题型5 几何综合探究题综合训练-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优

综合训练 类型1几何图形的基本性质(2024.22,2022.22,2021.23) 1.(2024合肥蜀山区二模)如图1，△ABC和 2.(2025合肥寿春中学一模)已知，在正方形 △ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE= ABCD中，E是CD上一点，点F在射线DA 45°，连接BD,CE,且∠ADB=∠AEC=90°，过 上，连接BE,连接BF. 点C作CG∥BD交线段ED的延长线于点G, (1)如图1，当BF⊥BE时，求证：AF=CE; EG与BC相交于点F,连接DC,BG (2)如图2，当BF平分∠ABE时， (1)求证：∠BDG=∠DEC; (i)求证：BE=AF+CE; (2)试判断四边形BDCG的形状，并说明 (i)如图3，若正方形边长为2，E是CD的中 理由； 点，连接AE交BF于点G,连接DG并延长，交 (3)如图2，连接AF,过点B作BH⊥AC于H, AB于点H,求AH的长. 交AF于点M,若BM=2,求AB的长， B B 图1 图2 图3 E 第2题图 图1 图2 第1题图 安徽数学二轮重难题型培优 49 3.(2025合肥庐阳区四十二中三模)如图，等腰4.(2025合肥瑶海区二模改编)如图1，在Rt△4BC 直角△ABC中，∠BAC=90°，点D是直线BC 中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB边中点，点 上一个动点，以AD为底边作等腰直角 E,F分别在AC,BC边上，连接DE,DF,ED⊥ △ADE,连接BE并延长交直线AC于点F,G DF,连接BE交CD于点G 为BC的中点，连接AG,EG. (1)求证：∠AED=∠CFD; (1)如图1，若点D在线段BC上，求证： (2)如图2，连接EF,若∠CBE=k∠ADE. (i)△AEG∽△ADC; (ii)FD⊥BC. （0)当=1时，求的值： (2)如图2，若点D在线段BC的延长线上，AE (ii)当k=2时，求tan∠CFE的值. 与BC相交于点H,当△ABC与△ADE全等 时，求销的位 图2 第4题图 H 图 图2 第3题图 50 安徽数学二轮重难题型培优 5.(2025上海)在平行四边形ABCD中，E,F分6.在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于 别是边BC,CD上的点，连接AE,AF,EF. 点0，P是线段OC上一点（不与点0，C重 (1)若E是BC中点； 合)，过点P分别作AD,CD的平行线，交CD (i)【多解法】如图1，若AE=EF,求证：∠BAE= 于点E,交BC,BD于点F,G,连接EG. ㄥEFC; (ii)如图2，若CF=DF,连接BF交AE于点 (I)如图1，若0P=2PC,∠B0C=,求证： G,求S△BEc:S△ABr的值. ∠DGE=180°-； (2)如图3，若AB=3,AD=5,CF=1,∠AEB= (2)如图2，若∠ABC=90°，BC=?,且ADGE BC ∠AFE=∠EFC,求AF的长. D 与△PCF相似，求咒的值，并补全图形： (3)如图3，若BA=BG=BC,延长EG恰好经 过点A,求∠ABC的度数. 图1 图2 图3 图1 图2 第5题图 图3 第6题图 安徽数学二轮重难题型培优 51 类型2图形的折叠（对称）(2025.22) 7.(2025成都)如图，在口ABCD中，点E在BC 8.(2025合肥经开区一模)定义：两组邻边分别 边上，点B关于直线AE的对称点F落在 相等的四边形叫做“筝形”， 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射 (1)如图1，在菱形ABCD中，E是DC的中点， 线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 连接AE,将△AED沿AE翻折到△AEF,延长 【特例感知】 AF交BC于点P,请写出图中的有“筝形”； (1)如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线 (2)如图2，将(1)中的“菱形ABCD”改为“正 上，求证：△EFP≌△ECQ; 【问题探究】 方形ABCD,其他条件不变，求的值： (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=6,AD=5,E 的长； 是边DC的中点，连接AE,将△AED沿AE翻 【拓展延伸】 折到△AEF,点P是线段BC上一点，若四边 (3)如图2，当CE=2BE时，点P在BC边上， 形PCEF是“筝形”，求CP的长， 若8品，求瓷的值（用合n的代数式表示） DO n D 图1 图2 图3 第8题图 图 图2 第7题图 52 安徽数学二轮重难题型培优 类型3图形的旋转(2023.22) 9.(2025合肥寿春中学二模)已知点D是等边 10.(2025湖北省卷)在△ABC中，∠ACB=90°， △ABC内一点，且∠CDB=120°，连接AD并 将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对 延长交BC于点E,将△BDC绕点B顺时针旋 应点D落在边AB上，连接BE. 转60°得到△BAF (1)如图1，求证：△BCE∽△ACD; (1)如图1，若∠EAF=,请用含x的式子来 (2)如图2，当BC=2,AC=1时，求BE的长； 表示∠CDE的度数； (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的 (2)如图2，连接DF,交AB于点G,当C,D,F 延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF 三点共线时，且∠BDE=∠ACD, (i)求证：AF·BG=BD·AD; 于点G,0B与C交于点K,当器-名时，求 (田)求品的值 2的直 图1 图 图2 第9题图 图3 第10题图 安徽数学二轮重难题型培优 53 类型4」综合与实践 11.(2025江西)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转 放缩问题展开探究. 特例研究 在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O. (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数 为 ,k的值为 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为 点E,F).使得点E落在0D上，点F落在BC上，求能的值： 类比探究 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD 上，点F落在BC上猜想E的值是香与a有关，并说明理由： (4)【多解法】若(3)中∠ABC=B,其余条件不变，探究BA,BE,BF之间的数量关系（用含B的式 子表示) 阁 图3 备用图 第11题图 54 安徽数学二轮重难题型培优CE3-5 BE BE BM5-1 BC 2 BC AD MD 2 设BM=(√5-1)x,则MD=2x, .BD=(5+1)x, 由(2)知EF∥BD, EFEC_3-5 BD BC 2 AEF=3,5BD=3,5xw5+1)x=(5-10x, 2 2 .EF BM, 又EF∥BD, ·.四边形BMFE为平行四边形. 综合训练 1.(1)证明：AD=AE,∠DAE=45°， ÷∠AED=∠ADE=180°，45°=67.5 2 :∠ADB=∠AEC=90 ∴.∠BDG=180°-∠ADE-∠ADB=180°-67.5°- 90°=22.5， ∠DEC=∠AEC-∠AED=90°-67.5°=22.5°， .∠BDG=∠DEC: (2)解：四边形BDCG的形状是平行四边形，理由： 一轮重 :CG∥BD,∴.∠BDG=∠CGE. .:∠BDG=∠DEC,.∴.∠DEC=∠CGE 题 ∴.EC=CG :∠BAC=∠DAE=45, .∠EAC=∠DAB. AE=AD 在△EAC和△DAB中 ∠EAC=∠DAB. LAC =AB ∴.△EAC≌△DAB(SAS), .EC BD,..BD =GC. CG∥BD .四边形BDCG是平行四边形； (3)解：如解图，过点M作MN⊥AB于点N. :四边形BDCG是平行四边形， .BF FC. AB=AC. .AF⊥BC,∠BAF=∠CAF. .MH⊥AC,MN⊥AB, ∴.MH=MN. :BH⊥AC,∠BAC=45°， ∴.△ABH为等腰直角三角形，∠ABH=45° ∴.AB=√2BH,△MNB为等腰直角三角形， BN=MN =2BM. 34 安徽数学 BM=√2， ∴.BN=MN=1,∴.MH=MN=1. ∴.BH=BM+MH=√2+1， .AB=√2BH=2+2. 第1题解图 2.（1)证明：四边形ABCD为正方形， ∴.∠ABC=∠BAD=∠C=90°，AB=BC .∴.∠BAF=90°=∠C,∠ABE+∠CBE=90° .·BF⊥BE, .∠ABF+∠ABE=∠EBF=90°， .∠ABF=∠CBE .△ABF≌△CBE(ASA), .∴.AF=CE; (2)(i)证明：如解图1，以点B为圆心，将△BAF顺 时针旋转90°至△BCM处， ∴.△ABF与△CBM全等， .∴.∠CBM=∠ABF=∠FBE,∠M=∠AFB, .∴.∠EBM=∠CBM+∠EBC=∠FBE+∠EBC= ∠AFB=∠M, .BE EM=CM CE=AF+CE: 图1 图2 第2题解图 (i)解：.·四边形ABCD为正方形 .∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB∥CD,AB=BC =CD=AD=2. E是CD的中点， ..CE=DE=1, AE=BE=√22+1'=5. ·BE=AF+CE, .AF=5-1, 如解图2，延长BF交CD的延长线于点N BF平分∠ABE, ∴.∠ABF=∠EBF .AB∥CN, 参考答案 .∠ABF=∠N, .∴.∠EBF=∠N .BE EN =5, .AB∥CN .△ABG∽△ENG,△AGH∽△EGD, AB AG AH AG NE=EG'DE-EG' AB AH ·NEDE 2 AH 51, AH=25 5 3.(1)证明：(i).:△ABC,△ADE是等腰直角三角形 .AB=AC,EA=ED,∠BAC=∠AED=90°，∠ABC= ∠ACB=∠EAD=∠EDA=45° G为BC的中点， .AG⊥BC ·.△AGB,△AGC为等腰直角三角形， .∴.∠DAE=∠CAG=45°， ∴.∠DAE-∠DAG=∠CAG-∠DAG 即∠GAE=∠CAD 叉：cos LEAD=c0 LCAG=c0s45°=2 AEAG2 AD=AC-2 .△AEG∽△ADC; (i).'△AEG∽△ADC .∠AGE=∠ACD=45°， 由(i)知AG⊥BC, .∠AGB=90°， .∠EGB=45°， .∠EGB=∠ACD ..EG∥AC. G为BC的中点， .E为BF的中点. .∠BAF=90°， .AE BE FE=DE, .点A,B,D,F在以点E为圆心，AE长为半径的 圆上， ∴.∠FDB=90°， ..FD⊥BC: (2)解：如解图，过点E作EM LBD,垂足为M. ·.·AG⊥BC .EM∥AG, .△EMH∽△AGH, EH EM ·AHAG 当△ABC与△ADE全等时，AC=AE AC=2AG,AD=√2AE, 安徽数学 ∴.AD=2AG, sin∠A0c=2, .∠ADG=30°， 由(i)同理，得E为BF的中点，FD⊥BC, .·EM⊥BD .EM∥DF, ∴.△BME∽△BDF, EM、1 DF=2, 设AG=a,则DG=nDG=3a,cC=AG=a .·∠DCF=∠ACB=45°，DF⊥BD .DF DC=DG-GC=(3-1)a, ME=3- 2a, EH EM3-1 ”AHAG= 2 GHM 第3题解图 4.(1)证明：∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠CAD=∠CBD=45. 轮重难题 D为AB边中点， ∴.CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°=∠CAD= 培优 ∠CBD,AD=D=B=GD ED⊥DF, ∴.∠EDF=90°=∠ADC=∠CDB, ·.∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC, 即∠ADE=∠CDF, ,∠ADE=∠CDF 在△AED和△CFD中 AD=CD L∠EAD=∠FCD ∴.△AED≌△CFD(ASA), ∴.∠AED=∠CFD; (2)解：∠EDF=90°=∠CDB, ∴.∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF, 即∠CDE=∠BDF, r∠CDE=∠BDF 在△CDE和△BDF中，CD=BD L∠DCE=∠DBF ∴.△CDE≌△BDF(ASA), .CE=BF. 参考答案 35 (i)当k=1时，则∠CBE=∠ADE, 设CF=a,CE=BF=b. .·∠ECF=90°=∠EDF, ∴.∠ECF+∠EDF=180°， ·.如解图1，四边形DECF内接于直径为EF的圆， ·圆周角∠CEF,∠CDF所对的弧为CF ·.∠CEF=∠CDF, 由(1)知∠ADE=∠CDF .∠CEF=∠CBE. .·∠ECF=∠BCE=90°， .△CEF∽△CBE, 器-法剧f .b2=a(a+b), 整理，得（公）产+号-1=0， 第得号=15政号=5（负值不符合题 2 2 意，舍去)， .CF_-1+5 2； 一轮重 题型培优 图1 图2 第4题解图 (i)当k=2时，则∠CBE=2∠ADE 如解图2，延长FC至点P,使CP=CF,连接PE. 设CE=BF=m,CP=CF=n. .:∠ECF=90°，即EC⊥PF EC垂直平分PF,an∠CFE=Cg=m,PE=CE+ CF Cp2=m2+n2, .EP=EF, ∠CEP=∠CEF, .∠PEF=∠CEP+∠CEF=2∠CEF, :∠ECF=90°=∠EDF, .∠ECF+∠EDF=180° ∴.四边形DECF内接于直径为EF的圆， ∴.∠CEF=∠CDF=∠ADE ∴.∠PEF=2∠CEF=2∠ADE=∠CBE, 又：∠EPF=∠BPE, ∴△EPF△BPE, 隔-限即E=pPB, ∴m2+n2=2n(m+2n), 36 安徽数学 2 整理，得(m)-2(m)-3=0, 解得丹=3或”=-1（负值不符合题意，合去）. n ∴.tan∠CFE=3. 5.(1)(i)证明：证法1：如解图1，延长FE,AB交于点 夕 .·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,.∠EBH=∠C,∠H=∠EFC, :E是BC中点， .BE=CE. ∴.△BEH≌△CEF(AAS), .EH EF, AE =EF, .AE=EH, .∠H=∠BAE, .∠BAE=∠EFC: B 图1 图2 第5题解图 证法2：如解图2，过点E作EI∥AB交AF于点I. ·:E1∥BA,AB∥CD, .∴.∠BAE=∠AEI,∠EFC=∠IEF. :E是BC的中点， .I是AF的中点. .AE=EF, .∠AEI=∠IEF, .∠BAE=∠EFC; (i)解：如解图3，延长BF,AD交于点M .·四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC, .'.△BEG∽△MAG,△BCF∽△MDF BE CE_BG BC=BF =CE=1, ·AM-AG=GM'DM-MF-DF .BF MF,BC DM. ,E是BC中点， ∴.BC=2CE=2BE, 设CE=BE=m,则BC=DM=2m, .'AM =AD DM=4m, ·%股器”4 BG 2 GF=3' S△Ec_S△GE_GE-1S△AG-BG-2 六8-SaHA64SwFG3 参考答案 设S△ABc=4n,则S△Bc=n,S△AFc=6n, 3 SAGFE=2, S△BEG SABEG ”3 2 SAr SAuG+SAGrE 6n+ 即5Sw的值为后 D --=-M 第5题解图3 (2)解：如解图4，延长AD,EF交于点M. 四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,CD=AB=3, .∠AEB=∠EAD,DF=CD-CF=2. '∠AEB=∠AFE=∠EFC, .∠EFA=∠EAD. 又.·∠AEF=∠MEA, .∴.△AEF∽△MEA. .'∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+ ∠FEC=180°，∠AEB=∠EFC, .∠AEF=∠FCE, ..△AEF∽△ECF, .:AD∥BC .△ECF∽△MDF, EC EF CF 1 ·.DMEMDE=2 设CE=s,FE=t, .·△AEF∽△ECF 常叶流 t .AE =st,AF=1. 品-部3即分 ∴.DM=2s,FM=2t, .AM=AD+DM=5+2s. .'△AEF∽△MEA, 能器新即 st 2 =1+2=5+23 [t=st st t+2t st 2 (t+2t5+2s [s=3 =-3 解得 =53+6或， 3 F= -53+6舍去)， 3 安徽数学 AF=53+6 3 B E 第5题解图4 6.(1)证明：0p=2PC,Pc/cD, 0G0P1 0D=0c=3 在平行四边形ABCD中，OA=OC. ·02c03 CPCP 1 又.PE∥AD 0c03 CP CE 1 ·0c03 OG CE 1 DG DE 2 ·00=Dc=3, .·∠GDE=∠ODC ∴.△DGE∽△DOC, .∠DGE=DOC, .EG∥OC, ∴.∠BGE=∠BOC=, .∠DGE=180°-a; (2)解：补全图形，如解图. 轮重难题型培优 第6题解图 .∠ABC=90°， ·.平行四边形ABCD为矩形，AB∥CD, ∴.OC=OD,∠CPF=∠PCE, ∴.∠GDE=∠PCE=∠CPE. 又.PG∥CD, ∴.AB∥PG,∠DEG=∠PGE, ∴.∠CFP=∠ABC=90°， :∠DEG<90°，△DGE与△PCF相似， ∴.只能∠DGE=90°，∠DEG=∠PGE=∠PCF, ∴.此时有△DGE∽△PFC∽△CEP∽△ABC, ..AB =2.DG_PF_CE AB 2 BC=3GE=FC=PE=BC=3 同理可得△PGE∽△EPC, 呢=02 PG PE 3 设CE=4k,那么PE=6k,PG=9k, 在Rt△PEG中，EG=PE+PG=313k, 参考答案 37 .DG=2√13k 在Rt△DEG中，DE=√DG+GE2=13k, .CD =17k :PG∥CD ∴.△OPG∽△OCD, OP PG 9 六0c-cD17' 0P9 PC=8 (3)解：BA=BC, ∴.平行四边形ABCD为菱形. ∴.AB=BC=CD=AD,AD∥BC,∠ABD=∠CBD, .∠BAC=∠BCA, :PF∥CD∥AB,PE∥AD∥BC, ∴.四边形PFCE为平行四边形，∠CPF=∠BAC, .∠FCP=∠CPF, .PF=CF, .四边形PFCE为菱形， ∴.PF=FC=CE, 同理可得FB=FG, FB=FG=a,PF FC=CE=b, .'GP=a-b. .·GP∥CE, .△APG∽△ACE 一轮重 PG AP BF ·CE=AC-BC 题 6 a2-ab-b2=0, 优 ()--1=0， 解得-5，'（负值已舍去）， 6 2 同理可得6=CF-b-5-1 GB BF a 2 .DG_BG_5-1 GB=BD=2 BG=BA AD. DG DA ·DADB 又：∠ADG=∠BDA, .△DGA∽△DAB .设∠DAG=∠DBA=∠ADB=a, '∠BAG=∠BGA=2a, .5a=180°， .=36°， .∠ABC=72° 7.(1)证明：由对称得∠B=∠AFE,BE=FE, ·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, 38 安徽数学 ∴.∠B=∠PCG, ∴.∠AFE=∠PCG, .·∠AFE=∠QFG ∴.∠PCG=∠QFG, .·∠FGO=∠CGP, .∴.∠CQE=∠P, CE=BE,BE=EF, .EF=EC, 又.∠CEQ=∠FEP, .△EFP≌△ECQ(AAS); (2)解：△EFP≌△ECQ, .EQ=EP, .EF=EC, .FO=CP .'∠FGQ=∠CGP,∠CQE=∠P, ∴.△FQG≌△CPG(AAS), .FG=CG=3,GQ=GP=5, 由对称得AF=AB, 四边形ABCD是平行四边形， ..AB∥CD,AB=CD. .△CGP∽△BAP, CG PG AB-AP' 3 5 六ABAB+3+5解得AB=12, .CD=12, .DQ CD-CG-QG=4; (3)解：如解图，延长AD,EQ交于点M. 设CQ=a,BE=b, 0c8=28E. ∴.D0=an,EC=2b, .AB=CD=(n+1)a,AD=36 ·.·△ABE和△AFE关于AE对称， .AF=AB=(n +1)a,EF=BE=b, .·AD∥BC,即DM∥EC. ∴.△DQM△CQE, DM_D,即 .ECCO DM _an =n, 2b a .∴.DM=2bn. ·.·四边形ABCD是平行四边形 .∠B=∠ADQ, 易知∠AFE=∠B, ∠AFQ+∠AFE=180, .∠AFQ+∠ADQ=180°， ∴.∠DAF+∠DQF=180°， .·∠EQC+∠DQF=180°， ∴.∠EQC=∠DAF, AD∥BC,.∠DAF=∠FPE, 参考答案 .∠EQC=∠FPE, 又.·∠FEP=∠CEQ, .△FEP∽△CEQ, 既品% .PF-z0. .'AD∥BC,.∴.△AMF∽△PEF 小0部8品0a☑ EP 1 解得EP=3+2n 2n+2, .CP=EC-EP=26- +2b=(2n+1)b 2n+2 2n+2 又.·PC∥AD .∴.△GPC∽△GAD (2n+1)b CG CP 2n+2 2n+1 DG-AD 36 6n+6 D G 第7题解图 8.解：(1)四边形ABCD是菱形， .AD=AB=CD=BC,即四边形ABCD是“筝形”； 由折叠的性质得AD=AF,DE=EF, 即四边形AFED是“筝形”； 由折叠的性质得∠D=∠AFE, :四边形ABCD是菱形， .∠BCD+∠D=180°， .∠BCD+∠AFE=180°， :∠EFP+∠AFE=180°， .∠BCD=∠EFP, 如解图1，连接CF E是DC的中点， .DE=EF=CE,∴.∠EFC=∠ECF, ∴.∠ECP-∠ECF=∠EFP-∠EFC,即∠PCF =∠PFC, .PF=PC,即四边形PCEF是“筝形”： 综上，图中的“筝形”有四边形ABCD,四边形 AFED,四边形PCEF: (2)同理(1)得四边形PCEF是“筝形”， 设DE=EF=CE=x,则CD=2x. ,·四边形ABCD是正方形， .∠D=∠C=90°，AB=BC=CD=AD=2x, .AE=√/AD2+DE=√5x, 如解图2，连接PE. 安徽数学 EF CE,PC=PF,PE=PE. ∴.△EFP≌△ECP(SSS), ∴.∠PEF=∠PEC, 由折叠的性质得∠AED=∠AEF,∠DAE=∠PAE, ∠ADE=∠AFE=90°， ,·∠AED+∠AEF+∠PEF+∠PEC=180°， ∴.∠AEF+∠PEF=90°， ∴.△APE是直角三角形， ∴.∠PAE+∠AEF=∠AEF+∠PEF=90°， .∠PAE=∠PEF, ·.∠PAE=∠PEF=∠DAE, m∠ME=%=云=子=m∠PMB= AE =Ph v⑤x ·PE= 2t, PC=PC- PB=BC -PC=74, 1 PC 2*1 2 3 (3)如解图3，延长AF交BC于点Q,连接PF,QE, 轮 同理(1)可证四边形QCEF是“筝形”， ∴.当P,Q重合时，四边形PCEF是“筝形”， 难 同理(2)得△AQE是直角三角形，∠QAE=∠DAE, 型 m∠DE=6=m0k=9e :在矩形ABCD中，AB=6,AD=5,E是边DC的 中点， DE=CE=2CD=2AB=3, .AE=√AD+DE2=√34， QB=334 5 ∴0c=v0E-cE-号， ·此时CP= 5 OP 图2 图3 第8题解图 9.(1)解：如解图1，由三角形外角性质知∠CDE= 参考答案 39 ∠1+∠5，∠BDE=∠3+∠4. :∠CDB=120°， ∴∠CDE+∠BDE=∠1+∠5+∠3+∠4=120. :△ABC是等边三角形， .∠4+∠5=60°，∠1+∠2=60° ∴.∠1+∠3+60°=120°，即∠1+∠3=60°， ∴.∠2=∠3，由旋转的性质知∠2=∠BAF, .∠BAF=∠3，∴.BD∥AF, ∴∠BDE=∠EAF=, ∴.∠CDE=120°-a; 图1 图2 第9题解图 (2)(i)证明：由(1)知BD∥AF, ·.△GAF△GBD, ·品品 AF·BG=BD·AG, 设∠EAF=B,由(1)得∠CDE=120°-B, 一轮重 .∠ADG=120°-B, ∴∠BDE=∠ACD=B, ∠AGC=180°-∠CAG-∠ACG=180°-60°-B 题 =120°-B, 瘾 ∴.∠CDE=∠AGC, .∠ADG=∠AGC, .AD=AG. .AF·BG=BD·AD: (i)解：如解图2，过点A作AM⊥DG于点M. AD =AG...DM=GM 设DM=GM=x,FG=y, 由旋转的性质知CD=AF,△BDF是等边三角形， ∠AFB=∠CDB=120°， .∠AFM=120°-60°=60°， ..AF=2FM=2x+2y, .BD DF DG+GF =2x+y, .'△GAF∽△GBD, 品-2 整理得y2-2xy-4x2=0, 解得y=(±5+1)x, .y>0 .y=(5+1)x, .CD=AF=2x+2y=2(5+2)x BD=2x+y=(5+3)x, 40 安徽数学 CD_2(5+2)x_2(5+2)(3-5)-5+1 ÷BD(5+3)x(5+3)(3-5) 2 10.(1)证明：将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点 A的对应点D落在边AB上， ∴.AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, 治0 ∴.△BCE∽△ACD: (2)解：：BC=2,AC=1,∠ACB=90°， .AC=CD=1,AB=√AC2+BC=√22+1P=5, m24=%=2. 如解图，过点D作DH LAC于点H, m∠4=002. .∴.DH=2AH, 在△CDH中，CH+D=CD, 即(1-AH)2+(2AH)2=12, 解得A仙=号或4M=0(合去)， DM=专，在R△ADM中，AF+DF=AD, AD=AIP+(2AH)=5AH=25 5 .·△BCE∽△ACD. %异 5 BE=45 第10题解图 (3)解：设旋转角为a,则∠ACD=∠BCE=a,AC CD,CB=CE ∠CDA=∠A=1809-g=90-a,∠CBB= 2 ∠cBE=1802-a=0°-2a. 1 2 .∵∠ACB=90° .∴.∠BCF=90°，∠DCB=90°-， .∠ECF=90°-a, ∴.∠DCB=∠ECF, GF∥AB, .∠F+∠A=180°， .·∠CDA+∠CDB=180°，∠CDA=∠A, ∴.∠CDB=∠F, ·∠DCB=∠ECF,∠CDB=∠F,CB=CE, 参考答案 .△BCD≌△ECF(AAS), .CD=CF, .CD=AC, .AC=CF: 常 .设GF=5k,GB=6k, :GF∥AB,BG∥AF, ∴.四边形ABGF是平行四边形， ∴.AB=GF=5k,AF=BG=6k,∠G=∠A, ∴.CD=AC=CF=3k, 在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC, .BC=√AB2-AC=√(5k)2-(3k)2=4h, BC 4k 4 .∴.sinA= AB=5k=5, sin G=sin A=5 4 .·△CBD≌△CEF, .∴.∠CBD=∠CEF, GF∥AB,∴.∠FEB+∠ABE=180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD=180°， 即2（∠CEF+∠CEB)=2∠FEB=180°， ∴∠FEB=90°，∴.∠BEG=90°， 血6能专器行 即6k=5, B版=. LADC=∠CBB=90-2a,∠ADC+∠CDB =180°， .∴.∠CEB+∠CDB=180°， ∴.C,D,B,E四点共圆， ∴.∠BED=∠BCD .'∠BEK=∠KCD,∠BKE=∠DKC, ∴.△BEK∽△DCK, DK CK CD 3k 5 BK-EK-BE-248 5 DK=5x,BK=8x,CK=5y,EK=8y, 则BC=BK+CK=8x+5y=4①， 根据旋转可得DE=AB=5k, .DE=DK+EK=5x+8y=5k②， 20, 联立①②可得x=39k,y=39, 7 > KD 5x 5×395_7 KE8y8 2032 3 11.解：(1)45°，2；【解法提示】四边形ABCD是正 方形，∴.∠0AB=∠DAC=45°，AD=2OA,∴.旋转 安徽数学 角为5-册=2 (2)根据题意得△AEF∽△AOB, ·∠EAF=LOAB.AE-AE 'ABAO .·.∠FAB=∠EAO AF AB AEAO' .∴.△AFB∽△AEO, BF AB ·0E=A0 ∠0AB=45°，∠A0B=90°， “胎，g .BF-_Ag=2: OE AO (3)8能的值与a无关，理由如下： 如解图，过点O作OG⊥AB于点G, 同理可证△AFB∽△AEO, BF AB ÷0E-A0' 在菱形ABCD中，∠ABC=60°， .∴.∠AB0=30°， O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴.A0=B0, .∠BA0=∠AB0=30°， .OG⊥AB 轮重难 、·AB=2BG.cos∠AB0=B=A=cos30°=3 2, 型 “3 能将 六8能的值与a无关： 第11题解图 (4同理可证，∠40-号8能-识-2 2 BF=0E,2cas号，BA=0B·2as号， .·BE=OE+OB Br+BA=0B.2as号+0B.2s号 2 =2(0E+0B)cos s B=2BEcosB 2 即BF+BA=2 BEcos 2 参考答案 41