②∵ ， ∵， 矩形的周长， 即； （3）解：过点D作轴于点K， 由， 当时矩形的周长最大， 设直线解析式为；， 将，代入，得， 解得，， 直线解析式为， ∵M点的横坐标为，抛物线的对称轴为， N应与原点重合，Q点与C点重合， ， 把代入，解得， ， ， ， ， 设， 则， ， 解得或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数的线段周长问题，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等，利用参数表示线段的长度及在动点变化过程中画出相应的图形是解题的关键． 11．(1)，顶点坐标为； (2)当时，求点的坐标； (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 12．(1)； (2)； (3)；点的坐标为或，理由见解析． 【分析】先由题意得出，的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； 交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，求出的长则可得出答案； 根据可得出答案； 过点作交抛物线于点，设直线的解析式为，得出，联立直线和抛物线的解析式得，可求出点的坐标；同理求出，即可得出答案， 【详解】（1）解：， 点的坐标是， 又对称轴为直线， 设点的坐标是， 则有， 解得：， 点的坐标是， 将点、的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，当交直线于点P时，的周长最小， 由知，抛物线的对称轴直线是， 当时，， 点的坐标为， ， 又点的坐标是， ， 在中，， 在中，， 周长； （3）解：如下图所示，连接、、， 当时，， 点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ； 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 如下图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 联立直线和抛物线的解析式可得：， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标是 ， ； 如下图所示，过点作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入解析式，可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，勾股定理，坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点在抛物线上且对称轴为直线建立方程组，求解即可； （2）根据抛物线确定，，得，， ，，，如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接，推出，四边形是平行四边形，，，，证明得，求出，设，确定直线的解析式为，得，继而得到，，则当时，取得最大值， 此时，进一步确定，，求出，然后由可得答案； （3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点，先确定，再由平移规律确定新抛物线的解析式，求出，得，证明得，求得，，确定直线的解析式为，由联立可求得点的坐标；再确定直线的解析式为，求得，根据垂直平分线的性质及对称的性质可得，继而得到直线的解析式为，再联立可得点的另一个坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接， ∴，四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最大值， 此时， ∵抛物线的对称轴为直线，点为该抛物线的顶点， 当时，， ∴， ∵，即，点在点的左侧， ∴点在点的左侧， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得：或， 经检验，或都是原方程的解但不符合题意，故舍去， ∴， ∴， ∵轴，，直线的解析式为， ∴轴，，点的横坐标为，此时对应的， ∴， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 当点、、共线时取“”号，此时取得最小值， 即当线段最大时，的最小值为； （3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点， ∴，， ∵，，点是线段的靠近点的三等分点，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点为新抛物线与直线的另一交点， 又∵点和点都在上， ∴抛物线向下平移个单位再右平移个单位得到新抛物线，即， 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵，，，， ∴垂直平分， ∴点与点关于点对称，， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，对称的性质，函数图象平移的规律，函数图象的交点坐标，两点之间线段最短等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质及图形的变换是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $