第二十二章 函数【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十二章 函数【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+12个题型讲练+真题实战练 共51题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 用描点法画函数图象 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点二 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点三 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点四 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 用表格表示变量间的关系 【例1】（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【变式1】（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 题型讲练二 用关系式表示变量间的关系 【例2】（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26六年级下·全国·单元测试）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【变式2】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 题型讲练三 用图象表示变量间的关系 【例3】（24-25七年级下·四川巴中·期末）游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【变式1】（24-25八年级下·云南玉溪·期末）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到弹力（N） 0 30 60 90 120 150 弹簧的长度（） 6 8 10 12 14 16 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度）， ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式________；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为18，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 题型讲练四 函数的概念 【例4】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 题型讲练五 函数解析式 【例5】（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______． (2)直接写出梯形的面积与高之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由变化到时，梯形的面积S的变化情况； (3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中与的大小也在变化，若，，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·山东·课后作业）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请问有几种购买方案． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． (4)在（3）条件下，家居店选择哪种方案合算？ 【变式2】已知，如图①，在矩形中， ，，将沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题： (1)当t为何值时，点C在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，是直角三角形； (3)设的面积为，求y与t之间的函数关系式． 题型讲练六 求自变量的取值范围 【例6】（24-25八年级下·四川南充·期中）函数的自变量的取值范围为________． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，，延长交于D，，解决下列问题：      (1)________，与的位置关系是________________ (2)动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 题型讲练七 求自变量的值或函数值 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，结合表格中的数据回答问题： 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … (1)设图形的周长为，梯形的个数为，试写出与的函数解析式； (2)求时，图形的周长； (3)求时，梯形的个数． 【变式1】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据下图，将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ … (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？ (3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？ 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，满足，点与点关于轴对称，连接． (1)求，两点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线匀速运动，连接，点在第二象限，且，，连接、和.设的面积为，运动时间为秒，求和之间的关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，过点作于点，直线交轴于点，当的面积为6时，直接写出的值和点的坐标． 题型讲练八 函数图象识别 【例8】（2026·江西上饶·一模）回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【变式2】（23-24七年级下·重庆·期中）A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 题型讲练九 用描点法画函数图象 【例9】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）【直观想象】 如图甲，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定． 【数学发现】 设动点在数轴上表示的数是，点到原点的距离为，我们发现是的函数，它的函数表达式为． 【数学理解】 （1）请在图丙中画出函数的图象； 【类比迁移】 如图乙，点在数轴上表示的数分别是1和3，设动点在数轴上表示的数是到两个定点的距离和为． （2）当点在线段上运动时（可以和点重合），的取值范围是_____，_____； （3）当点在数轴上运动时，仿照（1）写出与之间的函数表达式：_____；（同时写出的取值范围） （4）在图丁中画出关于的函数图象． 题型讲练十 从函数的图象获取信息 【例10】（25-26八年级下·福建福州·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．甲步行的平均速度为米/分 B．乙步行的平均速度为米/分 C．当时，乙到达终点 D．乙比甲提前分钟到达终点 【变式1】图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【变式2】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 题型讲练十一 动点问题的函数图象 【例11】（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【变式1】（25-26八年级下·河南开封·期中）边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y，请结合下面函数图象分析：当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的组成，为记录寻宝者的行进路线，在的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（  ） A． B． C． D． 题型讲练十二 函数的三种表示方法 【例12】（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【变式1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【变式2】小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 2．（25-26八年级下·河南新乡·期中）老师让同学们举一个是的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个，其中一定是的函数有（　　） ① x 1 2 0 1 y 1 2 3 4 ②； ③（是常数）； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图在物理课上，李明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．已知物体所受浮力与物体排开水体积成正比（浮力：），则下图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④ 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A．27 B．27.5 C．28.5 D．30 6．（25-26八年级下·北京·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 8．（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 10．（25-26七年级上·山东威海·期末）某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 12．（25-26八年级下·山西·期中）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． (2)选择哪种方案更优惠？ 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如下： 天数t … 24 25 26 27 28 29 30 波动值s … 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3   数学活动： (1)①根据表中数据，通过描点，连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象； ②观察函数图象，当时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？ 数学应用： (2)根据研究，当时处于情绪高潮期，心情愉快；当时处于情绪低潮期，心情烦躁；当时为临界日，心情平稳．若小海从出生到今天的天数为5501天．则今天他心情如何？ 14．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，、是边上的两个动点．其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． (1)当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； (2)当点在边上运动，求的面积与时间的关系式； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，平分，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十二章 函数【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+12个题型讲练+真题实战练 共51题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 用描点法画函数图象 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点二 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点三 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点四 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 用表格表示变量间的关系 【例1】（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【规范解答】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【规范解答】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【思路引导】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【规范解答】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 题型讲练二 用关系式表示变量间的关系 【例2】（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意可得米，，据此可得，根据列出不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，米， ∵篱笆的长度为25米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26六年级下·全国·单元测试）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【思路引导】本题考查两个变量之间的关系，理解题意，正确求得关系式是解答的关键． （1）根据表格，结合已知列关系式即可； （2）求出当时的y值，和比较大小即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则， ∴车身总长y与购物车数量x之间的关系式为． 故答案为：． （2）解：该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下： 在直角中，（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【变式2】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)当秒或秒或秒时，是等腰三角形 (4) 【思路引导】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，函数关系式的建立等知识点． （1）确定出、均为等腰直角三角形，然后对运用勾股定理求解即可； （2）由题意得，，根据即可建立函数关系式； （3）由题意得，根据勾股定理可得，，然后分三种情况结合等腰三角形的性质求解即可； （4）过点分别作的对称点，连接，则，，那么，，则当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后对运用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，当时，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 由得； （3）解：由题意得，，，， 当时，则，解得； 当时，，解得； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：当秒或秒或秒时，是等腰三角形 （4）解：过点分别作的对称点，连接， ∴， ∴，， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵， ∴， ∴的周长最小值为． 题型讲练三 用图象表示变量间的关系 【例3】（24-25七年级下·四川巴中·期末）游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【答案】（1），h；（2）8，2；（3）． 【思路引导】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系． （1）根据题干信息判断即可； （2）根据图2作答即可； （3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可． 【规范解答】（1）解：∵高度随时间变化而变化， ∴自变量是，因变量是h， 故答案为：，h； （2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米； 故答案为：8，2； （3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米， 该点所在的圆的周长为， ∵其最大摆角为， ∴该点单次摆动路程为， 即该点一个周期摆动， 由图2可知一个周期为， ∴2分钟即共摆动个周期， ∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是． 【变式1】（24-25八年级下·云南玉溪·期末）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到弹力（N） 0 30 60 90 120 150 弹簧的长度（） 6 8 10 12 14 16 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度）， ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式________；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为18，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)不会发生永久形变；见解析． 【思路引导】题目主要考查函数图象及函数解析式的缺点，理解题意，熟练掌握基础知识点是解题关键． （1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长1，弹力增加15 N，即可确定关系式； （2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可． 【规范解答】（1）解：①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到弹力（N） 0 30 60 90 120 150 弹簧的伸长量（） 0 2 4 6 8 10 如图所示； ； ②根据题意得：每伸长1，弹力增加15 N， ∴； （2）不会发生永久形变． 理由如下： 当弹簧的长度为18时，弹簧的伸长量， 当时，． ， 不会发生永久形变． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 【规范解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 题型讲练四 函数的概念 【例4】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【答案】D 【思路引导】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【规范解答】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确； C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【答案】(1)78，382 (2)①；②1902；③至少需要54张这样的纸 【思路引导】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加可求空格； （2）①张白纸粘合起来时，纸条长度()在的基础上增加了个的长度，依此可得与的关系式；②将代入①中的关系式中求解即可；③把代入②中的关系式中，列方程求得的值即可． 【规范解答】（1）解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加， ；． ∴将表格补充完整如下： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … （2）解：①根据题意和所给图形可得出： ， 即． ②令，则 ； 故答案为：1902． ③由，可得 解得． 答：至少需要张这样的纸． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了函数的性质，长方形的周长等知识点， （1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可； （2）根据长方形的周长公式列式即可得解； （3）把代入函数解析式即可求出x的值； 熟练掌握长方形的周长的综合应用是解决此题的关键． 【规范解答】（1）解：∵相邻的两边长分别是和， ∴长方形的周长为， ∴随的变化而变化， ∴自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）解：根据长方形的周长公式得， ∴与之间的关系式， （3）解：∵长方形周长为时， ∴， 解得． 题型讲练五 函数解析式 【例5】（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______． (2)直接写出梯形的面积与高之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由变化到时，梯形的面积S的变化情况； (3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中与的大小也在变化，若，，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)高； (2)；梯形的面积由变化到 (3)是， 【思路引导】（1）根据题目的已知条件即可判断； （2）根据梯形的面积公式可得面积与高之间函数关系式，再把和代入即可解答； （3）根据两直线平行，同旁内角互补即可得到关系式． 【规范解答】（1）解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高； （2）解：由题意得：， 梯形的面积与高之间的关系式为：； 当时，， 当时，， 当梯形的高由变化到时，梯形的面积由变化到； （3）解：在梯形中，上底边和下底边平行， （两直线平行，同旁内角互补）， 即， y是x的函数，． 【变式1】（25-26八年级下·山东·课后作业）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请问有几种购买方案． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． (4)在（3）条件下，家居店选择哪种方案合算？ 【答案】(1)一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米 (2)有种购买方案 (3) (4)选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算 【思路引导】（1）设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁平方米得出，求出正整数解即可； （3）由可得，即可得出； （4）根据正整数解，分别代入，求出的值，比较即可得答案． 【规范解答】（1）解：设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米， 由题意，得， 解得：， ∴一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米． （2）解：∵这批机器人每小时刚好可以清洁平方米， ∴， ∵、均为正整数， ∴，或，或，， ∴有3种购买方案． （3）解：∵， ∴， ∵型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台， ∴． （4）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵， ∴选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算． 【变式2】已知，如图①，在矩形中， ，，将沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题： (1)当t为何值时，点C在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，是直角三角形； (3)设的面积为，求y与t之间的函数关系式． 【答案】(1)秒 (2)或秒 (3) 【思路引导】（1）由点C在的垂直平分线上，则，根据矩形性质和平移性质，用含t的式子表示出和的长度，再列方程求解即可； （2）由是直角三角形，分两种情况讨论：和，分别针对两种直角情况利用直角三角形的性质即可求解； （3）由题意得，则以为底，与之间的距离为高，用含t的式子表示出的底和高，即可得与的函数关系式． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，，则， ∵点C在的垂直平分线上， ∴，即， 解得， ∴当秒时，点C在的垂直平分线上． （2）解：当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∵， ∴，此情况不存在； 综上所述，当或秒时，是直角三角形． （3）解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 由题意得， ∴点到的距离等于， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为． 【考点剖析】将动态的平移转化为用时间表示线段的长度，在判断是直角三角形时，分类讨论必须对三个角分别为直角的情况进行，避免遗漏，利用平行线间距离相等对的高进行转化是解题的关键． 题型讲练六 求自变量的取值范围 【例6】（24-25八年级下·四川南充·期中）函数的自变量的取值范围为________． 【答案】 【思路引导】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式和分式有意义的条件，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【答案】（1）是函数，是函数，是函数，（2）见详解，答案不唯一 （3）①，x可为任意实数；；； ②；；． 【思路引导】本题考查函数的定义，自变量取值范围及函数值的定义，解题的关键是熟练掌握各式有意义的条件． （1）根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可逐一判断． （2）根据函数的定义列举即可 （3）①根据整式有意义的条件：全体实数，分式有意义的条件：分母不为0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解；②将分别代入各式计算即可． 【规范解答】解：（1）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； （2）例如：、等对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数． （3）①∵整式有意义的条件是全体实数， ∴有意义时自变量x取值范围是全体实数， ∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴有意义时自变量x取值范围，即， ∵二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0， ∴有意义时自变量x取值范围，即； ②将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：． 【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，，延长交于D，，解决下列问题：      (1)________，与的位置关系是________________ (2)动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2； (2) (3)存在， 或 【思路引导】（1）由推导出，利用，得到；然后利用角的关系得到，，，推导出，； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，，②当点在射线上时，，由三角形的面积公式可得出答案； （3）分两种情形求解即可，①如图2中，当时，．②如图3中，当时，． 【规范解答】（1）解： ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， （2）解：，， ，， 由题意，， ①当点在线段上时，， ． ②当点在射线上时，， ． 综合以上可得； （3）解：存在．理由如下： ①如图2中，当时， ，， ．   ， ， 解得； ②如图3中，当时， ，， ．   ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，列函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 题型讲练七 求自变量的值或函数值 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，结合表格中的数据回答问题： 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … (1)设图形的周长为，梯形的个数为，试写出与的函数解析式； (2)求时，图形的周长； (3)求时，梯形的个数． 【答案】(1)（为正整数）； (2) (3) 【思路引导】（1）根据题意，得时，；时，；时，，根据规律，求解即可； （2）根据函数值的计算求解即可； （3）根据表达式求自变量的值即可 【规范解答】（1）解：根据题意，得时，；时，；时，，根据规律，得（为正整数）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，，解得． 【变式1】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据下图，将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ … (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？ (3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？ 【答案】(1)6.6，13 (2) (3)隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根 【思路引导】（1）根据图示规律列式计算即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：，化简即可； （3）当时，代入y与x之间的关系式，求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可以计算： 当立柱根数为1时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为2时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为3时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为5时，护栏总长度为（米） 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 … （2）解：由题意得y与x之间的关系式为 （3）解：当时，， 解得， 答：隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，满足，点与点关于轴对称，连接． (1)求，两点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线匀速运动，连接，点在第二象限，且，，连接、和.设的面积为，运动时间为秒，求和之间的关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，过点作于点，直线交轴于点，当的面积为6时，直接写出的值和点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①当点在线段上时，；②当点在线段延长线上时， (3)，或， 【思路引导】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式． （1）根据非负数的性质求得，即可求解； （2）分情况讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，证明，进而根据全等三角形的性质，表示出线段的长度，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （3）根据（2）的分类讨论，根据三角形的面积公式求得的长，即可求得的值，证明得出，即可得出的坐标，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵轴 轴， ∴， ∵，即 ∴ ∴ ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当点在线段上时，如图1 ∵点与点关于轴对称， ∴，则， ，， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ； ②当点在线段的延长线上时，如图2 同理可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：①当点在线段上时，如图 ∵点的坐标为， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 解得： ， ∵，， ∴ ∴ 又∵，， ∴， ∴，则 ∴，； ②当点在线段的延长线上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴，即 ∵ ∴ 解得： ∴ 同理可得 ∴，则 ∴， 综上所述，∴，或，． 题型讲练八 函数图象识别 【例8】（2026·江西上饶·一模）回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【规范解答】解：依题意，师生队伍离学校的距离先增大，然后不变，最后变小，则符合题意的为B选项的函数图象． 【变式1】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【思路引导】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【规范解答】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 【变式2】（23-24七年级下·重庆·期中）A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【思路引导】本题考查函数函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图中信息可得两地距离，可算出甲距离快递站距离和速度，再利用速度和乘以时间等于路程和可求得； （2）利用路程差除以速度差可求出甲追上乙的时间，即乙行驶的时间，即可解答； （3）分类讨论，即未到快递站，出快递站，和甲追乙差３千米，三种情况，即可解答． 【规范解答】（1）解：由图中信息可得两地距离为千米； 甲的速度：千米/时， ， 故答案为：；； （2）解：（小时）， （千米）； （3）解：当未到快递站时，； 当出快递站，； 当甲追乙差３千米时，， 综上，的值为或或． 题型讲练九 用描点法画函数图象 【例9】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析，当时，随的增大而减小 (3)8 【思路引导】（1）分点在上，点在上，两种情况讨论即可； （2）根据（1）中结论描点画图即可； （3）根据函数图象结合题意即可解答． 【规范解答】（1）解：当点在上，即时，则， 即 ， 当点在上，即时，，则 ， 即 ， 综上所述，y与x之间的函数表达式为：； （2）解：如图： 观察函数图象可知， 当时，随的增大而减小； （3）解：观察图象可知，当点E运动到点A时，即时，， 故此时面积为8． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 【答案】(1) (2)①，②答案见解析 (3)当时，y随x的增大而减小 【思路引导】（1）由分式的分母不为0可得出答案； （2）①将，代入解析式即可求值；②连点成线，画出函数图像； （3）观察图像可得． 【规范解答】（1）解：由分式的分母不为0得：， 自变量x的取值范围是：； （2）①当时，， ； 当时，，解得：， ； ②图像如下： （3）当时，y随x的增大而减小． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）【直观想象】 如图甲，动点在数轴上从负半轴向正半轴运动，点到原点的距离先变小再变大，当点的位置确定时，点到原点的距离也唯一确定． 【数学发现】 设动点在数轴上表示的数是，点到原点的距离为，我们发现是的函数，它的函数表达式为． 【数学理解】 （1）请在图丙中画出函数的图象； 【类比迁移】 如图乙，点在数轴上表示的数分别是1和3，设动点在数轴上表示的数是到两个定点的距离和为． （2）当点在线段上运动时（可以和点重合），的取值范围是_____，_____； （3）当点在数轴上运动时，仿照（1）写出与之间的函数表达式：_____；（同时写出的取值范围） （4）在图丁中画出关于的函数图象． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4）见解析 【思路引导】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能根据函数图象分析判断是关键． （1）依据题意，根据函数，即可作图得解； （2）依据题意，由点P在线段上运动时（可以和点M、N重合），从而，此时，进而可以得解； （3）依据题意，当点P在数轴上运动时，故则（x为任何数），进而得解； （4）依据题意，由（3）可得，（x为任何数），从而可得①当时，；②当时，；③当时，，进而可以判断得解． 【规范解答】解：（1）由题意，根据函数，可以作图如下． （2）由题意，点在线段上运动时（可以和点、重合）， ，此时． 故答案为：． （3）由题意，当点在数轴上运动时， ． （为任何数）． ①当时，； ②当时，； ③当时，． ∴， 故答案为：． （4）由（3）可得，， 可作图如下． 题型讲练十 从函数的图象获取信息 【例10】（25-26八年级下·福建福州·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．甲步行的平均速度为米/分 B．乙步行的平均速度为米/分 C．当时，乙到达终点 D．乙比甲提前分钟到达终点 【答案】C 【思路引导】根据甲出发3分钟走了240米，可算得甲的速度；再根据甲、乙在第3分钟到第15分钟的路程差为240米，可算得乙的速度；分别算出甲、乙走完全程的时间，即可判断C、D． 【规范解答】解：由图可得，甲的速度为（米/分），故选项A正确，不符合题意； 设乙的速度为米/分， 由图可得，， 解得， 乙的速度为米/分，故选项B正确，不符合题意； 甲到达终点的时间为（分钟）， 乙到达终点的时间为（分钟）， （分钟）， 即当时，乙到达终点，故选项C错误，符合题意； 甲先出发分钟， 乙先到终点原地休息了（分钟）， 即乙比甲提前分钟到达终点，故选项D正确，不符合题意． 【变式1】图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（   ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A．电阻的初始阻值为 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为 【答案】D 【思路引导】根据时的取值可判断选项A；根据图象的变化形式可判断选项B、C，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，即可判断选项D． 【规范解答】解：由图象可得，当时，，故电阻的初始阻值不为，故选项A错误，不符合题意； 由图象可得，当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，当的阻值为，故选项B错误，不符合题意； 由图象可得，随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，，故，即定值电阻的阻值为，故选项D正确，符合题意． 【变式2】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)8；24；17 (2)t或 (3)或或 【思路引导】本题考查动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图象信息． （1）因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度；由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （2）分两和情况，由三角形面积可得出答案； （3）分，，三种情况，利用矩形的判定及性质及等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 根据题意得： ， ∵， ∴ ． ∴图2中的值为，的值为． 故答案为：8；24；17． （2）解：①当点P在上时， ， ∴， 此时； ②当点P在上时， ， ∴， 即还剩，P点运动到A点， ∴此时， 综上，或时，的面积S是15； （3）解：如图，当时，， 如图，当时，过点作于， ∴ 由题意得 ∴四边形是长方形， ∴， ∴； 如图，当时， ， 综上，若是等腰三角形时，的值为或或． 题型讲练十一 动点问题的函数图象 【例11】（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【思路引导】根据题意和函数图象，分析点和点的运动过程，由时，求出点的速度和的长；由到达点的时间确定的值；根据矩形面积公式判断②；根据当时，点到达点，计算此时的面积判断③；分段讨论时的值判断④．　 【规范解答】解：由题意可知，点的速度为，，则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点，此时，即 ， 此时， ∴， 解得， ∴点的速度为，故①正确； ∴矩形的面积为，故②错误； 当时，点到达点，此时， 此时点运动路程为， ∵， ∴点在边上，且距离点， 即此时的底边，高为， ∴，即，故③正确； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， ∴当时，分情况讨论： 当点在上时（），，，，解得（负值舍去）； 当点在上时（），的最小值为时的，最大值为，故不可能为； 当点在上时（），点已停在点，， 点走过的总路程为，则， ， 令，解得， 综上所述，或，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 【变式1】（25-26八年级下·河南开封·期中）边长为4的正方形的边上有一个动点P，从点A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y，请结合下面函数图象分析：当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【思路引导】根据题意可得点在正方形的边上每移动一周，则的值增加16，而（周）……10（单位长度），从而可得当时，点位于上距离点D2个单位长度，最后根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：点在正方形的边上每移动一周，则的值增加16， （周）……10（单位长度）， 当时，点位于上距离点2个单位长度，如图所示： ． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的组成，为记录寻宝者的行进路线，在的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】分别分析每一种寻宝路线值的变化情况，再结合函数图象求解即可． 【规范解答】解：A、过点作于点， 寻宝者沿着行进，先减小，根据垂线段最短可得，当到达点P时，y最小，然后y增大，与函数图象不符合，故不符合题意； B、过点分别作的垂线，垂足为点， 寻宝者沿着行进，y先减小，到达点D处y最小，再增大，到达点时，最大，然后继续减小，到达点处最小，然后再增大，寻宝者在图1中的位置，相当于函数图象中的位置，而，函数图象中可得寻宝者在处的函数值小于在处的函数值，即由函数图象可得，故矛盾，不符合题意； C、过点分别作的垂线，垂足为点， 寻宝者沿着行进，先减小，到达点处最小，再增大，到达点O时最大，然后再减小，到达点处最小，然后再增大，寻宝者在图1中的位置，相当于函数图象中的位置，由图1可得，符合函数图象，故符合题意； D、寻宝者沿着行进，先减小，当到达点时，，然后再增大，显然与函数图象不符合，故不符合题意． 题型讲练十二 函数的三种表示方法 【例12】（24-25八年级上·福建三明·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【思路引导】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【规范解答】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【思路引导】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【规范解答】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)①②③见详解 【思路引导】（1）将，代入函数解析式即可求解； （2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解； （3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解；③设，可得，，可求 ，，，，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时， ， 当时， ； 故答案：，． （2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，      （3）①解：由得 自变量x的取值范围是， 故答案：； ②解：由表格得： 与，与，与，， 第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数， 函数图像关于点中心对称， 故答案：． ③证明：设， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故当时，y随x的增大而增大． 【考点剖析】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质：自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数增减性的证明方法是解题的关键． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是（    ） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】C 【规范解答】解：物资车往返总路程为，故A错误； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B错误； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C正确； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D错误． 2．（25-26八年级下·河南新乡·期中）老师让同学们举一个是的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个，其中一定是的函数有（　　） ① x 1 2 0 1 y 1 2 3 4 ②； ③（是常数）； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据函数的定义：在某一变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么y就是x的函数．依次判断即可． 【规范解答】解：①从表格中可以看出，当时，则或4，有两个值和它对应，不符合函数的定义，故y不是x的函数； ②从图像上可以看出除原点外对于x的每一个值y都有两个值与它对应，故y不是x的函数； ③（是常数），对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，故y是x的函数． ④，对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，故y是x的函数． 因此y是x的函数的有2个． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图在物理课上，李明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．已知物体所受浮力与物体排开水体积成正比（浮力：），则下图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】根据铁块完全在水中，一部分在水中，完全脱离水面三部分进行判断即可. 【规范解答】解：由题意，当铁块完全在水中时，弹簧秤的读数y不变，当铁块慢慢脱离水面，弹簧秤的读数y变大，当铁块刚好脱离水面时，弹簧秤的读数y最大，脱离水面后，弹簧秤的读数y不变，即图象为： 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（   ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④ 【答案】B 【思路引导】先根据函数图象与行程问题的关系，求出A、B两地全程距离、货车与小汽车的行驶速度，再结合速度、时间、路程的关系，逐一验证题目中的四个说法是否正确，最终确定正确选项． 【规范解答】解：设货车速度为千米/小时，小汽车速度为千米/小时． 两车在小时相遇， ． ， 小汽车从B到A用时2小时， 千米/小时， 千米/小时． 两车相遇时，货车行驶路程：千米， 货车离B地距离：千米，故①正确． 相遇前相距80千米：， 解得； 相遇后相距80千米：， 解得，故②正确． 货车到达A地用时：小时， 小汽车到达用时2小时， 小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误． 小汽车到达目的地时（），货车行驶路程：千米， 货车离A地100千米，故④错误． 综上，①②正确． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（    ） A．27 B．27.5 C．28.5 D．30 【答案】C 【思路引导】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，三角形中位线的性质等，取的中点，连接，由三角形中位线的性质可得，且，得到，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接， 由三角形中位线的性质可得，且， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由函数图象可知，，， 由函数图象可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级下·北京·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】 ①②④ 【思路引导】先读懂函数图象，获取相关信息，再利用行程问题的数量关系进行计算，根据图象纵坐标的最大值判断①；根据速度路程时间计算小华的速度判断②；求出小华行驶米所需时间，结合出发时刻计算相遇时刻判断；计算小华跑步到达学校所需时间，推算到达时刻与小明比较判断． 【规范解答】解：由图象可知，路程的最大值为， 小明家和学校距离米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的时间为（分钟）， 小华乘坐公共汽车的速度是（米/分），故②正确； 当时，小华行驶的时间为（分钟）， 小华在时出发，即后分钟，为， 相遇时刻为经过分钟，即，故③错误； 当小华跑步速度为米/分时， 所需时间为（分钟）， 小华出发时间不变，仍为， 小华到达学校时的值为， 由图象可知小明到达学校时的值为， 他们可以同时到达学校，故④正确. 综上所述，正确的有①②④． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 【答案】 【思路引导】根据函数图象可得，，，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【规范解答】解：由图可得：当时，，即当点的运动距离为时，的长为， ∴当时，， 由图可得： 当时，，即当点的运动距离为时，的值最大，最大为， ∵当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在 中，， 即， 解得， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∴． 8．（25-26八年级下·北京·期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 【答案】①② 【思路引导】当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离；当时，甲、乙两人相遇；当时，甲、乙两人开始背向而行；当时，乙到达地，而甲继续向地运动． 【规范解答】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据图象可知，当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离，结论①正确． 当时，甲、乙两人相遇，两人运动的总路程为，所以． 当时，甲、乙两人开始背向而行，当时，两人的距离，所以，结论③错误． 当时，乙到达地，而甲继续向地运动， 此时乙共运动，用时，则， 所以， 所以乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确． 当乙到达地后，甲继续运动了，所用时间， 所以，结论④错误． 综上所述，正确的序号是①②． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 【答案】 【思路引导】设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，． 过点作于点，则，， 设，则， 则在中，有， ， 解得（舍去）或， ， ． 10．（25-26七年级上·山东威海·期末）某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 【答案】10 【思路引导】先求得调入水果的速度是4吨/天，销售水果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【规范解答】解：根据题意和图象可得：调入水果的速度是吨/天， 当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨， 所以销售水果的速度是（吨/天）， 所以剩余的16吨完全调出需要（天）， 故该水果市场这次水果销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天）． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 【答案】(1) (2)小山在途中休息了0.5小时 (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有 【思路引导】（1）结合图象，根据速度路程时间，即可求出小山爸爸骑行的速度； （2）先结合图象求出小山原来的速度，根据休息后骑行的速度是原来的一半，可得小山后来的速度，再用剩余的路程除以后来的速度，可得小山休息后骑行的时间，用总时间减去休息前骑行的时间和休息后骑行的时间，即可得小山在途中休息的时间； （3）当小山爸爸追上小山时，他俩骑行的路程相等，据此列方程求解． 【规范解答】（1）解：根据图象可得，， 答：小山爸爸骑行的速度为； （2）解：小山原来的速度为：， 小山后来的速度为：， 小山休息后骑行的时间为：， ． 答：小山在途中休息了0.5小时； （3）解：根据题意列方程，得， 解得，， ， 答：小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有． 12．（25-26八年级下·山西·期中）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． (2)选择哪种方案更优惠？ 【答案】(1)； (2)当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 【思路引导】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）结合（1）所得式子，列方程和不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 答：当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如下： 天数t … 24 25 26 27 28 29 30 波动值s … 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3   数学活动： (1)①根据表中数据，通过描点，连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象； ②观察函数图象，当时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？ 数学应用： (2)根据研究，当时处于情绪高潮期，心情愉快；当时处于情绪低潮期，心情烦躁；当时为临界日，心情平稳．若小海从出生到今天的天数为5501天．则今天他心情如何？ 【答案】(1)①见解析；②当时，；当s的值最大时， (2)心情愉快 【思路引导】（1）①根据所给表格数据结合已有图象利用描点作图方法完成作图即可； ②根据函数图象即可解答； （2）根据图象知，周期为28天，可得，即小海从出生到今天5501天时与时的s相等，当时，，以此即可解答． 【规范解答】（1）解：①补全该函数的图象如图所示， ②根据图象知当时，； 当s的值最大时，； （2）解：根据图象知，周期为28天， （天）， 小海从出生到今天5501天时与时的s相等， 当时，， 所以小海处于情绪高潮期，心情愉快． 14．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，、是边上的两个动点．其中点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向向点运动，且速度为每秒．、两点同时出发，当其中一点到达终点则运动停止，设它们的运动时间为秒． (1)当点在边上运动，且使是等腰三角形，求的值； (2)当点在边上运动，求的面积与时间的关系式； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，平分，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上， (4)存在某一时刻，平分， 【思路引导】（1）利用含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，用表示出、、，根据列方程求解即可； （2）根据求解即可； （3）先求出，设是垂直平分线，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，根据列方程即可求出的值， （4）过点作于，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，由平分得出是等腰直角三角形，，根据列方程求出，进而求出，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∵点、的速度都为每秒， ∴，，， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得：． （2）解：如图，当点在边上运动时， ∵，， ∴． （3）解：如图所示，设是垂直平分线， ∵点、的速度都为每秒， ∴点走完全程的时间为，点走完全程的时间为， ∵其中一点到达终点则运动停止， ∴， ∵，， ∴，， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，符合题意， ∴存在某一时刻，点恰好在线段的垂直平分线上，． （4）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 解得：， ∴， ∴．符合题意， ∴存在某一时刻，平分，． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $