第二十一章 四边形【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十一章 四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+30个题型讲练+真题实战练 共70题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 多边形内角和问题 题型十六 根据矩形的性质与判定求线段长 题型二 正多边形的内角问题 题型十七 根据矩形的性质与判定求面积 题型三 多（少）算一个角问题 题型十八 根据菱形的性质与判定求角度 题型四 多边形截角后的内角和问题 题型十九 根据菱形的性质与判定求线段长 题型五 正多边形的外角问题 题型二十 根据菱形的性质与判定求面积 题型六 多边形外角和的实际应用 题型二十一 正方形折叠问题 题型七 多边形内角和与外角和综合 题型二十二 求正方形重叠部分面积 题型八 平面镶嵌 题型二十三 根据正方形的性质与判定求角度 题型九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型二十四 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十 利用平行四边形性质和判定证明 题型二十五 根据正方形的性质与判定求面积 题型十一 平行四边形性质和判定的应用 题型二十六 根据正方形的性质与判定证明 题型十二 三角形的中位线 题型二十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十三 矩形与折叠问题 题型二十八 (特殊）平行四边形的动点问题 题型十四 斜边的中线等于斜边的一半 题型二十九 四边形中的线段最值问题 题型十五 根据矩形的性质与判定求角度 题型三十 四边形其他综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点二 多边形的内角和、外角和 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 知识点三 平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点四 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点五 三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 知识点六 平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 知识点七 矩形的性质 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 知识点八 直角三角形斜边上的中线 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 知识点九 矩形的判定 矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 知识点十 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 知识点十一 菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 知识点十二 菱形的判定 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 知识点十三 正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 知识点十四 正方形的判定 正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 多边形内角和问题 【例1】（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，四边形中，，平分，交于G点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分． 题型讲练二 正多边形的内角问题 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是正_______边形． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 题型讲练三 多（少）算一个角问题 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【变式】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 (1)求少加的这个内角的度数． (2)通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 题型讲练四 多边形截角后的内角和问题 【例4】．（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【变式】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 题型讲练五 正多边形的外角问题 【例5】（25-26八年级下·广东惠州·期中）已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大． (1)求这个正多边形每个外角的度数； (2)求这个正多边形的边数． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 题型讲练六 多边形外角和的实际应用 【例6】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 题型讲练七 多边形内角和与外角和综合 【例7】（25-26八年级下·山东济宁·月考）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 题型讲练八 平面镶嵌 【例8】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·安徽·期中）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 题型讲练九 利用平行四边形的判定与性质求解 【例9】我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 题型讲练十 利用平行四边形性质和判定证明 【例10】（25-26八年级下·上海·期中）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①请判断的形状，并求出的面积． ②直接写出的面积______． 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，已知三条平行线，，间的距离为，，间的距离为，点是直线上的一个定点，求作：直线上一点和直线上一点，使得是等腰直角三角形． (1)若要求，小明经过探究给出了以下作法： 在直线上，在点的左侧截取，在点的右侧截取；过作的垂线交于点，过作的垂线交于点，则点，为所求．连接，，得到． 判断按此法作出的是否为等腰直角三角形（答“是”或“否”）； 当，时，直接写出的长； (2)若要求，在答题纸上完成作图，并说明作法．（若满足条件的不唯一，作出一个即可） 题型讲练十一 平行四边形性质和判定的应用 【例11】（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【变式】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 题型讲练十二 三角形的中位线 【例2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 【变式】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型讲练十三 矩形与折叠问题 【例13】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 【变式】（25-26八年级下·上海金山·期中）已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 题型讲练十四 斜边上中线等于斜边的一半 【例14】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． (1)【数学思考】如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，为“倍线平行四边形”（），点是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长； ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 题型讲练十五 根据矩形的性质与判定求角度 【例15】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【变式】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 题型讲练十六 根据矩形的性质与判定求线段长 【例16】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） (2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 (3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平行四边形中，，点为上一点，连接． (1)将沿翻折得到，点为点的对应点． ①如图1，若，，当点落在边上时，求的长； ②如图2，若点为边中点，点落在平行四边形外，延长交边于点，，求线段的长； (2)如图3，将四边形沿翻折得到四边形（点为点的对应点，点为点的对应点），与交于点F．若，，求的长． 题型讲练十七 根据矩形的性质与判定求面积 【例17】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 【变式】（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型讲练十八 根据菱形的性质与判定求角度 【例18】（2025·北京·模拟预测）尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 题型讲练十九 根据菱形的性质与判定求线段长 【例19】25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，点O为对角线的中点． (1)尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①连接并延长交于F，连接，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，的面积为，求的周长． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 题型讲练二十 根据菱形的性质与判定求面积 【例20】（25-26八年级下·西藏·期中）如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 题型讲练二十一 正方形折叠问题 【例21】如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·上海虹口·期中）综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 题型讲练二十二 求正方形重叠部分面积 【例22】【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【变式】（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 题型讲练二十三 根据正方形的性质与判定求角度 【例23】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【变式】（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 题型讲练二十四 根据正方形的性质与判定求线段长 【例24】如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． (1)分别求出点A、B、C的坐标； (2)如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； (3)在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 【变式】已知，如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上． (1)如图1，以为斜边作等腰直角三角形，为直角，点为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，，试问是什么三角形？ (2)如图2，若点，点在第一象限作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 题型讲练二十五 根据正方形的性质与判定求面积 【例25】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【变式】（23-24八年级上·四川泸州·月考）如图：在中，，，是斜边的中点，点、分别是边、上两个动点，且． (1)当、分别在、边上移动时，并保持，、是否相等？请证明你的结论． (2)当、分别在、上移动时，并保持，会随着变化吗？请证明你的结论． (3)时，求的长． 题型讲练二十六 根据正方形的性质与判定证明 【例26】综合与实践． 【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别9，12，15或，，的三角形就是型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】如图1：在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点N，然后展平． 【解决问题】 (1)请在图2中证明：四边形是正方形． (2)请在图4中判断与的数量关系，不用说明理由． (3)请在图4中证明：是型三角形． 【变式】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 题型讲练二十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例27】如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【变式】如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 题型讲练二十八 (特殊）平行四边形的动点问题 【例28】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【变式】（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型讲练二十九 四边形中的线段最值问题 【例29】如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【变式】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 题型讲练三十 四边形其他综合问题 【例30】（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【变式】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·海南·期中）在中，、交于点，、，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，和的平分线交于边上一点，且，则的长是（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，为边上一点，，连接，过点作于，交于，在射线上截取，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如下图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（正方形），测得其对角线，利用四边形的不稳定性将其变形为如下图2所示的四边形，且，则下图2中四边形的面积为___________． 5．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，，，点是边上的动点（不与，重合），过作，，垂足分别是，，连接．则的最小值是________． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 7．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 8．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）在学习了“三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念： 如图，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，线段叫做梯形的中位线． 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明． 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下： 如图所示，连接并延长，与的延长线交于点，…… 请你按照他们的思路继续证明：． 9．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 10．（25-26八年级下·海南·期中）在学习了《平行四边形》之后，小佳同学和小豪同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 (1)如图1，小佳同学连接了的对角线、，并发现：当时，，请你利用平行四边形的相关知识证明这个数量关系； 【深入探究】 (2)如图1，在小佳同学发现的基础上，小豪同学还发现：此时，沿着或分割该平行四边形，即可得到两个直角三角形，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是斜边上的中线，请帮忙直接写出中线与斜边的数量关系：__________； 【拓展延伸】 (3)如图3，小佳同学和小豪同学在图2中的基础上又作了，使（点、在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小佳同学和小豪同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十一章 四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+30个题型讲练+真题实战练 共70题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 多边形内角和问题 题型十六 根据矩形的性质与判定求线段长 题型二 正多边形的内角问题 题型十七 根据矩形的性质与判定求面积 题型三 多（少）算一个角问题 题型十八 根据菱形的性质与判定求角度 题型四 多边形截角后的内角和问题 题型十九 根据菱形的性质与判定求线段长 题型五 正多边形的外角问题 题型二十 根据菱形的性质与判定求面积 题型六 多边形外角和的实际应用 题型二十一 正方形折叠问题 题型七 多边形内角和与外角和综合 题型二十二 求正方形重叠部分面积 题型八 平面镶嵌 题型二十三 根据正方形的性质与判定求角度 题型九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型二十四 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十 利用平行四边形性质和判定证明 题型二十五 根据正方形的性质与判定求面积 题型十一 平行四边形性质和判定的应用 题型二十六 根据正方形的性质与判定证明 题型十二 三角形的中位线 题型二十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十三 矩形与折叠问题 题型二十八 (特殊）平行四边形的动点问题 题型十四 斜边的中线等于斜边的一半 题型二十九 四边形中的线段最值问题 题型十五 根据矩形的性质与判定求角度 题型三十 四边形其他综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点二 多边形的内角和、外角和 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 知识点三 平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点四 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点五 三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 知识点六 平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 知识点七 矩形的性质 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 知识点八 直角三角形斜边上的中线 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 知识点九 矩形的判定 矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 知识点十 菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 知识点十一 菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 知识点十二 菱形的判定 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 知识点十三 正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 知识点十四 正方形的判定 正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 多边形内角和问题 【例1】（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先求解，再结合多边形的内角和公式可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴． 【变式】（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，四边形中，，平分，交于G点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）①根据四边形内角和得出，根据邻补角得出，根据补角的性质即可得出结论；②根据角平分线的定义结合，得出，根据得出, 根据平行线的判定得出； (2)延长交于点, 求出，证明，即可证明平分． 【规范解答】（1）解：①四边形中，， ， 与互为邻补角， ， ， ， ， 即：． ②， 平分平分， ， ， 在中：， ， ， ， ， ； （2）解：延长交于点M，如图所示： ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 【考点剖析】本题主要考查了四边形的内角和、角平分线的性质、邻补角关系、三角形内角和、平行线的判定、外角性质以及角度计算．解题的关键是灵活运用四边形的内角和定理及构造辅助线． 题型讲练二 正多边形的内角问题 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是正_______边形． 【答案】六 【思路引导】先求出正五边形每个内角的度数，再求得围成的正多边形在每个顶点处内角的度数，设中间形成的多边形的边数为，由正多边形的内角和公式列出方程即可求解． 【规范解答】解：∵正五边形的每个内角的度数为， ∴围成图形的顶点处的内角的角度为， 设拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为， ∴， 解得， ∴中间形成的多边形是正六边形． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查正多边形的内角的性质，熟练掌握正多边形的内角的性质是解决本题的关键． 根据正多边形的内角的性质解决此题． 【规范解答】解：正三角形的每个内角的度数是， 正方形的每个内角的度数是， 正五边形的每个内角的度数是， 正六边形的每个内角的度数是， 则． 故选：C． 题型讲练三 多（少）算一个角问题 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【规范解答】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 【变式】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 (1)求少加的这个内角的度数． (2)通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1) (2)不是正多边形，计算见解析 【思路引导】本题考查了多边形的内角与外角，牢记多边形内角和公式是解题的关键． （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【规范解答】（1）解：设这个多边形的边数为n，则：， 解得：， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴少加的这个内角的度数为：； （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为：， ∴它的边数应等于， 由（1）可知，这个多边形的边数为， ∴这个多边形不是正多边形． 题型讲练四 多边形截角后的内角和问题 【例4】．（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【规范解答】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【思路引导】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 题型讲练五 正多边形的外角问题 【例5】（25-26八年级下·广东惠州·期中）已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大． (1)求这个正多边形每个外角的度数； (2)求这个正多边形的边数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据多边形外角与内角是平角，列出方程，求解即可； （2）利用正多边形的性质和外角和求解即可． 【规范解答】（1）解：设该正多边形的内角为， 由题意，得，解得． ∴，即这个正多边形的外角是； （2）解：因为多边形的外角和是， 所以， ∴这个正多边形的边数是18． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 【答案】 【思路引导】先根据多边形内角和定理求出，则，再由角平分线的定义得到，接着利用四边形内角和为360度求出，则，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【规范解答】解：如图：设交于点P， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵平分，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型讲练六 多边形外角和的实际应用 【例6】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【规范解答】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知： ． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【规范解答】解：， 的外角为， ． 题型讲练七 多边形内角和与外角和综合 【例7】（25-26八年级下·山东济宁·月考）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【思路引导】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【规范解答】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【思路引导】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【规范解答】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【考点剖析】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 题型讲练八 平面镶嵌 【例8】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【规范解答】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】（25-26八年级下·安徽·期中）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 【答案】(1)；；； (2)①③ (3)或 【思路引导】（1）根据n边形内角和定理“n边形内角和等于求出内角和”，再除以n得到正n边形每个内角的度数； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y是满足的正整数解，即可求的值． 【规范解答】（1）解：正三角形每个内角的度数为； 正方形每个内角的度数为； 正五边形每个内角的度数为； 正六边形每个内角的度数为； …… 正n边形每个内角的度数为； 故答案为：；；；． （2）解：由（1）的方法可求出： 正三角形的每一个内角的度数是； 正五边形的每一个内角的度数是； 正六边形的每一个内角的度数是； 正七边形的每一个内角的度数是； 正八边形的每一个内角的度数是； 又，， 只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形、正六边形， 故答案为：①③． （3）解：由题意得，x、y为满足方程的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 则的值为或． 题型讲练九 利用平行四边形的判定与性质求解 【例9】我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【思路引导】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【规范解答】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【思路引导】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 题型讲练十 利用平行四边形性质和判定证明 【例10】（25-26八年级下·上海·期中）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①请判断的形状，并求出的面积． ②直接写出的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)①是等边三角形，的面积为；② 【思路引导】（1）由平行四边形的性质得到，再由已知条件证明，据此可证明结论； （2）①过点C作于点H，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，证明，即可证明是等边三角形，得到，则，即可得到；②由可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图所示，过点C作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得． 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，已知三条平行线，，间的距离为，，间的距离为，点是直线上的一个定点，求作：直线上一点和直线上一点，使得是等腰直角三角形． (1)若要求，小明经过探究给出了以下作法： 在直线上，在点的左侧截取，在点的右侧截取；过作的垂线交于点，过作的垂线交于点，则点，为所求．连接，，得到． 判断按此法作出的是否为等腰直角三角形（答“是”或“否”）； 当，时，直接写出的长； (2)若要求，在答题纸上完成作图，并说明作法．（若满足条件的不唯一，作出一个即可） 【答案】(1)是， (2)见解析 【思路引导】（1）证明，即可判断是等腰直角三角形；根据勾股定理求出、的长度即可； （2）在直线上，在点的右侧截取；过作的垂线交于点，交于M，在点的左侧截取，连接，，得到即可． 【规范解答】（1）解：如图， 是等腰直角三角形， 理由：由作图知：，，，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理可证， 又， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，即为所求， 题型讲练十一 平行四边形性质和判定的应用 【例11】（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【思路引导】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【变式】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②，理由见解析 【思路引导】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到N，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【规范解答】（1）解：， 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①当时， 则， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：60°； ②， 理由：延长到N，使，连接，， ∵D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为正三角形， ∴， ∴． 题型讲练十二 三角形的中位线 【例2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证得，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的中点， ， ∴是的中位线 ， ∴． 【变式】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【思路引导】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型讲练十三 矩形与折叠问题 【例13】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 【答案】 【思路引导】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【规范解答】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式】（25-26八年级下·上海金山·期中）已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图与证明见解析 【思路引导】（1）利用翻折性质得，结合为中点证，再由角度关系推，证为等边三角形； （2）过作梯形的高，证得、，结合与，推得且，再由证四边形为矩形． 【规范解答】（1）证明：将沿直线翻折，点落在腰上的点处， ，，即， 是腰的中点， 垂直平分， ， ，， ， 由翻折性质，， ， （三线合一）， ， 又， ∴， ∴， 又， 是等边三角形． （2）证明：过点作，垂足为，则． ，， 四边形是矩形， ，， 由翻折性质，，， ，且， 在和中：， ， ，， ， ， 又∵， ∴，即， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 题型讲练十四 斜边上中线等于斜边的一半 【例14】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】（1）证明是的中位线，得出，，由得，可证明四边形是平行四边形； （2）应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得长即可． 【规范解答】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ． 又， ． 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：在中， 为的中点，， ． 又∵四边形是平行四边形， ． 【变式】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． (1)【数学思考】如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，为“倍线平行四边形”（），点是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长； ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 【答案】(1)是“倍线平行四边形”，理由见解析 (2)①；②见解析 【思路引导】（1）由已知可得为菱形，又，故，由勾股定理可得，故，即，故为“倍线平行四边形”； （2）①由为“倍线平行四边形”可知，，设，则勾股定理求得， 进而勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出； ②过点作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，，即可得出，即可得证． 【规范解答】（1）解：是“倍线平行四边形”． 理由如下：在中，，． ， ， ， ， ， ， 是“倍线平行四边形”． （2）解：①是“倍线平行四边形”， ，， ． 设，则． ，， ， （舍负）， ， ． 是的中点，且， ． ②如图，过点作交的延长线于点，连接． ， ． ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， 设， 则，， ∴， ． ， ， ∴． 又， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ，， ， ， 是的中点． 题型讲练十五 根据矩形的性质与判定求角度 【例15】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【规范解答】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【思路引导】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【规范解答】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 题型讲练十六 根据矩形的性质与判定求线段长 【例16】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） (2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 (3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 【答案】(1)；； (2) (3)①20；② 【思路引导】（1）利用勾股定理求出即可得到答案； （2）作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接，由轴对称的性质可得，则当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值；证明四边形是矩形，得到，由勾股定理可得，则的最小值为； （3）①，，点P为上一点，且，则，可证明，再仿照（2）求出的最小值即可； ②，，点P为上一点，且，则，可证明，同理求出的最小值即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， ∴， ， ∴； （2）解：如图所示，作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：①如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为17，即的最小值为17， ∴的最小值为； ②如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平行四边形中，，点为上一点，连接． (1)将沿翻折得到，点为点的对应点． ①如图1，若，，当点落在边上时，求的长； ②如图2，若点为边中点，点落在平行四边形外，延长交边于点，，求线段的长； (2)如图3，将四边形沿翻折得到四边形（点为点的对应点，点为点的对应点），与交于点F．若，，求的长． 【答案】(1)①；②8 (2) 【思路引导】（1）①证明四边形是矩形，得到；由折叠的性质可得，由勾股定理可得，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； ②连接，由平行四边形的性质得到，，则；由折叠的性质可得，，则可证明；证明，得到，则可证明，得到，则； （2）过点F作于点K，连接，可求出，；则可得到，；由折叠的性质可得，，；过点F作于点R，延长交于点L，可证明，设，则，由勾股定理得，可得，则，；过点G作于点P，可得，；证明四边形是矩形，得到，则；设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①∵在平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴； 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点F作于点K，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∴， ∴； 由折叠的性质可得，，； 如图所示，过点F作于点R，延长交于点L， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴，； 如图所示，过点G作于点P， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 题型讲练十七 根据矩形的性质与判定求面积 【例17】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)是 (3)16 【思路引导】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据勾股定理求得，，于是得到结论； （3）根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：是； （3）解：由题意知，边扫过的四边形是矩形， ，， 边扫过的面积为， 故答案为： 【变式】（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设点到的距离为，根据长方形的性质及三角形面积公式可得，得，若点在长方形内，如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，证明四边形为矩形得，再根据垂直平分线的性质得，推出，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，在中，；若点在长方形内，则点在的延长线上， 此时，通过比较可得答案． 【规范解答】解：设点到的距离为， ∵的面积始终等于长方形面积的，，， ∴，，，， ∴， ∴，点到的距离为， 若点在长方形内， 如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长， 在中，； 若点在长方形外，则点在的延长线上， ∴， ∴， 此时； ∵， ∴最小值为． 故选：C． 【考点剖析】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质、两点之间线段最短是解题的关键． 题型讲练十八 根据菱形的性质与判定求角度 【例18】（2025·北京·模拟预测）尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 【答案】A 【思路引导】本题考查了作图——作垂线，菱形的判定和性质，掌握基本作图方法是解题关键．由作法可知，从而得出四边形是菱形，，即可得到答案． 【规范解答】解：由作法可知，， 四边形是菱形， ， 小红的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直， 故选：A． 【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)6 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质． （1）根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，，进而根据平角的定义得出，根据旋转的性质可得，，进而得出，根据等角对等边即可得证； （2）延长至，使得，证明，，，根据是等腰直角三角形，得出，根据全等三角形的性质可得，即可得证； （3）过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，，先证明，四边形是菱形，继而证明当点M与点B重合时，点N与点F重合；当点M与点C重合时，点N与点E重合；确定当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动，根据时，等于，取得最小值为6，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （2）证明：如图所示，延长至，使得， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ （3）如图，过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴，四边形是菱形， ∴，， ， ∴，， ∴当点M与点B重合时，点N与点F重合，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当点M与点C重合时，点N与点E重合； ∴当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动， 当点M与点B重合时，点N与点F重合，由， 根据垂线段最短，得，当等于时，取得最小值为6． 故答案为：6． 题型讲练十九 根据菱形的性质与判定求线段长 【例19】25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，点O为对角线的中点． (1)尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①连接并延长交于F，连接，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【思路引导】（1）由可知点E在的垂直平分线上，故作的垂直平分线交于点E即可； （2）①可证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进一步可证明平行四边形是菱形；②由菱形的性质得到，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，据此求出的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①四边形是菱形，理由如下： ∵在矩形中，点O为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而得四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型讲练二十 根据菱形的性质与判定求面积 【例20】（25-26八年级下·西藏·期中）如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2)24 【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）证明为的中位线，求出，由（1）知，四边形是菱形，得到，即可求解． 【规范解答】（1）证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形．     是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． 四边形是菱形． （2）解：∵点D，O分别是，的中点， ∴为的中位线，     ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 【答案】(1)菱形， (2)①四边形是菱形，证明见解析；② 【思路引导】（1）根据对角线互相垂直平分可得四边形为菱形，由折叠可得，然后运用菱形的面积公式就可解决问题． （2）由折叠可得；由矩形可得，从而有，进而可证得，则有，就可证到四边形是菱形；②设，则，由①知四边形是菱形，得到，利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； 由折叠可得：， ∴， ∴菱形的面积为． （2）解：①四边形是菱形， 证明：如图， 由折叠可得：． ∵四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． ②设， ， ∴， 由①知四边形是菱形， ∴， 矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 题型讲练二十一 正方形折叠问题 【例21】如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由翻折的性质及全等三角形的性质可判断①；根据正方形的性质及角的和差关系可判断③；根据三角形的周长公式可判断④；当是的中点时，可得，再判断②的正确性． 【规范解答】解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴ ， 故③正确； ∵的周长，， ∴的周长 ， 是定值，故④正确， ∵当是的中点时，可得，故②错误， ∴正确的结论有①③④． 【变式】（25-26八年级下·上海虹口·期中）综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）由折叠的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，由三线合一定理得到，再由矩形的性质和角的和差关系可得，则； （2）由折叠的性质可得，，则可证明，得到；证明，得到，可证明，则是的一条三等分线； （3）连接，可证明，得到；设，则，；由勾股定理得，可求出，即，则． 【规范解答】（1）解：由折叠的性质可得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， 由折叠可知：是的垂直平分线， ∴，； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线； （3）证明：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵点E为的中点， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型讲练二十二 求正方形重叠部分面积 【例22】【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【答案】(1)见解析 (2)； 【思路引导】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证即可得证； （2）设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长． 【规范解答】（1）证明：设、交于点，   ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， 四边形的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积的面积， 设的面积为， 则阴影部分的面积为：， 即， 解得， 设，， ， ，， ， 即， ． 【变式】（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据正方形的性质得到、，由余角的性质得到，进而证明，从而得到重叠部分的面积为，据此求解即可； （2）连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，则直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，则直线将四边形的面积分成相等的两部分． 【规范解答】（1）解：连接， 是边长为的正方形的中心， 、、， 、， ， 在和中， ， ， 重叠部分的面积为； （2）解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求， 证明：由（1）的结论易证得， 是边长为的正方形的中心， ， ， 同理得：、、， 直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M， 证明：由作图可知，、、， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， 、， 、， 四边形是平行四边形， 点是平行四边形的对角线的交点， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 当时，将四边形面积二等分． 题型讲练二十三 根据正方形的性质与判定求角度 【例23】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式】（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【规范解答】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型讲练二十四 根据正方形的性质与判定求线段长 【例24】如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． (1)分别求出点A、B、C的坐标； (2)如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； (3)在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 【答案】(1)点，点，点 (2)见解析 (3)，， 【思路引导】（1）将变形为，根据非负性，等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点D作于点P，作于点Q，得到四边形是矩形，根据等腰三角形的性质，得到，证明，证明即可； （3）根据题意，分类求解，注意等腰直角三角形的性质，中点坐标公式的应用． 【规范解答】（1）解：将变形为， ， 解得， ∴点； 过点C作轴于点N，作轴于点M， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， 轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴四边形是正方形， ∴， ∵点C的横坐标为n， ∴． ∴， ∴，， ∴点，点． （2）证明：过点D作于点P，作于点Q， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，点D为边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 过点B作于点B，且满足，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 过点作于点H，过点作于点R， 同（1）法可得： ， 故； 延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 综上所述，符合要求的点G有三个，分别是，，． 【变式】已知，如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上． (1)如图1，以为斜边作等腰直角三角形，为直角，点为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，，试问是什么三角形？ (2)如图2，若点，点在第一象限作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直角三角形 (2)或或． 【思路引导】（1）过点C作于点N，过点E作于点M，则，根据等腰三角形的性质得出，再根据同角的余角相等得到，即可证明，因此，，从而得到，即可求出，再结合，即可得到，因此是直角三角形； （2）分以下三种情况：①是等腰直角三角形的斜边；②是等腰直角三角形的斜边；③是等腰直角三角形的斜边．分别求解即可． 【规范解答】（1）解：是直角三角形，理由如下： 过点C作于点N，过点E作于点M，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在等腰直角三角形中，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵，点， ∴，． 分以下三种情况讨论： ①若是等腰直角三角形的斜边，过点C作轴于点F，作轴于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②当是等腰直角三角形的斜边时，过点C作轴于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； ③当是等腰直角三角形的斜边时，过点C作轴于点H， 与②同理可证， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为． 综上所述，满足条件的点C的坐标为或或． 题型讲练二十五 根据正方形的性质与判定求面积 【例25】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【答案】(1)见解析 (2) ；36 【思路引导】（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得的长，在中求得，即可求得菱形的边长；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近， 由①知，此时，， 那么， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键． 【变式】（23-24八年级上·四川泸州·月考）如图：在中，，，是斜边的中点，点、分别是边、上两个动点，且． (1)当、分别在、边上移动时，并保持，、是否相等？请证明你的结论． (2)当、分别在、上移动时，并保持，会随着变化吗？请证明你的结论． (3)时，求的长． 【答案】(1)相等 (2)不会 (3) 【思路引导】（1）连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得是的平分线，作，，垂足分别为点、，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明四边形是正方形，然后根据等角的余角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得； （2）根据全等三角形的面积相等可得和的面积相等，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，是定值不变； （3）根据四边形的面积求出的长，再根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系即可得解． 【规范解答】（1）解：． 证明如下： 连接，如图所示： ，是的中点， 是的平分线， 作，，垂足分别为点、，如图所示： 则，（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：不会变化． 证明如下： 根据（1）可得，则，即， 点是斜边边的中点， （不变）， 正方形的面积不变， 不会变化； （3）解：， （正方形的面积等于对角线乘积的一半），解得， （等腰直角三角形斜边等于直角边的倍）． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，正方形的面积的求解，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 题型讲练二十六 根据正方形的性质与判定证明 【例26】综合与实践． 【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别9，12，15或，，的三角形就是型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】如图1：在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点N，然后展平． 【解决问题】 (1)请在图2中证明：四边形是正方形． (2)请在图4中判断与的数量关系，不用说明理由． (3)请在图4中证明：是型三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，由折叠的性质得，，先证明四边形是矩形，再由得到结论； （2）连接，由折叠得到，根据正方形的定义得到，证明，即可得到结论； （3）由折叠得：，设，则，在中，，解得，得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：矩形纸片， ， 由折叠的性质得，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2）解：， 连接，由折叠得到， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：四边形是正方形， 由折叠得：， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 故是型三角形． 【变式】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【思路引导】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明，即可； （3）分点在线段的延长线上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段的延长线上时，如图②： 由（2）可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 题型讲练二十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例27】如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【思路引导】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【规范解答】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【考点剖析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 【变式】如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【思路引导】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 题型讲练二十八 (特殊）平行四边形的动点问题 【例28】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且；②； (2)，，，，为整数且． 【思路引导】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解； （2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为， 又因为， 所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， 所以； （2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， 所以为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得，由，，解得， 再由对称性，得，， 所以的所有可能取值是，，，，为整数且． 【变式】（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或2 【思路引导】本题考查列代数式、矩形上的动点问题： （1）求出即可表示出的长度； （2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值． 【规范解答】（1）解：，则， 故答案为：； （2）解：存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∵，， ∴． ②当，时，． ∵， ∴，即． 解得． ∵，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 题型讲练二十九 四边形中的线段最值问题 【例29】如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【思路引导】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【规范解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为2． 【变式】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 【答案】/ 【思路引导】根据正方形的性质可得，得到，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，点到点的距离不变，再根据两点之间线段最短得，当点，，三点共线时最小，利用勾股定理求解即可； 【规范解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 取的中点，连接，， ， ， ， 当点，，三点共线时，取最小为， 的最小值为． 题型讲练三十 四边形其他综合问题 【例30】（24-25八年级下·广西贵港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可得； （2）根据垂直的定义及勾股定理解答即可； （3）证明，得出，证明，得出四边形为垂美四边形，结合（2）的结论计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：四边形是垂美四边形；理由如下： 连接、， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂美四边形； （2）证明：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键. 【变式】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②是 (3) 【思路引导】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）在取折叠时点的对应点，连接，可以证明，，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【规范解答】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴， 又∵， ∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·海南·期中）在中，、交于点，、，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．就可以转化为三角形的三边的关系的问题． 【规范解答】解：∵，、交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 2．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，和的平分线交于边上一点，且，则的长是（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【思路引导】根据平行四边形的性质和角平分线，推出，勾股定理求出的长，根据等腰三角形的判定得出，，根据，得出，即可得出答案． 【规范解答】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵和的平分线交于边上的一点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，为边上一点，，连接，过点作于，交于，在射线上截取，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先利用勾股定理和面积法求出、的长度，即可得、的长度，过点作于点，构造与全等的，得到、的长度，最后利用勾股定理计算出即可． 【规范解答】解：∵正方形中，， ∴，，， ∴​， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△和中， ， ​∴， ∴，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如下图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（正方形），测得其对角线，利用四边形的不稳定性将其变形为如下图2所示的四边形，且，则下图2中四边形的面积为___________． 【答案】 【思路引导】先利用正方形的性质得到，在图2中，连接交于O，证明是等边三角形得，再根据菱形的性质和勾股定理求得的长，最后求出菱形的面积即可． 【规范解答】解：如图1，∵四边形是正方形，， ∴， 在图2中，连接交于O，        ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，，，点是边上的动点（不与，重合），过作，，垂足分别是，，连接．则的最小值是________． 【答案】 【思路引导】连接，过点作于点，先求出，再根据三角形的面积公式求出，证明四边形是矩形得，由此得当最小值时，的值为最小，当时，为最小，最小值是线段的长，据此即可得出的最小值． 【规范解答】解：连接，过点作于点，如图所示： ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形的面积公式得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当最小值时，的值为最小， 点是边上的动点不与，重合 当时，为最小， 当点于点重合时，为最小，最小值是线段的长， 的最小值是， 的最小值是 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，点是延长线上一点，连接交于点，若，则的长为___________． 【答案】/ 【思路引导】过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设，先证明，然后证明，再证明，最后通过矩形的性质以及对运用勾股定理建立方程求解． 【规范解答】解：过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，过点作交的延长线于点，设 ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形，， ∴， ∵翻折， ∴，，， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 解得 ∴的长为． 7．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴的长是． 8．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）在学习了“三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念： 如图，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，线段叫做梯形的中位线． 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明． 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下： 如图所示，连接并延长，与的延长线交于点，…… 请你按照他们的思路继续证明：． 【答案】见解析 【思路引导】先证明，得出，，证明为的中位线，根据中位线的性质得出，，根据线段间的关系，即可证明结论． 【规范解答】证明：连接并延长，与的延长线交于点，如图所示： ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 9．（25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 【答案】(1)3 (2)； (3)点坐标为或或或 【思路引导】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，由题意得，则，根据平行四边形的性质得到，据此列方程求解即可； （2）要使四边形为菱形，得到，利用勾股定理求出的值，进而求出的值； （3）分情况讨论：①当、为菱形的边且点在点的右侧或②当点在点的左侧且在线段上或③当点在点的左侧且在延长线上或④为菱形的对角线时，根据菱形的性质得到，再利用勾股定理求出或的长即可． 【规范解答】（1）解：四边形为矩形，、， 、， 点是的中点， ， 由题意得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 四边形为菱形， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 点坐标为； （3）解：①当、为菱形的边，且点在点的右侧时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点坐标为； ②当点在点的左侧且在线段上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ③当点在点的左侧且在的延长线上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ④当为菱形的对角线时，如图，过点作， 四边形为菱形， ，且点和点关于对称， 在中，， ， ， ； 综上所述，点坐标为或或或． 【考点剖析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键． 10．（25-26八年级下·海南·期中）在学习了《平行四边形》之后，小佳同学和小豪同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 (1)如图1，小佳同学连接了的对角线、，并发现：当时，，请你利用平行四边形的相关知识证明这个数量关系； 【深入探究】 (2)如图1，在小佳同学发现的基础上，小豪同学还发现：此时，沿着或分割该平行四边形，即可得到两个直角三角形，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是斜边上的中线，请帮忙直接写出中线与斜边的数量关系：__________； 【拓展延伸】 (3)如图3，小佳同学和小豪同学在图2中的基础上又作了，使（点、在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小佳同学和小豪同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）由，结合平行四边形的性质可证，从而得到； （2）延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照（1）证明，从而得到，进而推出； （3）根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ； （2）解：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ； （3）解：， 理由如下：取和的斜边的中点，连接 交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $