题型3 二次函数的实际应用-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优

题型三 二次函数的实际应用(202 类型1建模问题(2022.23) 例1(2025贵州)用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平 静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图1， 小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与 水平距离x之间的关系如图2所示.·石块第一次与水面接触于点F,运动 路径近似为抛物线C1,且C1:y=ax2+bx+c,®石块在水面上弹起后第二次 与水面接触于点G,运动路径近似为抛物线C,且C:y=-了+m+n (小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽 略不计) D A 图1 图2 例1题图 ()如图2，当a=-7,6=时，若点F的坐标为(2,0)，求抛物线C,的 表达式； (2)在(1)的条件下，若FG=4,在水面上有一个截面宽AB=1,高BC= Q.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(45,0)，判断此时石块沿抛物 线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若C,的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包 边界)，且点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点），其中M(2,1), M(1,),Q(分，多)，求a的取值范围（在抛掷过程中正方形与抛物线 C,在同一平面内) 安徽数学二轮重难题型培优 .23) 题干解读 ①点F是抛物线C1,C2 的公共，点，且点F的纵坐 标为0； ②点G的纵坐标为0. 解题突破点 ③a,b已知，c未知，代入 点F坐标，表达式可求 ④由FG=4,可求点G的 坐标，由交点式可得抛物 线C2的表达式； ⑤由AB=1、点A坐标可 求点B坐标，要判断是否 能越过障碍物，需要比较 当x=xc=xB时，yc与高 BC的大小 O由正方形MNPQ和点 M,N,Q坐标可求出点P 坐标，1a|越大，开口越 小；la|越小，开口越大， 当抛物线顶，点为M,且经 过点（4,0)时，a的值最 大；当抛物线顶，点为P,且 经过点(3,0)时，a的值 最小 29 ⊕针对训练 1.（2025山西)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动 机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相 吻合 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm, 起跳点与落地点的距离为160cm. 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿青蛙 机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM 所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变 (2)如图1，若仿青蛙机器人从点0正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)，点Q 在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少 于3cm,才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC= ∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起 跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起 跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度.（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面 与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内) y/cm t M O x/cm B 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 图1 图2 第1题图 30 安徽数学二轮重难题型培优 类型2」利润问题(2018.22,2017.22) 2.(2024合肥庐江县二模)“高山云雾出好茶”， 我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和 信息都相对不便.清明节刚过，大学生李明为 了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160 元/千克的价格将附近茶农的明前新茶全部 收购，并利用网络平台进行网上销售.根据往 年的销售经验，这种明前新茶以200元/千克 的价格销售，每天可售出80千克，若价格每 上涨10元/千克，销售量会减少5千克.设销 售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克， 销售单价高于收购价，且不超过收购价的 2倍 (1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自 变量x的取值范围； (2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最 大？最大日利润为多少元？ (3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了 320千克，在(2)的条件下全部销售完之后，明 后春茶上市.李明提高了m%的收购量收购 了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上 销售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春 茶，并将收购量再提高m%,每千克的利润不 变.所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后 春茶共获利80000元，求m的值. 安徽数学二轮 3.某农场计划种植一种新型农作物，经过调查 发现，种植x亩的总成本y(万元)由三部分组 成，分别是农机成本、管理成本、其他成本，其 中农机成本固定不变为100万元，管理成本 (万元)与x成正比例，其他成本（万元）与x 的平方成正比例.在生产过程中，获得如下 数据： x(单位：亩) 10 30 y(单位：万元) 160 340 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知每亩的平均成本为11.5万元，求该 农场计划种植新型农作物多少亩？ (3)设每亩的收益为Q(万元)且有Q=x+b (k,b均为常数)，已知当x=50时，Q为12.5 万元，且此时农场总利润最大，求k,b的值. 【注：总利润=总收益-总成本】 重难题型培优 31第二部分 安衔 题型一选择压轴题 类型1根据几何图形判断函数图象 例1A1.B2.C3.D4.A 类型2根据几何图形分析函数图象 例2B5.A6.B 类型3几何图形中的最值 例3A7.C8.B9.B10.B11.C12.B 13.D14.D15.D16.D17.C 类型4几何多结论判断 例4A18.D19.D20.D21.C22.B 类型5函数多结论判断 例5D23.D24.C25.D 题型二填空压轴题 类型1新定义—代数推理 例1(1)82；(2)4564 1.(1)(6,-2);(2)(2o3,-2103) 2.(1)2;(2)833.(1)102;(2)600 4.(1)1919:(2)3782 类型2反比例函数与几何图形结合 例2(1)9；(2)85.(1)6；(2)8 &（16:6226,g5) 7.(14:2)号 80,2y-或y=豪+昌 类型3二次函数性质 例3（1)4；(2)-3或√10-2 9.(1)1;(2)t<210.(1)3;(2)h≤2 11.(1)(-2,-4);(2)k<-2 2.(1)3:(2)号≤a≤3 18.(11,4:29 14.(1)(4,2)和(-4，-2)：(2)0或3+5 2 类型4几何图形的基本性质 例4(1)号；(2)5 1.(1)65:(2)716(015:(2)号 17.(1)90:(2)5-1 2 18.(1)60°-；(2)3 安徽数学 数重难题型攻关 类型5几何图形的折叠 例5(1)7；(2)6-25 19.(1)30°；(2)2-120.(1)45°；(2)2 21.(1045-2:(2)2 2.号：2)号 题型三二次函数的实际应用 类型1建模问题 例1解：(1)当a=分6=2时，C:y=-+ 1 2x+c, 点F的坐标为(2,0)， 0=-7×2+7×2+c,解得c=1, 抛物线C的表达式为y=-之+分+1： (2)不能，理由如下： FG=4,点F的坐标为(2,0)， ∴.G(6,0), 6y=5x-20x-6)=写+号号 3-5 点A的坐标为(4.5,0)，AB=1, 轮 .B(5.5,0), 将=55代人y=写+号号石05 1 难 ∴.此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物； (3)四边形MNPQ是正方形，M(2,),N(L,1), 优 如解图所示， MN -2-101234元 -1 例1题解图 抛物线开口向下，a<0. 由图象可得，当抛物线顶点为M,且经过点(4,0) 时，开口最大，此时a最大， 设G,的表达式为y=a(-2+1 将(4,0)代人，得0=a(4-)2+1, 解得a=一 4 由图象可得，当抛物线顶点为P,且经过点(3,0) 时，开口最小，此时a最小， 参考答案 17 设C的表达武为y=a(-1)2+3, 将(3,0)代入，得0=a(3-1)2+2, 3 3 3 解得a=-8,.a的取值范围为-8≤a≤-49 1.解：(1)顶点V的坐标为(80,60).由题意得，抛物 线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， .顶点坐标为(80,60) 设抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60, 图象过原点， a(0-80)2+60=0,解得a=-320, 3 拢物线的函数表达式为y=一易x-80)+60: (2).点P的坐标为(0,75)， .第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向 上平移75个单位长度得到的， 3 ·新的抛物线的函数表达式为)y=一320(x-80)2+ 3 60+75=320x-80)2+135, 3 令y=-320(x-80)2+135=0, 解得x1=200,x2=-40(舍去)， 起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为 重 200cm (3)该平台的高度为6cm. 型 类型2利润问题 2.解：(1)由题意得y=80-5×700=-2x+180, .160<x≤2×160，∴.160<x≤320， ∴y与x之间的函数关系式为y=-分+180(160 <x≤320)： (2)设日利润为w元，根据题意得w=(x-160) (-7+180）=-22+260-280=-3 (x-260)2+5000. -分<0，且160<x≤320， .当x=260时，w有最大值为5000元. 即销售单价为260元时，所获得的日利润最大，最 大日利润为5000元. (3)由题意可知，320×(260-160)+320×40(1+ m%)+320×40(1+m%)2=80000, 解得m1=50,m2=-350<0(舍去)， .m的值为50. 3.解：(1)设y=ax2+bx+100,把(10,160)，(30， 340)代入得， 18 安徽数学 190a+306+10=340解得{-01， 100a+10b+100=160 1b=5, y与x之间的函数关系式为y=0.1x2+5x+100; (2)由题意得11.5x=0.1x2+5x+100, 即0.1x2-6.5x+100=0, 解得x1=25,x2=40. 答：该农场计划种植新型农作物25亩或40亩； (3)设总收益为W元，则W=x(x+b)-(0.1x2+ 5x+100)=(k-0.1)x2+(b-5)x-100, 当x=-品时，即有最大值，即-28)=0， b-5 x=50时，Q=12.5=50k+b, b-5 联立方程组ˉ2(k-0.1)=50 50k+b=12.5 解得k=0.05,b=10. 题型四二次函数综合题 难点突破一二次函数中的代数推理 例1解：该二次函数的图象与x轴有两个公共点， （-4)2-4m>0, 解得m<4. 追问1解：由题意知x2-4x+m=2x-1,即x2-6x+ m+1=0有两个不相等的实数根， .（-6)2-4(m+1)>0, 解得m<8. 追问2解：由追问1可知，当该二次函数与一次函数 y=2x-1的图象有两个公共点时，m<8. 令x2-4x+m=2x-1,即x2-6x+m+1=0, 令y=x2-6x+m+1,该函数的对称轴为直线x= 由题意可知，当x≤4时，y'的图象与x轴有两个 交点， 当x=4时，y≥0，即16-24+m+1≥0， 解得m≥7， .7≤m<8 1.证明：：二次函数y=（x-x1)(x-x2)的图象经过 (0,m)和(2，n)两点， .m=x1x2,n=(2-x1)(2-x2), .mn=x1x2(2-x1)(2-x2） =x1(2-x1)x2(2-x2）, 配方得mn=[-(x1-1)2+1][-(x2-1)2+1]. 0<x1<x2<2, .0<-(x1-1)2+1≤1,0<-(x2-1)2+1≤1. x1≠x2, -(x1-1)2+1与-(x2-1)2+1不能同时取到 1,∴.0<mm<1. 30 2.证明：由题可知该函数的对称轴为直线x=-20 参考答案