泰安市高新区第一中学2026年中考数学冲刺卷

泰安市高新区第一中学2026年中考冲刺卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）的相反数是（   ） A． B． C． D．2026 2．（本题4分）在半导体产业飞速发展的当下，国产高端芯片的制程工艺不断突破．某款自研芯片的晶体管栅极绝缘层厚度仅为0.000000042米．其中数据0.000000042用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（本题4分）数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（本题4分）班级举办抽奖活动，设置了A、B两个抽奖箱：A箱中有3张除数字外完全相同的奖券，数字分别为1、2、4；B箱中有2张除数字外完全相同的奖券，数字分别为4、6．从A箱中随机无放回抽取2张奖券，将数字之和记为十位数字；从B箱中随机抽取1张奖券，数字记为个位数字，组成一个两位数．若组成的两位数中至少包含一个数字“6”，则中奖．求一次抽奖中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，垂足为，为上一点，连接．若，，，则矩形的周长是（    ） A．15 B．36 C． D． 8．（本题4分）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（本题4分）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④； ⑤方程其中一个解的取值范围为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）在函数中，自变量x的取值范围是__________． 12．（本题4分）因式分解：___________． 13．（本题4分）如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 14．（本题4分）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距______千米．    15．（本题4分）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为________． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算：． 17．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 18．（本题9分）如图，在四边形中，，．求证：． 19．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点的坐标． 20．（本题10分）如图，为了测量一个小树林的宽度，数学兴趣小组利用无人机进行辅助测量，在小树林边缘的A点，观测悬停在C处的无人机，此时在A处测得C的仰角为，无人机的飞行高度为；操控无人机的同学让无人机垂直上升悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为．若点A，B，C，D在同一平面内，求小树林的宽的值．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 21．（本题11分）三月春风暖人心，雷锋精神伴我行．为传承和弘扬新时代雷锋精神，某校开展了“学习雷锋精神，志愿做义工活动”，活动结束后学校随机调查了部分学生参加义工活动的时间，并用得到的数据绘制了如图所示不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生参加义工活动时间的中位数为___________、众数为___________； (2)求所抽取学生参加义工活动时间的平均数； (3)若该校共有名学生参加此次活动，请根据样本数据，估计该校学生参加义工活动时间是的学生人数． 22．（本题11分）如图，是的直径，为圆上一点，平分交于点，过点作的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)已知，，求的长． 23．（本题12分）已知抛物线（b，c为常数）的顶点为点，与轴交于点． (1)若，求该抛物线顶点的坐标； (2)将（1）中抛物线图象轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与原抛物线图象轴上方的部分共同构成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围； (3)若，且当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 24．（本题12分）【探究】 (1)如图，在中，，，．点在边上，连接，过点作于点，交边于点． ①求证：； ②如图，点为边的中点，求的值； 【应用】 (2)如图，在中，，，．点在边上，点在边上，连接，过点作交的延长线于点，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市高新区第一中学2026年中考冲刺卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B D C A A B B 1．D 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据定义先化简原式，再求结果即可． 【详解】解：负数的绝对值等于它的相反数， ， ， 只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是． 故选D． 2．B 【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案. 【详解】解： . 3．B 【分析】利用整式的基本运算，运用幂的运算法则和完全平方公式，逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：对于选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵，，∴A错误； 对于选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∵，与等式右边相等，∴B正确； 对于选项C，根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积， ∵，，∴C错误； 对于选项D，根据完全平方公式∵，，∴D错误． 4．B 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图D不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意． 5．D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 6．C 【分析】先求出所有等可能的两位数结果，再找出满足“至少包含一个数字6”的结果数，利用古典概型概率公式计算即可． 【详解】解：∵ 从A箱无放回抽取2张奖券，所有可能的数字和为：，，，共3种等可能的结果；从B箱抽取1张奖券，有，共2种等可能的结果； ∴ 组成两位数的所有结果是：，，，，，，即共有种等可能结果， 其中满足“至少包含一个数字6”的结果为：，，，，共4种， 则一次抽奖中奖的概率为：． 7．A 【分析】首先得到，设，则，解直角三角形表示出，证明出，得到，然后求出，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 设，则 ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∴ ∴矩形的周长是． 8．A 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，过点作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到，再根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ∵为的中点， 是的中位线， ． 10．B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤． 【详解】解：该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，， 它的对称轴为直线， ，， ， ，故①正确； 该抛物线的顶点在x轴的上方， 它的顶点的纵坐标，故②正确； 它的对称轴为直线，与点C关于直线对称的点的横坐标为4， 当时，，故③正确； 由③知点B的横坐标在4与5之间， 它的对称轴为直线， 点A的横坐标在0与之间， 方程其中一个解的取值范围为，故⑤错误； 故当时，， ， ， 即，故④错误， 故正确的有①②③，共3个． 11． 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，求解自变量的取值范围即可． 【详解】由题意可知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零， ∴， 解得：． 12． 【详解】解： ． 13． 12π 【分析】先根据题意可知，，再根据解答． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ． 14．150 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 15． 2 【分析】根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，从而得到为的中点且，结合可证，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ∴, ∴， ∵， ， ， ． 16． 【详解】解：原式 17．， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．见解析 【分析】证明四边形是平行四边形，即可得出结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. 19．(1)， (2)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象过点，求出，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，设点的横坐标为，利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ， ∴当时，， ∴点的坐标为， 设点的横坐标为，则， 的面积， 整理得， 解得， ∴点的坐标为或． 20．小树林的宽约为 【分析】延长交延长线于点E．在中，根据求出，在中，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如答图，延长交延长线于点E． ∴． 由题意知，在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴． ∴． 答：小树林的宽约为． 21．(1)图见解析；； (2)所抽取学生参加义工活动时间的平均数为 (3)该校学生参加义工活动时间是的学生人数约为人 【分析】（1）根据两个统计图可得参加义工活动的学生数为人，占比，从而算出样本总数，再算出参加义工活动的学生数，补全条形统计图，再根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）根据加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）计算出参加义工活动时间是的学生在样本中的占比，再估算全校参加义工活动时间是的学生人数． 【详解】（1）解：由统计图可知，参加义工活动的学生数为人，占比， ∴抽取的学生总数为（人）， ∴参加义工活动的学生数为（人）， 补全条形统计图如图所示， 由条形统计图可知，这组数的第个数和第个数都是， ∴中位数为， 参加义工活动的学生有人，人数最多， ∴众数为； （2）解：平均数为， ∴所抽取学生参加义工活动时间的平均数为； （3）解：人）， 答：该校学生参加义工活动时间是的学生人数约为人． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义和等边对等角推出，则可证明，进而可证明，则可证明是的切线； （2）连接，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23．(1)点的坐标为 (2)或 (3)4 【分析】（1）利用根与系数的关系得到，由，得到，求出函数解析式配方得到顶点坐标； （2）由翻折得到G的函数解析式，再分情况讨论求出a的取值范围； （3）将c的值代入解析式，求出对称轴，根据，且，确定对称轴在区间内，且区间右端点到对称轴的距离大于左端点到对称轴的距离1，求出最大值及最小值，列方程解答 【详解】（1）解：由题意可知，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）解：由（1）得原抛物线为，与x轴交点为，， 将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，得到新图象的解析式为： 直线与新图象有且只有两个交点，分情况讨论： ①直线与翻折后的两支各有一个交点，与原抛物线无交点时， 联立与，得， 得（恒有两实根） 联立与，得， 令，则，解得 ②直线与原抛物线有两个交点，与翻折后的两支无交点时， 直线经过时，，得； 直线经过时，，得； 当时，直线与原抛物线有两个交点，与翻折部分无交点， 综上，的取值范围是或； （3）解：将代入解析式得，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵区间为，且， ∴对称轴在区间内，且区间右端点到对称轴的距离大于左端点到对称轴的距离1， ∴当时，函数取得最大值4， 当时，函数取得最小值 由题意得， 解得或， ∴或， ∵， ∴． 24．(1)①见解析； (2) 【分析】（）①通过直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等，证明；②先利用勾股定理算出的斜边，再根据直角三角形斜边中线性质得到，推出，结合已证的，得到，进而证明，利用相似三角形对应边成比例求出，最终算出的值为； （）过点作交于点，利用平行线性质得到角相等，结合推出，再由推导出，进而得到；通过求出和的长度，再利用的相似比，最终算出的长． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ， ; ②在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，, ， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $