精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学期中试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】题目中的式子，项数为 项 由排列数的公式可知，可以表示为． 2. 已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点. 【详解】由图知上，上且仅有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：D 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】由等差数列的性质可得，即， 故. 4. 由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A. 360 B. 180 C. 156 D. 150 【答案】B 【解析】 【详解】第1步，个位上的数字为2或4或6，有3种方法， 第2步，从其余5个数中选3个排在千位、百位和十位，有种方法， 故可以组成个符合条件的数． 5. 函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，结合，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 可得， 令，即，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 6. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，化简得，解得，再由即可求解． 【详解】设正项等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 解得 （舍去）或， 所以． 故选：A． 7. 已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（ ） A. B. 2025 C. D. 4050 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推关系求得数列的前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，进而可求得数列前2025项的和. 【详解】由，，解得，又，解得， 又，解得，所以数列是以3为周期的周期数列， 所以 所以. 故选：A. 8. 已知，，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以函数在上单调递增. 又，即，所以， 即. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数公式与导数运算法则逐项求解可得答案． 【详解】对于A：由，得，A正确； 对于B：由，得，B正确； 对于C：由，得，C错误； 对于D：由，得，D错误． 10. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 是等比数列 D. 的最大值是30 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得为等差数列，且首项，公差，逐一判断即可． 【详解】在数列中，由，得， 因此数列是首项，公差的等差数列， 对于A，A正确； 对于B，，因此是单调递减数列，B错误； 对于C，，因此数列是等比数列，C正确； 对于D，，则当或6时，，D正确． 11. 已知函数，则（ ） A. 点是函数图象的对称中心 B. 是函数的极小值点 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，得出函数的单调性并结合图象即可判断出B选项，利用中心对称的定义计算可判断A，对于C选项，由，求得的范围，结合函数最值的性质即可求解；D选项，根据已知自变量的范围判断函数值的范围，进而比较大小. 【详解】由题意，，求导可得，令，得， 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 可作出大致图象如图所示． 对于A，，所以函数的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B，由图象可知，是函数的极大值点，故B错误； 对于C，当时，，因为，结合函数图象和单调性可得，故C错误； 对于D，当时，，此时，，则，所以，故D正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 将代入可得切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 13. 4名护士和2名医生站成一排，护士站在一起，医生也要站在一起，总共有___________种不同的排法． 【答案】96 【解析】 【详解】第一步：4名护士之间的排法，有种方法； 第二步：2名医生之间的排法，有2种方法； 第三步：医生和护士之间，有2种方法； 所以，不同的排法种数有种． 14. 数列前项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对数列的通项公式进行拆分化简，采用裂项相消法求前项和. 【详解】数列的第项为：， 故 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求出首项和公比代入等比数列通项求解即可. （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，用分组求和的方法代入求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为，其通项公式为， 根据已知条件，可列出方程组，化简得：， 将代入，解得， 因此通项公式为； 【小问2详解】 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和． ． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值. 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减 （2）最大值，最小值， 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性； （2）根据第一问的函数单调性得出其最值. 【小问1详解】 函数，则， 当时，，当，， 故函数在上单调递增，在上单调递减 【小问2详解】 由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减 且，， 则在上的最大值，最小值， 17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式； （2）利用“错位相减法”求数列的前项的和. 【小问1详解】 当时，. 当时，，用代替，可得：. 两式相减得：， 又， 所以 是以3为首项3为公比的等比数列，所以 . 【小问2详解】 ， 所以： 两式相减得：， 所以： . 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，， 设，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性. （2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数中，，求导得， 当时，在上单调递增； 当时，时，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）求的极值 （2）若，讨论的零点的个数； （3）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：数列是递增数列 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）当时，在上有两个零点；当或时，有唯一零点；当时，无零点． （3） 由（2）知，当时，有唯一零点，则且， 两边取自然对数，得①， 所以②， ①②两式相减，得， 所以， 因为函数在上单调递增（增函数增函数所得函数一定是增函数） 所以，所以数列是递增数列． 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，借助导数正负划分单调区间，判断出函数在单调递减、在单调递增，进而确定为极值点，代入解析式算出函数的极小值. （2）将函数零点问题转化为方程有解的问题，构造辅助函数，求导分析的单调性与最小值，再结合在不同区间的取值范围，分类讨论参数的取值，以此判定零点的个数情况. （3）由前面结论得到时函数唯一零点满足的等式，对等式两边取对数建立关于与的关系式，两式作差整理得到与的大小关系，再利用函数在上的单调性，推导出，从而证明数列为递增数列. 【小问1详解】 ，所以当时，，单调递减： 当时，单调递增， 所以，当时，有极小值为，无极大值. 【小问2详解】 令，即，设， 因为，所以当时，单调递减： 当时，单调递增， 又时，， 时，, 所以当时，在上有两个零点； 当或时，有唯一零点； 当时，无零点． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学期中试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 18 4. 由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A. 360 B. 180 C. 156 D. 150 5. 函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 6. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 7. 已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（ ） A. B. 2025 C. D. 4050 8. 已知，，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 是等比数列 D. 的最大值是30 11. 已知函数，则（ ） A. 点是函数图象的对称中心 B. 是函数的极小值点 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________． 13. 4名护士和2名医生站成一排，护士站在一起，医生也要站在一起，总共有___________种不同的排法． 14. 数列前项和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值. 17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 19. 已知函数． （1）求的极值 （2）若，讨论的零点的个数； （3）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：数列是递增数列 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $