特殊三角形问题（二次函数综合）2026年九年级中考数学二轮重难点

特殊三角形问题（二次函数综合）2026年九年级中考数学二轮重难点 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值； (3)当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值． 4．如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 5．抛物线与轴相交于，两点（，分别在原点的左右两侧），与轴正半轴相交于点，且，的面积为（如图1）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B 的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x 轴的垂线交直线于点D， 过点P作y 轴的垂线，垂足为点E． ①请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由； ②连接，当为等腰三角形时，求点D的坐标． 7．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式；并写出y随x如何变化； (2)求顶点D的坐标以及的面积； (3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 9．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 10．如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 13．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)点的坐标为； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，设，根据勾股定理得出，，进而解方程即可求解； （3）设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由，令，解得：， ∴， ∵，顶点坐标为，对称轴为直线， 点为该抛物线对称轴上的一个动点， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， 设点，使得是以为斜边的直角三角形， 设点为的中点，则， 如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点， ∴， 即， 解得：或． ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键． 2．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了线段的最值，要注意分类讨论；还要注意求最大值可以借助于二次函数． （1）运用待定系数法求解即可； （2）求出直线的函数表达式为，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分点位于轴上方和点位于轴下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把，代入抛物线， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的函数表达式为． 把，代入，得 解得 ∴直线的函数表达式为． 设． ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴当时，有最大值． （3）解：①当点位于轴上方时． 如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点， 则． ∵为等腰直角三角形，且， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 设点的坐标为，此时，则， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； ②当点位于轴下方时． 如图2，设点的坐标为，此时， 同理得，则有， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 3．(1) (2)的长度的最大值为； (3)的值为6或或或3 【分析】（1）令即可得出点A的坐标，再根据点B的坐标利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由点D的横坐标，可知点P和点D的坐标，再根据点在直线下方的抛物线上，即可表示解析式，并转化为顶点式就可得出答案； （3）根据题意分别表示出，，，分当时，当时，当时三种情况分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：对于，取，得， ∴． 将，代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴ ． ∵， 当时，线段的长度有最大值，最大值为； （3）解：由，，， 得，，． 当为等腰三角形时，有三种情况： ①当时，，即， 解得（不合题意，舍去），； ②当时，，即， 解得，； ③当时，，即， 解得． 综上所述，的值为6或或或3． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值、等腰三角形的性质，综合性比较强，需要注意的是求m的值时，等腰三角形要分情况讨论． 4．(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【分析】（1）将、坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）连接交对称轴直线于点，则点即为所求，待定系数法求直线的解析式，进而令，即可求解； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 5．(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)或 【分析】本题考查二次函数综合，一次函数，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，一元二次方程，熟练掌握这些性质，并通过题意构造符合题意的图形是解题的关键． （1）先得出点，利用，得出，再利用，得出，，得出，的坐标，分别利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式； （2）利用是以为直角边的直角三角形，分两种情况：①当以为直角顶点时；②当点为直角顶点时，过点作轴的垂线，构造等腰直角三角形，设，利用等腰直角三角形得出线段相等，列式求解即可． 【详解】（1）解：令得， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把、两点坐标代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为， 将、两点坐标代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：存在，理由如下： ①当以为直角顶点时， 过点作，交抛物线于点．过点作轴于点，如图， ． 由，， 得， ∴， ， ， ， ， ， 设， 则， 解得：（舍），， ， 则； ②当点为直角顶点时， 过作交抛物线于点，过点作轴于点，设交轴于点， 如图， 轴， ， ， ，， ，， ， 设， 则， 解得：，（舍）， ， 即， 综上所述，的坐标是或． 6．(1) (2)①最大值为，；②或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质． （1）运用待定系数法求解即可；； （2）① 求出直线的解析式，设，则，得，由二次函数性质可得结论；②分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将A，B的坐标代入 得 ， 解得，， （2）解：①由（1）可得C的坐标为，则直线的解析式可设为．     将B的坐标代入可得， 即直线的解析式可设为 设，则 于是 ∴当时，取得最大值此时点的坐标为 ②由已知及勾股定理可求得    为等腰三角形时有三种情况，即： 当时，即，解得或（舍去） 此时符合条件的D点坐标为； 当时，即，解得，或（舍去） 此时符合条件的D点坐标为 当时，即，解得， 此时符合条件的D点坐标为， 综上，当D点坐标为或或时，为等腰三角形 7．(1)，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 (2)8 (3)为或或或 【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）把抛物线的解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：因为点在抛物线上， ，即． 将点、代入，得 解得 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：， 顶点D的坐标为， 的面积； （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为， 其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 8．(1) (2)①；② ，最大值6；③或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②再由即可求解； ③分两种情况讨论：当时，；当时，过点作交于，则为的中点，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②，， ， ， ， 当时，有最大值6； ③，， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，如图1， ， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 9．(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，设点的坐标，则可表示出点坐标，从而可用表示出的长，再利用二次函数的性质求得线段的长度最大时的值，可求得点坐标； （3）由（2）可知点坐标，设点坐标为，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； （2）解：设的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∴时，最大， 此时点坐标； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ，， ， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， ①当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为， ②当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， ③当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识． 10．(1)，， (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令和，解方程可求解； （2）先求出直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解； （3）过点作轴于点，设直线与轴交于点，则，，故，当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ，， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，， 四边形为平行四边形； （3）是的中点，点， 点， 由（2）知，当时，的最大值为， 当时，， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， 点， 设点， ，， ，，， 当时，， 解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，平行四边形的判定，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 11．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 12．(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）先求出，解直角三角形得到，则；再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为；设，则，则，，根据t的取值范围和，建立方程求解即可； （3）求出，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴，， 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴点M的横坐标为； （3）解：∵， ∴； 设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得， 整理得， 解得， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或或或． 13．(1) (2) (3)存在，或或或或或或或或或或 【分析】（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值； （2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值； （3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入 得，， 解得， ∴抛物线的解析式：， 令， 则， 解得或1， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接， ∵轴交抛物线于点， ∴点的纵坐标为， ， 解得或4， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的值为； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为2， 分三种情况： ①当为直角顶点时，， 如图2，过作轴，过作于，过作于， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点的横坐标为2， ∴， 解得或或， ∴点的坐标为或(或或； ②当为直角顶点时，， 如图3-1，过作轴，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， ∴，解得或， ∴点的坐标为或，； 如图3-2， 同理， ∴， ∵，点Q的横坐标为2， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或； ③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， 或或 ， ∴，解得或5或3或（舍去）或4（舍去）， ∴点的坐标为或或； 综上所述，点的坐标是或或或或或或或或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 14．(1) (2) (3)存在，， ． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得a、b即可解答； （2）先求得、，再求得直线的解析式，设，则，，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）如图：分别连接BN，根据可得，由（1）（2）易知， ，然后根据二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即， ∵，点D在y轴负半轴， ∴，即； 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的关系表达式为， 设，则，，其中， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，解得： ， (舍去)， 故当四边形是平行四边形时，． （3）解：如图：分别连接， ∵ ， 由（1）（2）易知， ， ∴当最大时，最大，即， ∵点E在线段上运动， ∴， ∴当 时， 最大面积．即，最大面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $